1、第 1 页 共 11 页旋 转 及 综 合 专 题一、 旋转相关定 义1、 定 义： 把 一 个 图 形绕 着 某 一 点 O 转 动 一个 角 度 的 图 形变 换 叫 做 旋转 ， 点 O 叫 做 旋转 中 心 ， 转动的角叫做旋转角。2、如果图形上的点 P 经过旋转变为 P1 ，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。3、（1）对应点到旋转中心的距离相等，即旋转 中心 在对应 点所 连线段 的垂直 平分 线上 ；（2）对应 点与 旋转中 心所 连线段 的夹角 等于 旋转角 ；（3）旋转前、后图形全等。4、 把 一 个 图 形 绕 着 某 一 点 旋 转 180 ， 如果 它 能够 与 另一 个
2、 图形 重 合， 那 么就 说 这两 个 图形 关 于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。这两个图形的对称点叫做关于中心的对称点。5、（1 ）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分；（ 2）关于中心对称的两个图形是全等图形。6、 把 一 个 图 形 绕 着 某 一 点 旋 转 180 ， 如果 旋 转后 的图 形 能够 与 原来 的 图形 重合 ， 那么 这 个图 形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。二、旋转相 关结论 如 图 ， 将 ABC 绕 点 A 逆 时 针 旋 转 角 到AB1C1 。 点 B 和点 B1 为对应点， 点 C 和 C1
3、为对 应点。结 论 1： 旋 转 中 心 为 对 应 点 所 连 线 段 垂 直 平 分 线 的 交 点 ， 也 即 对 应 点 所 连 线 段 的 垂 直 平 分 线 均 经 过 旋 转 中 心 。 如 图 ， 线 段 BB1 的 垂 直 平 分 线 l1 、 线段 CC1 的垂直平分线 l2 都经过旋转中心点 A 。 利 用 这 个 结 论 我 们 可 以 利 用 对 应 点 坐 标求 出 旋 转 中 心 的 坐 标 。 由 于 对 应 点 所 连 线 段 的 垂 直 平 分 线 均 经 过 旋 转 中 心 ， 因 此 只 需 求 出 两 组 对 应 点 所 连 线 段 的 垂 直 平 分
4、 线 解 析 式 ， 然 后 联立即可求出旋转中心坐标。结论 2： 对应点与旋转中心所构成的三角形均为 等腰三角线 ， 且等腰三角形顶角均等于旋转角 。如图， ABB1 和 ACC1 均为等腰三角形， BAB1 CAC1 。第 2 页 共 11 页结论 3：对应点与旋转中心所构成的三角形均相似。如图， BAB1 CAC1 。结论 4：旋转前、后图形全等。如图， ABC AB1C1 。示例 1： 已知 A(3,2) 、 O(0,0) ， 将线 段 OA 绕点 P 旋转得到线 段 O1 A1 ， 其 中 O1 (1,1) 、 A1 (3,4) ，O1 为 点 O 的对应点， A1 为点 A 的对应
5、点，求点 P 的坐标。分 析： 旋转 中心 为对 应 点所 连线 段垂 直平 分 线的 交点 ，因 此只 要 求出 线段 AA1 和 线段 OO1 的 解析 式，然后联立即可求出点 P 的坐标。解析： A(3,2) ， A1 (3,4) 直线 AA1 : x 3直线 AA1 的垂直平分线 l1 : y 1 O(0,0) ， O1 (1,1) 直线 OO1 : y x直线 OO1 的垂直平分线 l2 : y x 1点 P 为 l1 与 l2 的交点，联立： ，可得： P(0,1) 。点 P 的坐标为 P(0,1) 。附： 在直 角坐 标系中 求线 段的垂 直平分 线的 方法（必 须掌 握知识 点
