1、高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部 2000 年全日制普通高级中学数学教学大纲中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。2.代数周期函数，带绝对值
2、的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式* 。n 次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数x，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子
3、定理* 。4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。三、高中数学竞赛基础知识第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义 1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素 在集合 A 中，称 属xx于 A，记为 ，否则称 不属于 A，记作 。例如，通常用 N，Z，Q，B，Q +分别xxx表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集
4、合称为空集，用 来表示。集合分有限集和无限集两种。集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如1，2，3；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如有理数， 分别表示有理数集和正实数集。0x定义 2 子集：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，则 A 叫做 B 的子集，记为 ，例如 。规定空集是任何集合的子集，如果 A 是ZNB 的子集，B 也是 A 的子集，则称 A 与 B 相等。如果 A 是 B 的子集，而且 B 中存在元素不属于 A，则 A 叫 B 的真子集。定义 3 交集， .x
5、且定义 4 并集， 或定义 5 补集，若 称为 A 在 I 中的补集。,1xIACI且则定义 6 差集， 。,BxB且定义 7 集合 记作开区间 ，集合baRa),(ba记作闭区间 ，R 记作,xb,.定理 1 集合的性质：对任意集合 A，B，C ，有：（1） （2） ；);()()(CBA )()()(CABC（3） （4）;1.11【证明】这里仅证（1） 、 （3） ，其余由读者自己完成。（1）若 ，则 ，且 或 ，所以 或)(xAxBx)(x，即 ；反之， ，则)(CA)(CB)(CA或 ，即 且 或 ，即 且 ，即Bx)(xxx)(Bx).(（3）若 ，则 或 ，所以 或 ，所以CAx
6、1Ax1BC1Ax，又 ，所以 ，即 ，反之也有)(BI)()(1BC.11C定理 2 加法原理：做一件事有 类办法，第一类办法中有 种不同的方法，第二类办法n1m中有 种不同的方法，第 类办法中有 种不同的方法，那么完成这件事一共有mn种不同的方法。nN21定理 3 乘法原理：做一件事分 个步骤，第一步有 种不同的方法，第二步有 种不1m2m同的方法，第 步有 种不同的方法，那么完成这件事一共有nm种不同的方法。nmN21二、方法与例题1利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。例 1 设 ，求证：,2ZyxaM（1） ；)(,2k（2） ；4（3）若 ，则 qp, .Mp证明（1）因为
7、，且 ，所以Zk122)1(kk .1Mk（2）假设 ，则存在 ，使 ，由于 和)(24Zyx, 24yxyx有相同的奇偶性，所以 是奇数或 4 的倍数，不可能等于yx )(2，假设不成立，所以k .4Mk（3）设 ，则Zbayxqyxp,22 )(22bayxpq2ba a22)()(（因为 ） 。yxZyx,2利用子集的定义证明集合相等，先证 ，再证 ，则 A=B。BA例 2 设 A，B 是两个集合，又设集合 M 满足，求集合 M（用 A，B 表示） 。M,【解】先证 ，若 ，因为 ，所以)( )(x，所以 ； xA,BA再证 ，若 ，则 1）若 ，则)(.BAxAx；2）若 ，则 。所以
8、MxM).(B综上， .BA3分类讨论思想的应用。例 3 ，若02,01,023 222 mxCaxx，求C, .ma【解】依题设， ，再由 解得 或 ，2,1A012ax1ax因为 ，所以 ，所以 ，所以 或 2，所以 或 3。BA因为 ，所以 ，若 ，则 ，即 ，CC82m2m若 ，则 或 ，解得12.3综上所述， 或 ； 或 。a3m24计数原理的应用。例 4 集合 A，B，C 是 I=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的子集， （1）若 ，IBA求有序集合对（A，B）的个数；（2）求 I 的非空真子集的个数。【解】 （1）集合 I 可划分为三个不相交的子集； AB，B A， 中的每
9、个元素恰属于I,其中一个子集，10 个元素共有 310 种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有 310 个。（2）I 的子集分三类：空集，非空真子集，集合 I 本身，确定一个子集分十步，第一步，1 或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2 也有两种，第 10 步，0 也有两种，由乘法原理，子集共有 个，非空真子集有 1022 个。10245配对方法。例 5 给定集合 的 个子集： ，满足任何两个子集的交集非,3,nI kkA,21空，并且再添加 I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求 的值。【解】将 I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得 对，每一对不
