1、 1函数的单调性和奇偶性例 1 （1）画出函数 y-x 2+2x+3 的图像，并指出函数的单调区间解：函数图像如下图所示，当 x0 时，y-x 2+2x+3- （x-1 ） 2+4；当 x0 时，y-x 2-2x+3-（x+1） 2+4在（- ，-1和0，1上，函数是增函数：在-1，0和1，+ ）上，函数是减函数评析 函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上（2）已知函数 f（x）x 2+2（a-1）x+2 在区间（-，4上是减函数，求实数 a 的取值范围分析 要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征解：f（x）x 2+2（a-
2、1）x+2x+（a-1） -（a-1） 2+2，此二次函数的对称轴是 x1-a 因为在区间（- ， 1-a上 f（x）是单调递减的，若使 f（x）在（-，4上单调递减，对称轴 x1-a 必须在 x=4 的右侧或与其重合，即 1-a4，a-3评析 这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合例 2 判断下列函数的奇偶性：（1）f（x） - （2）f（x）（x-1） 解：（1）f（x）的定义域为 R因为f（-x）-x+1- -x-1 x-1-x+1-f（x）所以 f（x）为奇函数（2）f（x）的定义域为x -1x1，不关于原点对称所以 f（x）既不是奇函数，也不是
3、偶函数评析 用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下：2（1）求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称（2）计算 f（-x），并与 f（x）比较，判断 f（-x）f（x）或 f（-x）-f （x）之一是否成立f （ -x）与 -f（x）的关系并不明确时，可考查 f（-x ） f（x）0 是否成立，从而判断函数的奇偶性例 3 已知函数 f（x） （1）判断 f（x）的奇偶性（2）确定 f（x）在（- ，0）上是增函数还是减函数?在区间（0，+ ）上呢?证明你的结论解：因为 f（x）的定义域为 R，又f（-x） f（x），所以 f（x）为偶函数（2）f（x）在（- ，0）上是增函数，由于 f（x
4、）为偶函数，所以 f（x）在（0，+）上为减函数其证明：取 x1x 20，f（x 1）-f（x 2） - 因为 x1x 20，所以x2-x10，x 1+x20，x21+10，x 22+10，得 f（x 1）-f（ x2）0，即 f（x 1）f（x 2）所以 f（x）在（- ，0）上为增函数评析 奇函数在（a,b）上的单调性与在（-b,-a）上的单调性相同，偶函数在（a,b）与（-b,-a）的单调性相反例 4 已知 y=f（x）是奇函数，它在（0，+）上是增函数，且 f（x）0，试问 F（x） 在（- ， 0）上是增函数还是减函数?证明你的结论分析 根据函数的增减性的定义，可以任取 x1x 20
5、，进而判定 F（x 1）-F（x 2） - 的正负为此，需分别判定 f（ x1）、f （x 2）与 f（x 2）的正负，而这可以从已条件中推出3解：任取 x1、x 2（-，0）且 x1x 2，则有-x 1-x 20y f（x）在（0，+）上是增函数，且 f（x）0，f（ -x2）f （ -x1）0 又 f（x）是奇函数，f（ -x2）-f（x 2），f（-x 1）-f（x 1） 由、 得 f（x 2）f（x 1）0于是F（x 1）-F （x 2） 0，即 F（x 1）F（ x2），所以 F（x） 在（- ，0）上是减函数评析 本题最容易发生的错误，是受已知条件的影响，一开始就在（0，+）内任取
6、 x1x 2，展开证明这样就不能保证-x 1， -x2，在（-，0）内的任意性而导致错误避免错误的方法是：要明确证明的目标，有针对性地展开证明活动例 5 讨论函数 f（x） （a0）在区间（-1 ，1）内的单调性分析 根据函数的单调性定义求解解：设-1x 1x 2，则f（x 1）-f（x 2） - x1， x2（-1，1），且 x1x ，x1-x20，1+x 1x20，（1-x 21）（1-x 22）0于是，当 a0 时，f （x 1）f （x 2）；当 a0 时，f （x 1）f（x 2）故当 a0 时，函数在（-1 ，1）上是增函数；当 a0 时，函数在（ -1，1）上为减函数评析 根据定
7、义讨论（或证明）函数的单调性的一般步骤是：（1）设 x1、x 2 是给定区间内任意两个值，且 x1x 2；（2）作差 f（x 1）-f （x 2），并将此差式变形；（3）判断 f（x 1）-f （x 2）的正负，从而确定函数的单调性例 6 求证：f（x）x+ （k0）在区间（0，k上单调递减4解：设 0x 1x 2k，则f（x 1）-f（x 2） x1+ -x2- 0 x1 x2k，x1-x20，0x 1x2k 2，f（ x1）-f（x 2）0f（ x1）f（x 2），f（ x）x+ 中（0，k上是减函数评析 函数 f（x）在给定区间上的单调性反映了函数 f（ x）在区间上函数值的变化趋势，是
8、函数在区间上的整体性质因此，若要证明 f（x）在a,b上是增函数（减函数），就必须证明对于区间a,b上任意两点 x1，x 2，当 x1x 2 时，都有不等式 f（ x1）f （x 2）（f（x 1）f（x 2）类似可以证明：函数 f（x）x+ （k0）在区间k，+上是增函数例 7 判断函数 f（x） 的奇偶性分析 确定函数的定义域后可脱去绝对值符号解：由 得函数的定义域为-1，1这时，x-2 2-xf（ x） ，f（ -x） f（x）且注意到 f（x）不恒为零，从而可知， f（x） 是偶函数，不是奇函数评析 由于函数解析式中的绝对值使得所给函数不像具有奇偶性，若不作深入思考，便会作出其非奇非偶
