1、数学章末综合测试题导数及其应用1曲线 y x3x 在点 处的切线与坐标轴围成的三角面积为( )13 (1，43)A. B. C. D.19 29 13 232函数 y4x 2 的单调增区间为( )A(0 ，) B. C(，1) D.1x (12， ) ( ， 12)3若曲线 f(x)xsinx1 在 x 处的切线与直线 ax2y10 互相垂直，则实数 a 等于( )2A2 B1 C1 D24设函数 f(x)g(x)x 2，曲线 yg( x)在点(1，g(1)处的切线方程为 y2x1，则曲线 y f(x)在点 (1，f(1) 处的切线的斜率为( ) A4 B 14C2 D125已知 f(x)x
2、3ax 在(，1上递增，则 a 的取值范围是( )Aa3 Ba3 Ca3 Da 36设 f(x)是一个三次函数，f(x)为其导函数，如图所示的是 yxf(x )的图像的一部分，则 f(x)的极大值与极小值分别是( ) Af(1)与 f(1) Bf (1)与 f(1) Cf(2)与 f(2) Df(2) 与 f(2)7若函数 f(x) x3 f(1)x 2f(2)x3，则 f(x)在点(0，f(0) 处切线的倾斜角为( )13 12A. B. C. D.4 3 23 348下图所示为函数 yf( x)，yg(x)的导函数的图像，那么yf(x) ， y g(x)的图像可能是 ( )9若函数 f(x
3、)在 R 上满足 f(x)e xx 2xsinx，则曲线 yf(x) 在点(0，f(0)处的切线方程是( )Ay2x1 By 3x2 Cyx 1 Dy 2x310如图，函数 f(x)的导函数 yf ( x)的图像，则下面判断正确的是( )A在(2,1) 内 f(x)是增函数 B在(1,3)内 f(x)是减函数 新 课标 第 一 网 mC在(4,5) 内 f(x)是增函数 D在 x2 时，f(x)取到极小值11已知函数 f(x)x 3px 2 qx 的图像与 x 轴相切于(1,0)点，则 f(x)的极大值、极小值分别为( )A. 、0 B0、 C 、0 D 0、427 427 427 42712
4、若函数 yf( x)的图像在点 P 处的切线方程为 xy20，则 f(1)f(1)( ) w w w .x k b 1.c o mA1 B2 C3 D4二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分13设 P 为曲线 C：y x 2x1 上一点，曲线 C 在点 P 处的切线的斜率的范围是1,3，则点 P 纵坐标的取值范围是 _14已知函数 f(x)lnx 2x，g(x) a(x 2x)，若 f(x)g(x)恒成立，则实数 a 的取值范围是_15设函数 yax 2bx k(k0) 在 x0 处取得极值，且曲线 yf(x )在点(1，f(1)处的切线垂直于直线x2y10，则 ab
5、的值为 _16已知函数 f(x)的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是 _函数 f(x)在区间(3,1)内单调递减；函数 f(x)在区间(1,7)内单调递减；当 x3 时，函数 f(x)有极大值；当 x7 时，函数 f(x)有极小值三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分17(10 分) 已知函数 f(x)x 3ax 2bxa 2(a，bR)(1)若函数 f(x)在 x1 处有极值为 10，求 b 的值；(2)若对任意 a4，)，f(x)在 x0,2上单调递增，求 b 的最小值18(12 分) 已知函数 f(x)x 3 x2bxc.12(1)若 f(x)在( ，)上是增函数，求 b 的
6、取值范围； (2)若 f(x)在 x1 处取得极值，且 x1,2 时，f (x)c 2 恒成立，求 c 的取值范围19(12 分) 已知函数 f(x) (xR )2mx m2 1x2 1(1)当 m1 时，求曲线 yf(x) 在点(2，f (2)处的切线方程；(2)当 m0 时，求函数 f(x)的单调区间与极值20(12 分) 已知函数 f(x)( a )x2ln x(aR )12(1)当 a1 时，求 f(x)在区间1 ，e上的最大值和最小值；(2)若在区间(1 ， )上，函数 f(x)的图像恒在直线 y2ax 下方，求 a 的取值范围21(12 分) 设函数 f(x)lnx，g( x)ax