6、） 已知点 A( x1 , y1 ) 和点 B( x2 , y2 ) ，求线段 AB 的垂直平分线 l 。 处理方法如下：第一步： 根据点 A( x1 , y1 ) 和点 B( x2 , y2 ) 的坐标首先求出直线 AB 的解析式： l1 : y k1 x b1 。第 二 步 ： 设 线 段 AB 的 垂 直 平 分 线 l 的 解 析 式 为 ： l : y k2 x b2 。 以 为 l2 l1 ， 所 以k1 k2 1 ， 从而求出 k 2 ， 因此线段 AB 的垂直平分线 l 的解析式转化为：1 21k第三步：根据中点坐标公式直接写出线段 AB 中点 M ( , ) 。1212分析：
7、 既然直线 l 为线段 AB 的垂直平分线， 所以直 线 l 经过线段 AB 的中点， 也即线段 AB 的中点在直线 l 上。第四步：将线段 AB 的中点 M ( , )代入 l : 中求出 b2 的值。12x12y21yxk最后将 b2 的值代入 中即可求出线段 AB 的垂直平分线的解析式。21ybk示例 ：已知点 A(2,4) 和点 B(2,2) ，求线段 AB 的垂直平分线 l 。处理方式如下：第一步：由点 A(2,4) 和点 B(2,2) ，可得直线 AB 的解析式 l1: y x 3 。2第 二 步 ： 设 线 段 AB 的 垂 直 平 分 线 l 的 解 析 式 为 ： l : y
8、 k2 x b2 。 以 为 l2 l1 ， 所 以k1 k2 1 ， 从而求出 k 2 2 ， 因此线段 AB 的垂直平分线 l 的解析式转化为： l : y 2 x b2 。第 3 页 共 11 页第三步：由点 A(2,4) 和点 B(2,2) ，可得线段 AB 的中点 M (0,3) 。 第四步：将点 M (0,3) 代入 l : y 2 x b2 中可得 b2 3 。 因此，最终可得线段 AB 的垂直平分线为 l : y 2x 3 。提醒 ：处理方法需要牢记，另外计算的时候要格外细心，千万不要算错了！三 、 点绕点旋 转 90 问题此种问题通过构造两个直角三角形全等， 然后利用对应直角
9、边线段长度相等， 从而求出对应 点坐标。示例 ：将点 A(3,4) 绕点 P(1,1) 逆时针旋 转 90 ，求点 A 的对应点 A1 的坐标。 分 析 ： 旋转 不 改 变图 形 线 段长 度 及 图形 线 段的夹角。 因此有 PA PA1 。 由于旋转角 为 90 ， 即 APA1 90 ， 因 此 我 们 可 以 就 斜 边 PA PA1 ， 以 平 行 于 坐 标 轴 的 线 段 构 造 两 个 直 角三 角 形 。很 显 然 ，这 两 个 直角 三 角 形时全 等三 角 形 。然 后 利 用直 角 边 线段 长 度 关系 即可求出点 A1 的坐标。解析 ： 如图， 过点 P 作直线
10、l 平行于 x 轴交 y 轴于点 B ， 过点 A 作 AM l 于 M ， 过点 A1 作 A1 N l于 N 。易证 AMP PNA1 （ ASA ），则有： AM PN ， PM A1 N 。 A(3,4) ， P(1,1) AM 3 ， PM 2 ， PB 1 N (2,1) A1 (2,3) 。四、旋转示 例解析（理解如何 利用线段旋转带动 线段所在三角形旋 转）在解决旋转相关题型时， 最常见的是将等腰三角形中一腰旋转至与另一腰重合， 从而利用等 腰三角形的腰转动带动等腰三角形腰所在的三角形转动， 进而构造全等三角形， 再利用旋转知识 解决 相关 问 题 。 因 此， 在 处理 此
11、类 题型 时 ， 同 学们 尤 其 要注 意 题 干中 是 否说 明 某 某三 角 形 为等 腰 三 角 形 ， 尤 其 注意 等 腰 直角 三 角 形、 等 边 三角 形 、 正 方 形 、 顶 角 为特 殊 角 的等 腰 三 角形 ， 遇 到 以上三 角形 时，同 学可 以考虑 以下利 用旋 转来解 题。以 下 通 过 一 些 实 例 来 帮 助 同 学 们 理 解 如 何 利 用 等 腰 三 角 形 的 腰 转 动 带 动 等 腰 三 角 形 腰 所 在 的三角形转动，从而构造全等三角形进而利用旋转知识解决相关问题。第 4 页 共 11 页例 1： 已知如图 ACB ， ACB 90 ，
