1、第 1 页 共 14 页成都市 2014 级高中毕业班第三次诊断性检测数学（理科）第卷（选择题，共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合 0,1A， (+2)10,BxxZ，则 AB（ ）A 2, B , C D 02已知复数 126,zizi若 12,z在复平面内对应的点分别为 ,，线段 AB的中点 C对应的复数为 ，则 （ ）A 5 B5 C 5 D 73在等比数列 na中， 12，公比 q若 1234()maN，则 m（ ）A11 B10 C9 D8 4 QI是表示空气质量的指数， AQI指数值
2、越小，表明空气质量越好，当 AQI指数值不大于 100 时称空气质量为“优良” 如图是某地 4 月 1 日到 12 日 I指数值的统计数据，图中点 A表示 4 月 1 日的 I指数值为 201则下列叙述不正确的是（ ）A这 12 天中有 6 天空气质量为“优良” B这 12 天中空气质量最好的是 4 月 9 日 C这 12 天的 QI指数值的中位数是 90 D从 4 日到 9 日，空气质量越来越好第 2 页 共 14 页5已知双曲线2:1(0,)xyCab，直线 :2lyx若直线 l平行于双曲线的一条渐近线且经过 的一个顶点，则双曲线 C的焦点到渐近线的距离为（ ）A1 B2 C 5 D46高
3、三某班 15 名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图 1执行图 2 所示的程序框图，若输入的 (1,)ia 分别为这 15 名学生的考试成绩，则输出的结果为（ ）A6 B7 C 8 D97已知 22(,)xy， B是曲线 sinyx与 轴围成的封闭区域若向区域内随机投入一点 M，则点 落入区域 的概率为（ ）A 2 B 4 C 3 D 348在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑如图，在鳖臑 D中， A平面 B，且 AC，则异面直线 AC与 BD所成角的余弦值为（ ）第 3 页 共 14 页A 12 B C 32 D 329已知抛物线 2:(0)ymx的焦点为 F
4、，点 (0,)A若射线 FA与抛物线 C相交于点 M，与其准线相交于点 ，且 :1:M，则点 M的纵坐标为（ ）A 13 B 3 C 2 D 310已知函数 2()cosfxx给出下列命题： ,()Rfx为奇函数；(0,4， ()f对 R恒成立； 12，若12)fxf，则 12x的最小值为 4； ,x，若 12()0fxf，则 ()kZ其中的真命题有（ ）A B C D11如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A 27 B 48 C 64 D 8112设等差数列 na的前 项和为 1,0,5nmmS
5、S，其中 N且第 4 页 共 14 页2m则数列 1na的前 项和的最大值为（ ）A 413 B C 243 D 61第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 61(2)x的展开式中，常数项为 （用数字作答）14若变量 ,y满足约束条件03xy，则 3zxy的最小值为 15从甲、乙等 8 名志愿者中选 5 人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为 （用数字作答）16如图，将一块半径为 2 的半圆形纸板切割成等腰梯形的形
6、状，下底 AB是半圆的直径，上底 CD的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为 三、解答题 ：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 ABC的内角 ,的对边分别为 ,abc，已知 2cosabA（）求角 的大小；（）若 23b，求 ac的最大值18如图，在多面体 ABCDEF中，底面 ABCD是边长为 2 的菱形， 60BAD，四边形 BDEF是矩形，平面 平面 ， E M为线段 F上一点，且M平面 第 5 页 共 14 页（）求 BM的长；（）求二面角 ADB的余弦值的大小19几个月前，成都街头开始兴起“mobike” 、 “ofo”等共享单车，这样的共享
7、单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了 50 人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如下表：年龄 15,20),5)2,30),5)3,40),5)受访人数 5 6 15 9 10 5支持发展共享单车人数4 5 12 9 7 3（）由以上统计数据填写下面的 2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；年龄低于 35 岁 年龄不低于 35 岁 合计支持不支持合计（）若对年龄在 15,20)， ,5)的被调查人