7、 ，函数 f(x)的图像与 x 轴的交点也在bx函数 g(x)的图像上，且在此点有公共切线 (1)求 a， b 的值； (2)对任意 x0，试比较 f(x)与 g(x)的大小22(12 分) 设函数 f(x)ax 32bx 2cx4d( a，b，c，dR) 的图像关于原点对称，且 x1 时，f(x)取极小值 . (1)求 a，b， c，d 的值； (2)当 x1,1时，图像上是否存在两点，使得过两点处的切23线互相垂直？试证明你的结论； (3)若 x1，x 21,1，求证：|f(x 1)f(x 2)| .43一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分1曲线 y x3x 在点
8、 处的切线与坐标轴围成的三角面积为( )13 (1，43)A. B. C. D.19 29 13 23解析：yx 21，当 x1 时，ky| x1 2，切线方程为 y 2(x1)当 x0 时，y ，当 y0 时，x .43 23 13三角形的面积 S | | . 12 23 13 19答案：A2函数 y4x 2 的单调增区间为( )1xA(0，) B.(12， )C(，1) D.( ， 12)解析：由 y4x 2 ，得 y 8x . 令 y0，即 8x 0，解得 x ，1x 1x2 1x2 12函数 y4x 2 在 上递增. 1x (12， )答案：B3若曲线 f(x)xsinx1 在 x 处
9、的切线与直线 ax2y10 互相垂直，则实数 a 等于( )2A2 B1 C1 D2解析：据已知可得 f(x )sinx xcos x，故 f 1.由两直线的位置关系可得 11，解得 a2. (2) a2答案：D4设函数 f(x)g(x)x 2，曲线 yg( x)在点(1，g(1)处的切线方程为 y2x1，则曲线 yf (x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为( )A4 B 14C2 D12解析：f(x) g(x)x 2，f(x)g( x)2x，X k b 1 . c o mf(1)g(1)2224. 答案：A5已知 f(x)x 3ax 在(，1上递增，则 a 的取值范围是( )Aa3 Ba3
10、 Ca3 Da 3解析：由 f(x)x 3ax ，得 f(x) 3x 2a，由 3x2a0 对于一切 x(，1恒成立，3x2a，a3.若 a3，则 f(x )0 对于一 切 x( ，1恒成立若 a3，x(，1)时， f(x) 0 恒成立x1 时，f (1)0，a3. 答案：D6设 f(x)是一个三次函数，f(x)为其导函数，如图所示的是 yxf(x )的图像的一部分，则 f(x)的极大值与极小值分别是 ( )Af(1)与 f(1) Bf(1)与 f(1)Cf(2) 与 f(2) Df(2)与 f(2)解析：由 yxf(x )的图像知2 是 yf ( x)的两个零点，设 f( x)a(x2)(
11、x2)当 x2 时，xf(x )ax(x2)(x 2)0，a0.由 f(x )a(x2)( x2)知， f(2)是极大值，f (2)是极小值，故选 D. 答案：D7若函数 f(x) x3 f(1)x 2f(2)x3，则 f(x)在点(0，f(0) 处切线的倾斜角为( )13 12A. B. 4 3C. D.23 34解析：由题意，得 f(x )x 2f (1) xf(2)，令 x0，得 f (0)f(2)，令 x1，得 f (1)1f(1)f(2)，f(2)1，f(0) 1，即 f(x)在点(0，f(0)处切线的斜率为1，倾斜角为 . 34答案：D8下图所示为函数 yf( x)，yg(x)的导
12、函数的图像，那么 yf (x)，y g(x)的图像可能是( )解析：由 yf (x)的图像知，yf (x) 在(0，)上单调递减，说明函数 yf(x)图像上任意一点切线的斜率在(0，)也单调递减，故可排除 A，C.又由图像知，yf ( x)与 yg( x)的图像 在 xx 0处相交，说明 y f(x)与 yg(x)的图像在 xx 0处的切线斜率相同，故可排 除 B.故选 D. 答案：D9若函数 f(x)在 R 上满足 f(x)e xx 2xsinx，则曲线 yf(x) 在点(0，f(0)处的切线方程是( )Ay2x1 By3x2Cy x1 Dy 2x3解析：令 x0，解得 f(0)1.对 f(
13、x)求导，得 f(x) e x2x1cos x，令 x0，解得 f(0) 1，故切线方程为 yx1. 答案：C10如图，函数 f(x)的导函数 yf ( x)的图像，则下面判断正确的是( )A在(2,1) 内 f(x)是增函数B在(1,3) 内 f(x)是减函数 新 课 标 第 一 网 mC在(4,5) 内 f(x)是增函数D在 x2 时，f (x)取到极小值解析：在(2,1)上，导函数的符号有正有负，所以函数 f(x)在这个区间上不是单调函数；同理，函数 f(x)在(1,3)上也不是单调函数，在 x2 的左侧，函数 f(x)在 上是增函数在 x2 的右侧，函数 f(x)在( 32，2)(2,