9、的判断但隐含条件（定义域）被揭示之后，函数的奇偶性就非常明显了这样看来，解题中先确定函数的定义域不仅可以避免错误，而且有时还可以避开讨论，简化解题过程5函数奇偶性练习一、选择题1已知函数 f（ x） ax2 bx c（ a0）是偶函数，那么 g（ x） ax3 bx2 cx（ ）A奇函数 B偶函数 C既奇又偶函数 D非奇非偶函数2已知函数 f（ x） ax2 bx3 a b 是偶函数，且其定义域为 a1，2 a ，则（ ） A ， b0 B a1， b0 C a1， b0 D a3， b031a3已知 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， f（ x） x22 x，则 f（ x）在
10、 R 上的表达式是（ ）Ayx（x2） By x（x1） Cy x（x2） Dyx（x2）4已知 f（ x） x5 ax3 bx8，且 f（2）10，那么 f（2）等于（ ）A26 B18 C10 D105函数 是（ ）1)(2xxfA偶函数 B奇函数 C非奇非偶函数 D既是奇函数又是偶函数6若 ， g（ x）都是奇函数， 在（0，）上有最大值 5，)( 2)()(xbgaf则 f（ x）在（，0）上有（ ）A最小值5 B最大值5 C最小值1 D最大值3二、填空题7函数 的奇偶性为_（填奇函数或偶函数） 21)(xf8若 y（ m1） x22 mx3 是偶函数，则 m_9已知 f（ x）是偶函
11、数， g（ x）是奇函数，若 ，则 f（ x）的解析式为1)(xgxf_10已知函数 f（ x）为偶函数，且其图象与 x 轴有四个交点，则方程 f（ x）0 的所有实根之和为_三、解答题11设定义在2，2上的偶函数 f（ x）在区间0，2上单调递减，若 f（1 m） f（ m） ，求实数 m 的取值范围612已知函数 f（ x）满足 f（ x y） f（ x y）2 f（ x） f（ y） （ x R， y R） ，且 f（0）0，试证 f（ x）是偶函数13.已知函数 f（ x）是奇函数，且当 x0 时， f（ x） x32 x21，求 f（ x）在 R 上的表达式14.f（ x）是定义在（
12、，5 5，）上的奇函数，且 f（ x）在5，）上单调递减，试判断 f（ x）在（，5上的单调性，并用定义给予证明15.设函数 y f（ x） （ x R 且 x0）对任意非零实数 x1、 x2满足 f（ x1x2） f（ x1） f（ x2） ，求证 f（ x）是偶函数函数的奇偶性练习参考答案71 解析： f（ x） ax2 bx c 为偶函数， 为奇函数，x)( g（ x） ax3 bx2 cx f（ x） 满足奇函数的条件 答案：A2解析：由 f（ x） ax2 bx3 a b 为偶函数，得 b0又定义域为 a1，2 a ， a12 a， 故选 A313解析：由 x0 时， f（ x） x
13、22 x， f（ x）为奇函数，当 x0 时， f（ x） f（ x）（ x22 x） x22 x x（ x2） 即 f（ x） x（| x|2）,)0()2()f答案：D4解析： f（ x）8 x5 ax3 bx 为奇函数，f（2）818， f（2）818， f（2）26 答案：A5解析：此题直接证明较烦，可用等价形式 f（ x） f（ x）0 答案：B6解析： 、 g（ x）为奇函数， 为奇函数)( )()(bga又 f（ x）在（0，）上有最大值 5， f（ x）2 有最大值 3 f（ x）2 在（，0）上有最小值3， f（ x）在（，0）上有最小值1 答案：C7答案：奇函数8答案：0
14、解析：因为函数 y（ m1） x22 mx3 为偶函数， f（ x） f（ x） ，即（ m1） （ x） 22 m（ x）3（ m1） x22 mx3，整理，得m09解析：由 f（ x）是偶函数， g（ x）是奇函数，可得 ，联立 ，1)(g 1)(xgf12)( 2xxf答案： 10答案：0 11答案：)(2f 2m12证明：令 x y0，有 f（0） f（0）2 f（0） f（0） ，又 f（0）0，可证 f（0）1令x0， f（ y） f（ y）2 f（0） f（ y） f（ y） f（ y） ，故 f（ x）为偶函数13解析：本题主要是培养学生理解概念的能力f（ x） x32 x21
15、因 f（ x）为奇函数， f（0）08当 x0 时， x0， f（ x）（ x） 32（ x） 21 x32 x21， f（ x） x32 x21因此， .)0(0)( ,23xxf点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力14解析：任取 x1 x25，则 x1 x25因 f（ x）在5，上单调递减，所以 f（ x1） f（ x2） f（ x1） f（ x2）f（ x1） f（ x2） ，即单调减函数点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化15解析：由 x1， x2 R 且不为 0 的任意性，令 x1 x21 代入可证，f（1）2 f（1） ， f（1）0又令 x1 x21， f1（1） 2 f（1）0，（1）0又令 x11， x2 x， f（ x） f（1） f（ x）0 f（ x） f（ x） ，即 f（ x）为偶函数点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如， x1 x21， x1 x21 或x1 x20 等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可