10、能同12n在这 个子集中，因此， ；其次，每一对中必有一个在这 个子集中出现，否则，k12nk k若有一对子集未出现，设为 C1A 与 A，并设 ，则 ，从而可以在1AC1个子集中再添加 ，与已知矛盾，所以 。综上， 。k1 2nk2nk6竞赛常用方法与例问题。定理 4 容斥原理；用 表示集合 A 的元素个数，则 ,BB， 需要 xy 此结论可CACBCAB以推广到 个集合的情况，即n i kjiji nkjijii AAA111 .)1( niA定义 8 集合的划分：若 ，且 ，I2 ),jijji 则这些子集的全集叫 I 的一个 -划分。n定理 5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最
11、小数。定理 6 抽屉原理：将 个元素放入 个抽屉，必有一个抽屉放有不少于1m)1(n个元素，也必有一个抽屉放有不多于 个元素；将无穷多个元素放入 个抽屉必有1mmn一个抽屉放有无穷多个元素。例 6 求 1，2，3，100 中不能被 2，3，5 整除的数的个数。【解】 记 ，（22,10,10, xxxAI 记 为整 除能 被且，由容斥原理，CxxB 3102CBACBBA ，所以不能被 2，3，5 整除的数有743015106510个。2CBAI例 7 S 是集合1，2，2004的子集，S 中的任意两个数的差不等于 4 或 7，问 S 中最多含有多少个元素？【解】将任意连续的 11 个整数排成
12、一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于 S，将这 11 个数按连续两个为一组，分成 6 组，其中一组只有一个数，若 S 含有这 11 个数中至少 6 个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以 S 至多含有其中 5 个数。又因为 2004=18211+2，所以 S 一共至多含有 1825+2=912 个元素，另一方面，当时，恰有 ，且 S 满足题目条,204,174,1 Nkrtkr 912件，所以最少含有 912 个元素。例 8 求所有自然数 ，使得存在实数 满足：)(nna,21.)(,211njiaji 【解】 当 时， ；当 时， ；当 时， 0a33,1,0214n
13、。下证当 时，不存在 满足条件。,5,2,04315nna令 ，则na .2)(所以必存在某两个下标 ，使得 ，所以 或ji 1njia11nnn，即 ，所以 或 ，21nn1,)(n 2)(a。2a（）若 ，考虑 ，有 或 ，1,2)1(nnaa2n2nna2an即 ，设 ，则 ，导致矛盾，故只有2n 1a.2考虑 ，有 或 ，即 ，设 ，则3n23nn 3nn，推出矛盾，设 ，则 ，又推出矛0221aa 21an盾， 所以 故当 时，不存在满足条件的实数。4,n5（）若 ，考虑 ，有 或 ，即12)(2na1nna3n，这时 ，推出矛盾，故 。考虑 ，有3a23a21或 ，即 =3，于是
14、，矛盾。因此2nn n3 13n，所以 ，这又矛盾，所以只有 ，所以2 1221a 2a。故当 时，不存在满足条件的实数。45例 9 设 A=1，2，3，4，5，6，B=7，8，9，n ，在 A 中取三个数，B 中取两个数组成五个元素的集合 ， 求 的最小值。i .0,2,0, jiAji n【解】 .16min设 B 中每个数在所有 中最多重复出现 次，则必有 。若不然，数 出现 次（iAk4kmk） ，则 在 出现的所有 中，至少有一个 A 中的数出现 3 次，不妨设它是4k.23ki1，就有集合1， ，其中 ，11,ba ,1,365243 babma 61,iAai为满足题意的集合。
15、必各不相同，但只能是 2，3，4， 5，6 这 5 个数，这不可能，所以i.4k20 个 中，B 中的数有 40 个，因此至少是 10 个不同的，所以 。当 时，如iA 1n6下 20 个集合满足要求：1，2，3，7，8， 1，2，4，12，14 ， 1，2，5，15，16 ， 1，2，6，9，10，1，3，4，10，11， 1，3，5，13，14 ， 1，3，6，12，15 ， 1，4，5，7，9，1，4，6，13，16， 1，5，6，8，11 ， 2，3，4，13，15 ， 2，3，5，9，11，2，3，6，14，16， 2，4，5，8，10 ， 2，4，6，7，11 ， 2，5，6，12
16、，13，3，4，5，12，16， 3，4，6，8，9 ， 3，5，6，7，10 ， 4，5，6，14，15。例 10 集合1，2，3n可以划分成 个互不相交的三元集合 ，其中 ，n,zyxzyx3求满足条件的最小正整数 .【解】 设其中第 个三元集为 则 1+2+i ,2,1,nizyxi niiz1,43所以 。当 为偶数时，有 ，所以 ，当 为奇数时，有nizn142)3( 388，所以 ，当 时，集合1 ，11，4，2，13，5，3，15，6 ，1859，12，7，10，14，8满足条件，所以 的最小值为 5。n第二章 二次函数与命题一、基础知识1二次函数：当 0 时，y=ax 2+bx