12、 AC AB ， PA 3 ， PC 2 ， PB 1 ， 求 BPC 的度数？ 分 析：这里明 显可以判断 ACB 为等腰直 角三角形，因此可 以利用将其中一腰 旋转至与另一腰重 合，构造全等三角形。图 （ 1） 图 （2 ）解析 ： 图 （1 ） 中是将等腰直角三角形 ACB 的一腰 AC 绕点 C 逆时针旋 转 90 与另一腰 BC 重合，从而带动 CAP 逆时针旋 转 90 至 CBH ，可得：CAP CBH ， CP CH， HCP 90， PA BH 3 CPH 45 ， PH 2PC 2 PH 2 PB 2 BH 2 HPB 90 BPC 135图 （ 2） 中 是 将 等 腰
13、直 角 三 角 形 ACB 的 一 腰 BC 绕 点 C 顺 时 针 旋 转 90 与 另 一 腰 AC 重 合 ， 从 而带动 CPB 逆时针旋 转 90 至 CHA ， 可得 CPB CHA ， 可得 CHP 45 ， 再利用勾股定理证PHA 90 即可。例 2：已知，如图所示，等腰 RtACB ，ACB 90 ， D 为 ACB 外一点， 且满足 ADC 45 ， AD 3， CD 4 ， 求 BD 的值？分析 ：这里已知等腰 RtACB ，可以将 等腰 RtACB 的一腰 BC 顺时针旋 转 90 与 另一腰 AC 重合，从而带动 DCB 顺时针旋转90 至 HCA 。解析 ：将 DC
14、B 绕点 C 顺时针旋 转 90 至 HCA 。则有， DCB HCA ， DC HC， DCH 90， HDC 45， DH DC 42又 ADC 45 HDA 90 ，最后利用勾股定理可以求出 AH 的值，也即 BD 的值。第 5 页 共 11 页例 3：已知如图， ABC 为等边三角形， PA ， PB 3 ， PC ，求 APC 的度数？72分析 ：这里已知 ABC 为等边三角形，符合旋转条件，可以将 ABC 一边 AC 顺时针旋转 60 与另一边 AB 重合 解析：将 APC 绕点 A 顺时针旋转 60 至 AHB ，则 APC AHB， AP AH， HAP 60， PC HB 2
15、 AHP 为等边三角形 HP PA 7 HB 2 HP 2 PB 2 BHP 90 APC AHB 150 。例 4： 已知如图， 四边形 ABCD ， ADC 60 ， ABC 30 ， 且 AD AC ， 求证： AB 2 BC 2 BD 2 。 分析 ：这里实际可知 ADC 为等边三角形，满足旋转条件。解析 ：将 ADB 绕点 A 逆时针旋转 60 至 ACH 。 可得 ABH 为等边三角形，又 ABC 30 从而可得 CBH 90 ，直角三角形就 可以使用勾股定理了。例 5： 如图， 已知等边 ABC ， 点 D 为 ABC 外一点， 且满足 BDC 120 ， 试问， BD， DA，
16、 DC是否有确定的数量关系？分析 ：这里 ABC 为等边三角形，满足旋转条件。 解析 ：将 ABD 绕点 A 逆时针旋转 60 至 ACH 。 则有， ABD ACH ， ABD ACH 。ADH 为等边三角形 DA DH BDC 120 ， BAC 60 ABD ACD 180 ACH ACD 180第 6 页 共 11 页 D， C， H 三点共线（必须证三点共线，否则扣分） DA DC DB 。变式 拓展 ： 如图已知等边 ABC ， 点 D 为 ABC 外一点， 但 BDC 大小不确定 ， BD 3 ， DC 4 ， 试问 DA 的最大值为多少？分析 ：这里 ABC 为等边三角形，满足
17、旋转条件。 解析 ：将 ABD 绕点 A 逆时针旋转 60 至 ACH 。 则有， ABD ACH ， ADH 为等边三角形 CH BD 3 ， DA DH DH DC CH DA 7 。 DA DC CH例 6：如图， 已知正方形 ABCD ， E 为正方形 ABCD 外一点， AE 2 ， DE 1 ，求 CE 的最大值？分析 ：这里出现了正方形 ABCD （正方向可以看成是两个 等腰直角三角形组合而成），符合旋转条件。解析 ：将 EDC 绕点 D 顺时针旋 转 90 至 HDA ，则有：EDC HDA ， CE AH ， DE DH ， EDH 90 EH 2DE AH AE EH 2
