1、1专题：圆 锥 曲 线 之 轨 迹 问 题一、临阵磨枪1.直接法（五部法）：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系“翻译”成含 的等式就得到曲,xy线的轨迹方程。这种求轨迹的方法称之为直接法。2.定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义） ，则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。3.坐标转移法（代入法）：有些问题中，其动点满足的条件不便于等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足
2、的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法坐标转移法，也称相关点法或代入法。4.参数法：有时求动点应满足的几何条件不易求出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标 中的 分别随另一变量的变化而变化，我们可以把这(,)xy,个变量设为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参变量即可。5.交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常可通过解方程组得出交点含参数的坐标，再消去参数得出所求轨迹方程，此种方法称为交轨法。二、小试牛刀1.
3、已知 M（-3,0） ，N（3,0） ,则动点 P 的轨迹方程为 6NP析： 点 P 的轨迹一定是线段 MN 的延长线。故所求轨迹方程是 0(3)yx2.已知圆 O 的方程为 ，圆 的方程为 ，由动点 P 向两22O 0182xy圆所引的切线长相等，则动点 P 的轨迹方程为 析：圆 O 与圆 外切于点 M(2,0) 两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等，故动点 P 的轨迹就是两圆的内公切线，其方程为 2x3.已知椭圆 ，M 是椭圆上一动点， 为椭圆的左焦点，则线段)0(12bayx 1F的中点 P 的轨迹方程为 1MF析：设 P 又 由中点坐标公式可得：(,)xy0(,)y1(,0)F
4、c2又点 在椭圆 上002xcxcyy0(,)Mxy)0(12bayx 因此中点 P 的轨迹方程为201(0)xab2()4xcyab4.已知 A、B、C 是不在同一直线上的三点， O 是平面 ABC 内的一定点，P 是动点，若,则点 P 的轨迹一定过三0),2(O角形 ABC 的 重 心。析：设点 D 为 BC 的中点，显然有 A12ABCB故点 P 的轨迹是射线 AD， 所以，轨迹一定过三角形的重心。,0,P三、大显身手1、直接法例 1、设过点 P（x,y）的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A、B 两点，点Q 与点 P 关于 y 轴对称，若 且 ,则 P 点的轨迹方程为
5、,2PAB1BOQ解：设 又 所以(,0),Aab()y()(,)baxy又 所以,2B322xaxby3(,0)(,)(,)AxyAB而 点与 点关于 轴对称，点 的坐标为 即QPQ(,)xy(,)OQxy又 所以 这个方程即为所求轨迹方程。1BO231xy变式 1、已知两点 M（-2,0） ， N（2,0） ，点 P 满足 ,动点 P 的0NM轨迹方程为 解:设 则：(,)Pxy24,(),(4,)(2,).xyxy又 0PN3化简得所求轨迹方程为：24()4(2)0xyx28yx2、定义法例 2、已知圆 A 的方程为，点 B（ -3,0） ，M 为圆 O10)3(yx上任意一点，BM 的
6、中垂线交 AM 于点 P，求点 P 的轨迹方程。解：由题意知： AAB又圆 A 的半径为 10，所以 10M10P即点 P 的轨迹是以定点 A(3,0) B(-3,0)为焦点，10 为长轴的椭圆 （椭圆与长轴所在的对称轴的两交点除外）其轨迹方程为 )5(1625xyx变式 2、已知椭圆 的焦点)0(2ba为 ，P 是椭圆上的任意一点，如果 M 是线段21,F的中点，则动点 M 的轨迹方程是 解：因为 M 是线段 的中点，连接 OM，则12PFO1由椭圆的定义知： a21PF)(21即点 M 到定点 O、定点 的距离和为定值 ，故动点 M 的轨迹是以 O、 为焦点，1 1F以 为长轴的椭圆，其方