14、4)上是减函数，所以在 x 2 时，f(x)取到极大值；在(4,5)上导函数的符号为正，所以函数 f(x)在这个区间上为增函数. 答案：C11已知函数 f(x)x 3px 2 qx 的图像与 x 轴相切于(1,0)点，则 f(x)的极大值、极小值分别为( )A. 、0 B0、 427 427C 、0 D0、427 427解析：f(x) 3x 22px q，由 f(1)0，f(1) 0，得Error!解得Error!f(x)x 32x 2x .由 f(x )3x 24x 10，得 x ，或 x1.13从而求得当 x 时，f( x)取极大值 ；当 x1 时，f (x)取极小值 0.故选 A. 13
15、 427答案：A12如右图，若函数 yf( x)的图像在点 P 处的切线方程为 xy20，则 f(1)f(1)( ) w w w .x k b 1.c o mA1 B2C3 D4解析：由图像知 f(1)3，f(1) 1，故 f(1)f(1)314. 答案：D第卷 (非选择 共 90 分)二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分13设 P 为曲线 C：y x 2x1 上一点，曲线 C 在点 P 处的切线的 斜率的范围是1,3，则点 P 纵坐标的取值范围是 _解析：设 P(a， a2a1) ，y| xa 2a1 ， 1，30a2.从而 g(a)a 2a1 2 .(a 12)
16、34当 a 时，g(a) min ；a2 时，g(a) max3. 故 P 点纵坐标范围是 .12 34 34，3答案： 34，314已知函数 f(x)lnx 2x，g(x) a(x 2x)，若 f(x)g(x)恒成立，则实数 a 的取值范围是_解析：设 F(x)f(x)g(x )，其定义域为(0，) ，则 F(x) 22axa ，x(0， )1x (2x 1)(ax 1)x当 a0 时，F(x)0，F( x)单调递增，F(x)0 不可能恒成立当 a0 时，令 F(x)0，得 x ，或 x (舍去) 1a 12当 0x 时，F (x) 0；当 x 时，F(x)0.故 F(x)在(0，)上有最大
17、值 F ，由题意 F 01a 1a (1a) (1a)恒成立，即 ln 10.令 (a)ln 1，则 (a)在(0，) 上单调递减，且 (1)0，故1a 1a 1a 1aln 10 成立的充要条件是 a1.1a 1a答案：1，)15设函数 yax 2bx k(k0) 在 x0 处取得极值，且曲线 yf(x )在点(1，f(1)处的切线垂直于直线x2y10，则 ab 的值为 _解析：f(x) ax 2bx k (k 0)，f ( x)2axb.又 f(x)在 x0 处有极值，故 f(0) 0，从而 b0.由曲线 y f(x)在(1，f(1) 处的切线与直线 x2y1 0 垂直，可知该切线斜率为
18、2，即 f(1)2，2a2，得 a1.ab101.答案：116已知函数 f(x)的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是 _( 填写正确命题的序号)函数 f(x)在区间(3,1)内单调递减；函数 f(x)在区间(1,7) 内单调递减；当 x3 时，函数 f(x)有极大值；当 x7 时，函数 f(x)有极小值解析：由图像可得，在区间(3,1) 内 f(x)的导函数数值大于零，所以 f(x)单调递增；在区间(1,7)内 f(x)的导函数值小于零，所以 f(x)单调递减；在 x3 左右的导函数符号不变，所以 x3 不是函数的极大值点；在 x7 左右的导函数符号在由负到正，所以函数 f(x)在 x7
19、 处有极小值故正确答案：三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分17(10 分) 已知函数 f(x)x 3ax 2bxa 2(a，bR)(1)若函数 f(x)在 x1 处有极值为 10，求 b 的值；(2)若对任意 a4，)，f(x)在 x0,2上单调递增，求 b 的最小值解析：(1)f(x)3x 22axb，则Error!Error!或Error!当Error!时，f(x )3x 28x11，641320，故函数有极值点；当Error!时，f(x )3(x1) 20，故函数无极值点；故 b 的值为11.(2)方法一：f( x)3x 22axb0 对任意的 a4， ) ，x0,2都成立，则