8、中各随机选取两人进行调查，记选中的 4人中支持发展共享单车的人数为 X，求随机变量 的分布列及数学期望参考数据：第 6 页 共 14 页2()PKk0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式： 2()(nadbcK，其中 nabcd20已知圆 2:(18Cxy，点 1,0)AP是圆 C上任意一点，线段 AP的垂直平分线交 P于点 Q，当点 在圆上运动时，点 Q的轨迹为曲线 E（）求曲线 E的方程；（）若直线 :lykxm与曲线
9、E相交于 ,MN两点， O为坐标原点，求 MON面积的最大值21已知函数 ()1,afnRx（）若关于 x的不等式 ()12f在 ,)上恒成立，求 a的取值范围；（）设函数 ()g，若 g在 2e上存在极值，求 的取值范围，并判断极值的正负请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22已知曲线 C的极坐标方程为 2，在以极点为直角坐标原点 O，极轴为 x轴的正半轴建立的平面直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为235xty（ t为参数） （）写出直线 l的普通方程与曲线 C的直角坐标方程；（）在平面直角坐标系中，设曲线 经过伸缩变换1:2xy得到曲线 C，若(
10、,)Mxy为曲线 C上任意一点，求点 M到直线 l的最小距离23已知 ,fxaR第 7 页 共 14 页（）当 1a时，求不等式 ()256fx的解集；（）若函数 ()3gx的值域为 A，且 1,2，求 a的取值范围试卷答案一、选择题1-5:BABCB 6-10:DDADC 11、12：CD二、填空题13-160 14-3 155040 16 3三、解答题17解：（）由已知及正弦定理，得 2sin2sincoCAB 180()CAB， si()AB化简，得 sin2co10 ， 0B， 3（）由已知及余弦定理，得 212ac即 2()1ac第 8 页 共 14 页 ,0ac， 22()3()1
11、，即 2()48ac 4c，当且仅当 3时，取等号 a的最大值为 18解：（）底面 ABCD是边长为 2 的菱形， 60BAD， AC，且 23， 四边形 EF是矩形， E平面 B平面 A，平面 BF平面 ACB， D平面 ， C平面 D记 ACO取 EF中点 H，则 /OE H平面 B如图，以 为原点，分别以 ,的方向为 x轴， y轴， z轴的正方向建立空间直角坐标系 xyz由题意，得 (1,0)B， (,30)C， (1,)D， (0,3)A， (1,02)E，(,2)F ,3)AC， (,2)AE M为线段 B上一点，设 10Mt (2,0)Dt 平面 ACE， DA t解得 1t (1
12、,0)M B（）由（） ，可知 AC平面 BDEF第 9 页 共 14 页 AC平面 DMB(1,30)， (1,3)A设平面 的法向量为 nxyz由 0nAM，得 03z取 1y，则 (,12) cosn， 14|3AC，二面角 DB的余弦值为 19解：（）根据所给数据得到如下 2列联表：年龄低于 35 岁 年龄不低于 35 岁 合计支持 30 10 40不支持 5 5 10合计 35 15 50根据 2列联表中的数据，得到 2K的观测值为50(315)(0k.38.706不能在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系（）由题意，年龄在 15,2)的 5 个
13、受访人中，有 4 人支持发展共享单车；年龄在20,5)的 6 个受访人中，有 5 人支持发展共享单车随机变量 X的所有可能取值为 2，3，4 14526()CP，1215467()CPX， 6(4)15PX，第 10 页 共 14 页随机变量 X的分布列为2 3 4P15715615随机变量 X的数学期望 269()4EX20解：（）点 Q在线段 AP的垂直平分线上， |AQP又 |2CP， |2|CC曲线 E是以坐标原点为中心， (1,0)和 (,)为焦点，长轴长为 2的椭圆设曲线 的方程为2xyab 1,ca， 21b曲线 E的方程为 2xy（）设 12(,)(,)MN联立 2ykxm消去 y，得 22(1)40kxm此时有 21680k由一元二次方程根与系数的关系，得 1224mxk，21xk222|()41mMN228(1)km原点 O到直线 l的距离 2|dk， 1|2MNSA22(1)m由 0，得 20k又 ，据基本不等式，得