7、程为a 14)2(2byacx（说明：此题也可以用代入法解决）3、坐标转移法（代入法）OPxyABM0 xyPF1 F2M4例 3、从双曲线 上一点 Q 引直线 x+y=2 的垂线，垂足为 N，求线段 QN 的中12yx点 P 的轨迹方程。解：设 Q 则由),(0可得 N 点坐标2yx设20y),(yxP由中点坐标公式可得：又点 Q 在双曲线 上，2323200yxyxy ),(0yx12yx所以 代入得420 4)23()( 化简得 即为所求轨迹方程。 21)()1(yx变式 3、自抛物线 上任意一点 P 向其准线 引垂线，垂足为 Q，连接顶点 O 与x2lP 的直线和连接焦点 F 与 Q
8、的直线交于 R，求点 R 的轨迹方程。解：设 抛物线的方程是),(),0yxRxy2 210(F所以 直线 OP 的方程是 0xy直线 QF 的方程是 210联立两方程得： 又 10xy0x所以 化简得： 即为所求)2()1(xy22y轨迹方程。4、参数法例 4、设椭圆方程为 ，过点 M（0,1）的直线 交椭142yxl5圆于 A、B，点 P 满足 ,点 ，当直线 绕点 M 旋转时，求：)(21OBA)21,(Nl（1）动点 P 的轨迹方程； （2） 的最大、最小值。P解：（1）设直线 的方程为 代入椭圆方程得l1kxy03)4(2xk设 则 ),(,21yBA2214kx22121xky设动
9、点 P 的坐标为 ，由 可得),(y)(1OBAP消去参数 即得所求轨迹方程为：2214kyxk 042yx当斜率 不存在时，点 P 的坐标为（0,0）显然在轨迹上，k故动点 P 的轨迹方程为 。02yx（2）P 点的轨迹方程可以化为 1)(4162所以可设点 P 的坐标为 则sin2,co4(2cos4163)i)21cos4( 22 N736所以 当 时 当 时 cos62maxPNcos41minPN变式 4、过抛物线 的顶点作互相垂直的两弦 OA、OB.y2(1) 求弦 AB 的中点的轨迹方程；（ 2）证明：直线 AB 与 x 轴的交点为定点。解：（1）由题意知 OA 的斜率存在且不为
10、零，设为 k则直线 OA 的方程为 与抛物线 联立可kxyy得点 A 的坐标为 同理可得点 B 的坐标为)2,(设弦 AB 的中点为 M（x,y）则),2(k6消去 得弦 AB 的中点的轨迹方程为kyx122x（2）直线 AB 的斜率为 21kAB所以，其方程为 令 得)(2xy0y2x故直线 AB 与 x 轴的焦点为定点（2,0）5、交轨法例 5、垂直于 x 轴的直线交双曲线 于 M、N 两点， 为双曲线的顶点，12byax21,A求直线 与 的交点 P 的轨迹方程，并指出轨迹的形状。MA1N2解：.解：(1)设 M 点的坐标为( x1,y1)，则 N 点坐标为(x1,y 1),又有 )0,
11、21aA则 A1M 的方程为： y= )(1xA2N 的方程为：y= )(1a得：y 2= )(221xy又因点 M 在双曲线上，故 ).(,121221 axbyba即代入并整理得 =1.此即为 P 的轨迹方程.2yx变式 5、设点 A、B 为抛物线 上除原点以)0(2pxy外的两个动点，已知 OAOB,OMAB 于 M，求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。解:设OA=y=kx, 则 ，xky1:7得 同理 B(2pk 2, -2pk)pxyk2)2,(kpA22211kkkAB AB: 2322)(pxpxpy.)2(11123 pxkkk 而op: .xy2 为AB与 的交点，联
12、立 MO)2.(1.(2xkyp(1)(2)消去k,y2=-(x-2p)x, x 2+y2-2px=0(x0)即为所求.四、享受战果1、已知 ，则动点 P 的轨迹方程为 4),02(,(PNM析:满足条件的点在线段 上，故轨迹方程是 0(2)yx2、经过抛物线 焦点的弦的中点的轨迹方程为 pxy2析：设过焦点的弦 AB 所在的直线方程为 代入抛物线方程消去 的()2pykxy2222()()04pkxxkp设 AB 的中点为12,(,)AyB(,Mxy则 消去参数 得21212()xpkyp k这就是所求轨迹方程。2()px3、与圆 外切，又与 y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程为 04y8析：若
