1、- 1 - 1 -第五讲 不等式基础讲析一不等式的性质：1同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若 ,abcd，则acbd（若 ,abcd，则 acbd） ，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若 0,，则 acb（若 0,cd，则 abcd） ；3左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若 ，则 nab或n；4若 0ab， ，则 1ab；若 0， ab，则 1。练习：（1）对于实数 c,中，给出下列命题： 2,则若 ； c则若 ,2； 0ba则若 ； ba10则若 ； a则若 ,； 则若 ,； b
2、cc则若 ； ，则 0,。其中正确的命题是_（2）已知 1xy， 13xy，则 xy的取值范围是_（3）已知 cba，且 ,0a则 a的取值范围是_二不等式大小比较的常用方法：1作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2作商（常用于分数指数幂的代数式） ；3分析法；4平方法；5分子（或分母）有理化；6利用函数的单调性；7寻找中间量或放缩法 ；8图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。练习:（1）设 0,1ta且 ，比较 21logl21ttaa和 的大小- 2 - 2 -（2）设 a， 12pa， 24aq，试比较 qp,的大小（3）比较 1+ 3logx与 )10(
3、lxx且 的大小三利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这 17 字方针。如（1）下列命题中正确的是A、 1yx的最小值是 2 B、23xy的最小值是 2C、 423(0)的最大值是 4D、 yx的最小值是 23（2）若 1，则 4xy的最小值是_（3）正数 ,满足 2，则 1的最小值为_四.常用不等式有：（1） 221abab(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（ 2）a、b、c R， cbca（当且仅当abc时，取等号） ；（3）若 0,m，则 ma（糖水的浓度问题）。练习：如果正数 a、 b满足 3ba，则 b的取值范围是_六简单的一元高
4、次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正 ；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现 ()fx的符号变化规律，写出不等式的解集。练习：（1）解不等式 2(1)0x。（2）不等式 2()30xx的解集是_- 3 - 3 -（3）设函数 ()fx、 g的定义域都是 R，且 ()0fx的解集为 |12x，()0gx的解集为 ，则不等式 ()fxgA的解集为_（4）要使满足关于 的不等式 92a（解集非空）的每一个 的值至少满足不等式 860342和 中的一个，则实数
5、a的取值范围是_.七分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正 ，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。练习：（1）解不等式 2513x（2）关于 x的不等式 0bax的解集为 ),1(，则关于 x的不等式0ba的解集为_八绝对值不等式的解法1分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：（1）解不等式 |21|432| x（2）解不等式 |1|3x（3）两边平方：若不等式 |32|xa对 xR恒成立，则实数 a的取值范围为_。九含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，
6、函数增减性为基础，分类讨论是关键 ”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是” 。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. 练习：（1）若 2log13a，则 的取值范围是 _（2）解不等式 ()xaR- 4 - 4 -提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于 x的不等式 0bax 的解集为 )1,(，则不等式 02bax的解集为_十一含绝对值不等式的性质： ab、同号或有 0|ab；、异号或有 ab.如设 2()13fx，实数 满足 |1x，
7、求证：|()|)f十二不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：1).恒成立问题若不等式 Axf在区间 D上恒成立,则等价于在区间 D上 minfxA若不等式 B在区间 上恒成立,则等价于在区间 上 aB练习：（1）设实数 ,y满足 22(1)xy，当 0xyc时， 的取值范围是_（答： 21） ；（2）不等式 ax34对一切实数 恒成立，求实数 a的取值范围_（3）若不等式 )(2xm对满足 2的所有 m都成立，则 x的取值范围_（4）若不等式 nn1)1(对于任意正整数 n恒成立，则实数 的取值范围是_（5）若不等式 20x对 x的所有实数 x都成立，求 m的取值范围.2). 能成立问题若在区
8、间 D上存在实数 x使不等式 Axf成立,则等价于在区间 D上maxfA；若在区间 上存在实数 使不等式 Bf成立,则等价于在区间 上的infB.练习：已知不等式 ax34在实数集 R上的解集不是空集，求实数 a的取值范围_- 5 - 5 -3). 恰成立问题若不等式 Axf在区间 D上恰成立, 则等价于不等式 Axf的解集为 D；若不等式 B在区间 上恰成立, 则等价于不等式 B的解集为 .课后 作业（周日）一、选择题 1、若 a，b 是实数，且 ab，则下列结论成立的是（ ）A. 2B. 1abC. 0)balg(D. ba)21(*2、若 ab1， )2lg(),l(g21,lgbaRbaQbaP ，则（ ）A. R0 的解集是 . （周四）13、若函数 )8(6)(2kxkxf 的定义域是 R，则 k 的取值范围是 .*14、若奇函数 y=f（x） ， （ 0当 x ,时，f（x ）=x1，则不等式 xf（x1）0 的解集是 .三、计算题*15、解关于 x 的不等式 ax,12)(（周五）16、关于 x 的不等式组 05)2(kxx的整数解的集合是2 ，求实数 k 的取值范围。（周六）*17、定义在 3,(上 )cos1()sin()( 22 xafxafxf 满 足 ：的 减 函 数 对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围。- 7 - 7 -
