1、专题九：二次函数压轴题【问题解析】中考压轴题是中考必不可少的试题，这类题一般是融代数、几何为一体的综合题，或者是解决实际问题的综合题此类题注重对数学思想方法、探究性思维能力和创新思维能力的考查，涉及的知识比较多，信息量大，题目灵活，要求学生有较高的分析问题、解决问题的能力它符合新课标对学生能力提高的要求从近几年各省市中考数学压轴题来看，作为试卷的最后一题，一般都是循序渐进地设置几个问题，对学生的要求一步步的抬高压轴题涉及知识多，覆盖面广，综合性强，难度系数大，关系比较复杂，解法灵活，既考查了学生的基础知识和基本技能，又考查了学生的数学思想方法和探索创新能力、解决问题能力，是必不可少的近几年来主
2、要以函数和几何综合题、二次函数与代数知识综合应用、一次函数与二次函数综合题、开放探究题等类型出现，【热点探究】类型一：抛物线与三角形的综合问题【例题 1】 （2016云南省昆明市）如图 1，对称轴为直线 x= 的抛物线经过 B（2，0） 、C（0，4）两点，抛物线与 x 轴的另一交点为 A（1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 为第一象限内抛物线上的一点，设四边形 COBP 的面积为 S，求 S 的最大值；（3）如图 2，若 M 是线段 BC 上一动点，在 x 轴是否存在这样的点 Q，使MQC 为等腰三角形且MQB 为直角三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数
3、综合题【分析】 （1）由对称轴的对称性得出点 A 的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式；（2）作辅助线把四边形 COBP 分成梯形和直角三角形，表示出面积 S，化简后是一个关于 S 的二次函数，求最值即可；（3）画出符合条件的 Q 点，只有一种，利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比例式；在直角OCQ 和直角CQM 利用勾股定理列方程；两方程式组成方程组求解并取舍【解答】解：（1）由对称性得：A（1，0） ，设抛物线的解析式为：y=a（x+1） （x2） ，把 C（0，4）代入：4=2a，a=2，y=2（x+1） （x2） ，抛物线的解析式为：y=2x 2+2x+4；（2）如图 1，设
4、点 P（m，2m 2+2m+4） ，过 P 作 PDx 轴，垂足为 D，S=S 梯形 +SPDB = m（2m 2+2m+4+4）+ （2m 2+2m+4） （2m） ，S=2m 2+4m+4=2（m1） 2+6，20，S 有最大值，则 S 大 =6；（3）如图 2，存在这样的点 Q，使MQC 为等腰三角形且MQB 为直角三角形，理由是：设直线 BC 的解析式为：y=kx+b，把 B（2，0） 、C（0，4）代入得： ，解得： ，直线 BC 的解析式为：y=2x+4，设 M（a，2a+4） ，过 A 作 AEBC，垂足为 E，则 AE 的解析式为：y= x+ ，则直线 BC 与直线 AE 的交
5、点 E（1.4，1.2） ，设 Q（x，0） （x0） ，AEQM，ABEQBM， ，由勾股定理得：x 2+42=2a2+（2a+44） 2，由得：a 1=4（舍） ，a 2= ，当 a= 时，x= ，Q（ ，0） 【同步练】（2016浙江省湖州市）如图，已知二次函数 y=x 2+bx+c（b，c 为常数）的图象经过点 A（3，1） ，点 C（0，4） ，顶点为点 M，过点 A 作 ABx 轴，交 y 轴于点 D，交该二次函数图象于点 B，连结 BC（1）求该二次函数的解析式及点 M 的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移 m（m0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC 的内部
6、（不包括ABC 的边界） ，求 m 的取值范围；（3）点 P 是直线 AC 上的动点，若点 P，点 C，点 M 所构成的三角形与BCD 相似，请直接写出所有点 P 的坐标（直接写出结果，不必写解答过程） 类型二：抛物线与四边形的综合问题【例题 2】2016青海西宁12 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是以AB 为直径的M 的内接四边形，点 A，B 在 x 轴上，MBC 是边长为 2 的等边三角形，过点M 作直线 l 与 x 轴垂直，交M 于点 E，垂足为点 M，且点 D 平分 （1）求过 A，B，E 三点的抛物线的解析式；（2）求证：四边形 AMCD 是菱形；（3）请问在抛物线
7、上是否存在一点 P，使得ABP 的面积等于定值 5？若存在，请求出所有的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【分析】 （1）根据题意首先求出抛物线顶点 E 的坐标，再利用顶点式求出函数解析式；（2）利用等边三角形的性质结合圆的有关性质得出AMD=CMD= AMC=60，进而得出 DC=CM=MA=AD，即可得出答案；（3）首先表示出ABP 的面积进而求出 n 的值，再代入函数关系式求出 P 点坐标【解答】 （1）解：由题意可知，MBC 为等边三角形，点 A，B，C，E 均在M 上，则 MA=MB=MC=ME=2，又COMB，MO=BO=1，A（3，0） ，B（1，0） ，
8、E（1，2） ，抛物线顶点 E 的坐标为（1，2） ，设函数解析式为 y=a（x+1） 22（a0）把点 B（1，0）代入 y=a（x+1） 22，解得：a= ，故二次函数解析式为：y= （x+1） 22；（2）证明：连接 DM，MBC 为等边三角形，CMB=60，AMC=120，点 D 平分弧 AC，AMD=CMD= AMC=60，MD=MC=MA，MCD，MDA 是等边三角形，DC=CM=MA=AD，四边形 AMCD 为菱形（四条边都相等的四边形是菱形） ；（3）解：存在理由如下：设点 P 的坐标为（m，n）S ABP = AB|n|，AB=4 4|n|=5，即 2|n|=5，解得：n=