13、与圆 外切，又与 y 轴相切的圆在 轴的左侧，042xy y则所求轨迹方程为 ()若与圆 外切，又与 y 轴相切的圆在 轴的右侧2xy y则动圆圆心到定圆圆心地距离减去定圆半径 2 等于动圆圆心到 轴的距离，y故所求轨迹方程为 28.yx4、设 是椭圆 的左右顶点， 是垂直于长轴的弦的端点，则直线21,A14921,P与 的交点的轨迹方程为 1P2解析：设交点 P(x,y）,A 1(3,0),A 2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,y 0)A 1、P 1、P 共线， 30xyA 2、P 2、P 共线， 0解得 x0= 149,149,3,9 22yxyxy即代 入 得5、已知椭圆 的
14、焦点为 ，A 是椭圆上任意一点，过点 向 的134221,F1F2A外角平分线作垂线于 D，则点 D 的轨迹方程为 解：设 的延长线交直线 于 P，F12由椭圆的定义知：),(),yxPD=8aA212 8)(yx又 代入得yxy21211即为点 D 的轨迹方程。)0(x96、过原点的双曲线以 F（4,0）为一个焦点，且实轴长为 2，则此双曲线的中心的轨迹方程为 析：设双曲线的中心为 ，则双曲线的另一个焦点为(,)Pxy(4,2)Fxy又双曲线过原点，且实轴长为 2，所以 即 4OF2(4)xy化简得： 2()16.xy（7、在 中，已知 B（-3,0） ，C(3,0),ADBC 于 D, 的
15、垂心 H 分 所成的比为ACABCAD。 （1）求点 H 和点 A 的轨迹方程；（2）设 P（-1,0 ） ，8Q（1,0）那么 能成等差数列吗？QP1,解 (1)设 H 点的坐标为 ,对应的 A 的坐标为)(yx, 则 D 的坐标为 , 由 H 分有向线段 )(1yx01此即点 H 的轨迹方程.(2)由(1)可知, P, Q 分别为椭圆的左右焦点 , 设 H(x, y), 且数列, 则 知所 成 的 比 为 8A198yxCB又 31x,1389xy故 ),0(892y即得代 入 上 式再 将 ,981y ,18649221yx ,189221yx即的 轨 迹 方 程 为故 点 A ).02
16、能 成 等 差QHP1,但,12H 故,3,31,2xPQ7,312xx化 简 得108、 已知直线 l 与椭圆 有且仅有一个交点 Q，且与 x 轴、y 轴分别交于 R、S，求以线段 SR 为对角线的矩形 ORPS 的一个顶点 P 的轨迹方程.解： 由已知，直线 l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线 l 的方程为代入椭圆方程 得化简后，得关于的一元二次方程于是其判别式 由已知，得=0即 在直线方程 y=kx+m 中，分别令 y=0，x =0，求得 令顶点 P 的坐标为(x，y) ，由已知，得 代入式并整理，得 即为所求顶点 P 的轨迹方程. 9、动点 P 到直线 x=1 的距离与它到点 A（4,
17、0）的距离之比为 2，则点 P 的轨迹方程是 略解：由题意知：点 P 到点 A（4,0）与它到直线 x=1 的距离之比为 1设 P(x,y)则 21)4(2xy化简得： 0633210、已知 A（0,7） ，B（0，-7）C（12,2） ，以 C 为一个焦点作过 A、B 的椭圆，求椭圆的另一焦点 F 的轨迹方程。解：由题意得： 而BF15,3A所以 故动点 F 的轨迹是分别以 A、B 为焦点，实轴为 2 的双曲线的下半2支，其方程是 )1(48yxy11、已知圆 O 的方程 ，若抛物线过点 A(0，-1),B(0,1) ，且以圆的切线为准线，2!,031922矛 盾但 此 时 xy .1,不 可 能 成 等 差 数 列故 H)(2bay ).0(km，22yxb)2(222 bakxax.)( bka).(4)()222 2mbbk2a ).,0(,(mSkR.,.,yk解 得 ,12bxa