18、3 2 CE 3第 7 页 共 11 页五、 旋转相似旋转相似是比较难的一种变换模式，难就难在不易发觉更不易构造，掌握起来比较难。 两个相似三角形绕某一点旋转，必然出现一对新的相似三角形。如图， ABC AB1C1 ，则有 ABB1 ACC1 。证 明 ： ABC AB1C1 BAC B1 AC1 ，BAB1 CAC1 ABC AB1C1 1 ABB ACC例 1：如图，已知 ABC 为等边三角形， D 为 AB 的中点， DE 1 ， EA 2 ，求 CE 的最大值？分析： ABC 为等边三角形， D 为 AB 的中点，则ACD 30 ， ADC 为直角三角形，可以利用这个ACD 30 特殊
19、角进行构造相似三角形。 解析：连 CD ， 则 CD AD ，且 AC 2 AD ，即 。构造 RtAEH ，使得2则 RtADC RtAEH DAC EAH 60 EAD HAC又 2 AHC AED CH 2DE 2 EAH 60， AEH 90 EH AE 23 CE EH CH CE 2 2 。小结 ：这里可以看出 RtADC RtAEH ，则 AHC AED 。第 8 页 共 11 页例 2：如图，已知 RtABC 中， ACB 90 ， ， CD 3 ， AD ，求 BD 的最大值？12BA5分析 ：这里 ACB 为直角三角形， ，。可以利用这个C直角三角形直角边的比构造相似三角形
20、。解析：过点 C 作 CH CD ，且满足 ，连 DA， AH 。12H则有 ： RtACB RtHCD 。 ACH BCD又12 DCB HCA BD AH12又 AH DH DA ， DH CD 35 AH 4 5 BD 2小结 ：这里 ACB HCD ，则有 DCB HCA 。第 9 页 共 11 页第 11 页 共 11 页六、旋转的 四种模型（仅作了 解）（1 ）绕 点模 型 普通绕点模型很容易看出旋转中心， 一般在等腰三角形尤其是特殊的等腰三角形中可以绕顶点进行旋转，使两腰重合，从而构造三角形全等来解题。AB AC ，则有： BC CD ，则有： CB CA CD ，则有：BAM
21、BCN BCM DCN CBE CAF示例 ：如图，正方形 ABCD 内有一点 P ， PA =1 ， PA = 2 ， PC = 3 。（ 1）求 PD 的长；（2 ）求 APB 的大小；（3 ）求正方形的边长。分析 ：此题中出现了正方形，由于正方形四条边长度相等，四个角均为直角，很适合利用旋转来 作答。解析 ：（ 1）过点 P 作 MN/ / AB 交 AD 于 M ，交 BC于 N 。则有四边形 ABNM 、四边形 DCNM 均为矩形 AM = BN ， DM = CN在 RtPAM 中有： PA 2 = AM 2 + PM 2 ；在 RtPNC 中有： PC 2 = CN 2 + PN
22、 2 ；在 RtPBN 中有： PB 2 = BN 2 + PN 2 ；在 RtPDM 中有： PD 2 = DM 2 + PM 2 ； PA 2 + PC 2 = PB 2 + PD 2 又 PA =1， PA = 2 ， PC = 3 PD = 。6（ 2）将 PBC 绕点 B 逆时针旋 转 90 得 EBA ，则有 PBC EBA ， BE BP BE BP ， AE PC 3 ， PE PB 2 ， BPE 45 PA 2 PE 2 12 (2 )2 9 AE 2 APE 为直角三角形 APE 90 APB APE BPE 135 APB 135 。（ 3）过点 B 作 BF AP 于 F APB 135 BPF 45 BF PF PB AF PA PF 1 22在 RtAFB 中有： AB 2 BF 2 AF 2 5 2 AB ，即正方形的边长为在遇 到等 腰三角 形时 可以利 用旋转 使腰 刚好重 合， 构造全 等三 角形解 题。