17、+c 或 f(x)=ax2+bx+c 称为关于 x 的二次函数，其对称轴a为直线 x=- ，另外配方可得 f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中 x0=- ，下同。b2 ab2二次函数的性质：当 a0 时，f(x)的图象开口向上，在区间（ -，x 0上随自变量 x 增大函数值减小（简称递减） ，在x 0, -）上随自变量增大函数值增大（简称递增） 。当 a0 时，方程 f(x)=0 即 ax2+bx+c=0和不等式 ax2+bx+c0及 ax2+bx+c0 时，方程有两个不等实根，设 x1,x2(x1x2和x|x 10，当 x=x0 时，f (x)取最小值 f(x0)= ,若 a0)，当
18、 x0m, n时，f(x)在m, n 上的最小值为 f(x0); 当 x0n 时，f(x)在m, n 上的最小值为 f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出） 。定义 1 能判断真假的语句叫命题，如“35”是命题， “萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或” 、 “且” 、 “非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。注 1 “p 或 q”复合命题只有当 p，q 同为假命题时为假，否则为真命题；“p 且 q”复合命题只有当 p，q 同时为真命题时为真，否则为假命题；p 与“非 p”即“p”恰好一真一假。定义 2 原命题：若 p 则 q（p 为条件，q 为结论） ；逆命
19、题：若 q 则 p；否命题：若非 p 则q；逆否命题：若非 q 则非 p。注 2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。注 3 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。定义 3 如果命题“若 p 则 q”为真，则记为 p q 否则记作 p q.在命题“若 p 则 q”中，如果已知 p q,则 p 是 q 的充分条件；如果 q p，则称 p 是 q 的必要条件；如果 p q但 q 不 p，则称 p 是 q 的充分非必要条件；如果 p 不 q 但 p q，则 p 称为 q 的必要非充分条件；若 p q 且 q p，则 p 是 q 的充要条件。二、方法与例题
20、1待定系数法。例 1 设方程 x2-x+1=0 的两根是 ，求满足 f()=,f()=,f(1)=1 的二次函数 f(x).【解】 设 f(x)=ax2+bx+c(a 0),则由已知 f()=,f()= 相减并整理得（-） （ +）a+ b+1=0，因为方程 x2-x+1=0 中 0，所以 ，所以(+)a+b+1=0.又 +=1,所以 a+b+1=0.又因为 f(1)=a+b+c=1，所以 c-1=1，所以 c=2.又 b=-(a+1)，所以 f(x)=ax2-(a+1)x+2.再由 f()= 得 a 2-(a+1)+2=,所以 a 2-a+2= + =1，所以 a 2-a+1=0.即 a(
21、2-+1)+1-a=0,即 1-a=0，所以 a=1,所以 f(x)=x2-2x+2.2方程的思想。例 2 已知 f(x)=ax2-c 满足-4f(1)-1, -1 f (2)5，求 f(3)的取值范围。【解】 因为-4f(1)=a- c-1,所以 1-f(1)= c-a4.又-1f(2)=4 a-c5, f(3)= f(2)- f(1),385所以 (-1)+ f(3) 5+ 4,385所以-1f(3)20.3利用二次函数的性质。例 3 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR, a 0)，若方程 f(x)=x 无实根，求证：方程 f(f(x)=x 也无实根。【证明】若 a0，
22、因为 f(x)=x 无实根，所以二次函数 g(x)=f(x)-x 图象与 x 轴无公共点且开口向上，所以对任意的 xR,f(x)-x0 即 f(x)x，从而 f(f(x)f(x)。所以 f(f(x)x，所以方程 f(f(x)=x 无实根。注：请读者思考例 3 的逆命题是否正确。4利用二次函数表达式解题。例 4 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程 f(x)=x 的两根 x1, x2 满足 00，所以 f(x)x.其次 f(x)-x1=(x-x1)a(x-x2)+1=a(x-x1)x-x2+ 1，求证：方程的正根比 1 小，负根比-1 大。【证明】 方程化为 2a2x2+2ax+
23、1-a2=0.构造 f(x)=2a2x2+2ax+1-a2,f(1)=(a+1)20, f(-1)=(a-1)20, f(0)=1-a20，所以 f(x)在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。即方程的正根比 1 小，负根比-1 大。6定义在区间上的二次函数的最值。例 6 当 x 取何值时，函数 y= 取最小值？求出这个最小值。24)1(5x【解】 y=1- ,令 u,则 0-(b+1)，即 b-2 时，x 2+bx 在0，-( b+1)上是减函数，所以 x2+bx 的最小值为 b+1,b+1=- ,b=- .13综上，b=- .37.一元二次不等式问题的解法。例 8 已知不等式组 的整数解恰好有两个，求 a 的取值范围。1202ax【解】 因为方程 x2-x+a-a2=0 的两根为 x1=a, x2=1-a,若 a0，则 x11-2a.因为 1-2a1- a，所以 a0,所以不等式组无解。若 a0，）当 0 时，a1-a，由得 x1-2a，所以不等式组的解集为 1-a1 且 a-(1-a)3，所以 10，=(B-A- C)2(y-z)2-4AC(y-z)20 恒成立，所以(B-A- C)2-4AC0，即A2+B2+C22( AB+BC+CA)同理有 B0，C0，所以必要性成立。