20、 F(a)2xa3x 2b0 对任意的 a 4，)，x0,2都成立x0，F( a)在 a4，)上单调递增或为常数函数，得 F(a)minF(4)8x3x 2b0 对任意的 x0,2 恒成立，即 b(3x 28x) max，又3x 28x3 2 ，(x 43) 163 163当 x 时，(3x 28x )max ，得 b ，43 163 163故 b 的最小值为 .163方法二：f(x)3x 22ax b 0 对任意的 a4，)，x0,2 都成立，即 b3x 22ax 对任意的 a4，)，x0,2都成立，即 b( 3x 22ax) max.令 F(x)3x 22ax3 2 ，(x a3) a23
21、当 a0 时，F(x) max0，于是 b0；当4a0 时，F(x) max ，于是 b .a23 a23又 max ，b .(a23) 163 163综上，b 的最小值为 .16318(12 分) 已知函数 f(x)x 3 x2bxc.12(1)若 f(x)在( ，)上是增函数，求 b 的取值范围； (2)若 f(x)在 x1 处取得极值，且 x1,2 时，f (x)c 2 恒成立，求 c 的取值范围解析：(1)f(x)3x 2xb，因 f(x)在(，) 上是增函数，则 f(x) 0，即 3x2xb0，bx3x 2在(，)恒成立设 g(x)x3x 2，当 x 时，g(x) max ，b .1
22、6 112 112(2)由题意，知 f(1)0，即 31b0，b2.x1,2时，f(x)c 2恒成立，只需 f(x)在 1,2上的最大值小于 c2即可因 f( x)3x 2x2，令 f(x )0，得 x1，或 x .23f(1) c，f( ) c，f (1) c，f (2)2c，32 23 2227 12f(x) maxf(2) 2c ，2cc 2，解得 c2，或 c1，所以 c 的取值范围为( ，1) (2，)19(12 分) 已知函数 f(x) (xR )2mx m2 1x2 1(1)当 m1 时，求曲线 yf(x) 在点(2，f (2)处的切线方程；(2)当 m0 时，求函数 f(x)的
23、单调区间与极值解析：(1)当 m1 时，f(x ) ，f (2) ，2xx2 1 45又因为 f(x) ，则 f(2) .2(x2 1) 4x2(x2 1)2 2 2x2(x2 1)2 625所以曲线 yf(x )在点(2 ，f(2)处的切线方程为y (x2)，即 6x25y320.45 625(2)f(x) 2m(x2 1) 2x(2mx m2 1)(x2 1)2 . 2(x m)(mx 1)(x2 1)2令 f(x )0，得到 x1 ，x 2m.1mm0， m.1m当 x 变化时，f( x)，f( x)的变化情况如下表：x ( ，1m)1m ( 1m，m)m (m，)f (x) 0 0 f
24、(x) 递减 极小值 递增 极大值 递减从而 f(x)在区间 ，(m，)内为减函数，在区间 内为增函数，( ， 1m) ( 1m，m)故函数 f(x)在点 x1 处取得极小值 f ，且 f m 2，函数 f(x)在点 x2m 处取得极大值 f(m)，1m ( 1m) ( 1m)且 f(m) 1.20(12 分) 已知函数 f(x)( a )x2ln x(aR )12(1)当 a1 时，求 f(x)在区间1 ，e上的最大值和最小值；(2)若在区间(1 ， )上，函数 f(x)的图像恒在直线 y2ax 下方，求 a 的取值范围解析：(1)当 a1 时，f (x) x2ln x，f(x)x .12
25、1x x2 1x对于 x1 ，e有 f( x)0，f(x)在区间1，e上为增函数，f(x) maxf(e)1 ，f (x)minf (1) .e22 12(2)令 g(x)f(x)2ax (a )x22ax ln x，12则 g(x)的定义域为(0，)在区间(1，)上，函数 f(x)的图像恒在直线 y2ax 下方等价于 g(x)0 在区间(1， )上恒成立g(x )(2a1)x2a1x(2a 1)x2 2ax 1x ，(x 1)(2a 1)x 1x若 a ，令 g(x)0，得极值点 x11，x 2 ，12 12a 1当 x2x 11，即 a1 时，在(x 2，)上有 g(x) 0，12此时 g(x)在区间(x 2，)上是增函数，并且在该区间上有 g(x)(g( x2)，) ，不符合题意；当 x2x 11，即 a1 时，同理可知，g(x)在区间(1，) 上，有 g(x)( g(1)，)，也不符合题意；