9、，当 时， （ m+1） 22= ，解此方程得：m 1=2，m 2=4即点 P 的坐标为（2， ） ， （4， ） ，当 n= 时， （m+1） 22= ，此方程无解，故所求点 P 坐标为（2， ） ， （4， ） 【同步练】（2016四川眉山）已知如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A、B、C 分别为坐标轴上上的三个点，且 OA=1，OB=3，OC=4，（1）求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系 xOy 中是否存在一点 P，使得以以点 A、B、C、P 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点 M 为该抛物线上一动点，
10、在（2）的条件下，请求出当|PMAM|的最大值时点 M 的坐标，并直接写出|PMAM|的最大值类型三：抛物线与图形变换的综合问题【例题 3】 （2016陕西）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+5 经过点 M（1，3）和 N（3，5）（1）试判断该抛物线与 x 轴交点的情况；（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点 A（2，0） ，且与 y 轴交于点 B，同时满足以 A、O、B 为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由【考点】二次函数综合题【分析】 （1）把 M、N 两点的坐标代入抛物线解析式可求得 a、b 的值，可求得抛物线解析式，再
11、根据一元二次方程根的判别式，可判断抛物线与 x 轴的交点情况；（2）利用 A 点坐标和等腰三角形的性质可求得 B 点坐标，设出平移后的抛物线的解析式，把 A、B 的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式，比较平移前后抛物线的顶点的变化即可得到平移的过程【解答】解：（1）由抛物线过 M、N 两点，把 M、N 坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，抛物线解析式为 y=x23x+5，令 y=0 可得 x23x+5=0，该方程的判别式为=（3） 2415=920=110，抛物线与 x 轴没有交点；（2）AOB 是等腰直角三角形，A（2，0） ，点 B 在 y 轴上，B 点坐标为（0，2）或（0，2） ，可
12、设平移后的抛物线解析式为 y=x2+mx+n，当抛物线过点 A（2，0） ，B（0，2）时，代入可得 ，解得 ，平移后的抛物线为 y=x2+3x+2，该抛物线的顶点坐标为（ ， ） ，而原抛物线顶点坐标为（ ， ） ，将原抛物线先向左平移 3 个单位，再向下平移 3 个单位即可获得符合条件的抛物线；当抛物线过 A（2，0） ，B（0，2）时，代入可得 ，解得 ，平移后的抛物线为 y=x2+x2，该抛物线的顶点坐标为（ ， ） ，而原抛物线顶点坐标为（ ， ） ，将原抛物线先向左平移 2 个单位，再向下平移 5 个单位即可获得符合条件的抛物线【同步练】（2016重庆市 A 卷12 分）如图 1，
13、在平面直角坐标系中，抛物线y= x2+ x+3 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为点 E（1）判断ABC 的形状，并说明理由；（2）经过 B，C 两点的直线交抛物线的对称轴于点 D，点 P 为直线 BC 上方抛物线上的一动点，当PCD 的面积最大时，Q 从点 P 出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点 M 处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到 y 轴上的点 N 处，最后沿适当的路径运动到点 A 处停止当点 Q 的运动路径最短时，求点 N 的坐标及点 Q 经过的最短路径的长；（ 3）如图 2，平移抛物线，使抛物线的顶点 E 在射线
14、 AE 上移动，点 E 平移后的对应点为点 E，点 A 的对应点为点 A，将AOC 绕点 O 顺时针旋转至A 1OC1的位置，点A，C 的对应点分别为点 A1，C 1，且点 A1恰好落在 AC 上，连接 C1A，C 1E，AC 1E是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点 E的坐标；若不能，请说明理由类型四：抛物线下的动态最值问题【例题 4】 （2016贵州安顺14 分）如图，抛物线经过 A（1，0） ，B（5，0） ，C（0， ）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC 的值最小，求点 P 的坐标；（3）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否
15、存在一点 N，使以 A，C，M，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】 （1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c（a0） ，再把 A（1，0） ，B（5，0） ，C（0， ）三点代入求出 a、b、c 的值即可；（2）因为点 A 关于对称轴对称的点 B 的坐标为（5，0） ，连接 BC 交对称轴直线于点P，求出 P 点坐标即可；（3）分点 N 在 x 轴下方或上方两种情况进行讨论【解答】解：（1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c（a0） ，A（1，0） ，B（5，0） ，C（0， ）三点在抛物线上， ，解得 抛物线的解析式为：y= x22x ；（2）抛物线的解析式为：y= x22x ，其对称轴为直线 x= = =2，连接 BC，如图 1 所示，B（5，0） ，C（0， ） ，设直线 BC 的解析式为 y=kx+b（k0） ，
