1、第 1 页 共 8 页圆锥曲线测试题一、选择题（ 共 12 题，每题 5 分 ）1已知椭圆 的两个焦点为 、 ，且 ，12yax)(a1F28|21F弦 AB过点 ，则 的周长为（ ）1F2AB（A）10 （B）20 （C）2 （D） 4142椭圆 上的点 P到它的左准线的距离是 10，那么点 P 360yx到它的右焦点的距离是（ ）（A）15 （B）12 （C）10 （D）83椭圆 的焦点 、 ，P 为椭圆上的一点，已知1925yx1F2，则 的面积为（ ）1PF2（A）9 （B）12 （C）10 （D）84以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为 2的双曲线方程是（ ）（A） （B
2、）22yx 2xy（C） 或 （D） 或442x225双曲线 右支点上的一点 P到右焦点的距离为 2，则196P点到左准线的距离为（ ）（A）6 （B）8 （C）10 （D）126过双曲线 的右焦点 F2有一条弦 PQ，|PQ|=7,F 1是左82yx焦点，那么F 1PQ的周长为（ ）（A）28 （B） （C） （D）481427双曲线虚轴上的一个端点为 M,两个焦点为 F1、F 2，则双曲线的离心率为（ ）201MF（A） （B） （C） （D）3638在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为 2，焦点到相应准线的距离为 21，则该双曲线的离心率为( )第 2 页 共 8 页(A) 2 (
3、B) 2 ( C) 2 ( D) 29 如果椭圆 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的1936yx直线方程是（ ）（A） （B） （C） （D）02yx0420123yx810 如果双曲线 1xy上一点 P到双曲线右焦点的距离是 2，那么点 P到 y轴的距离是（ ）(A) 463 (B) 263 (C) 26 (D) 2311 中心在原点，焦点在 y轴的椭圆方程是 2sincos1xy ， (0,)2，则 （ ）A (0,)4 B (0,4 C (,)42 D ,212 已知双曲线 210,xyCab： 的右焦点为 F,过 且斜率为3的直线交 于 AB、 两点，若 4AFB,则 的离心率为（
4、 ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A、 65 B、 75 C、 5 D、第 3 页 共 8 页95二、填空题（ 20 ）13 与椭圆 具有相同的离心率且过点（2，- ）的椭圆的2143xy 3标准方程是 。14 离心率 ，一条准线为 的椭圆的标准方程是 5ex。15 以知 F 是双曲线214xy的左焦点， (1,4)AP是双曲线右支上的动点，则 PA的最小值为 16已知双曲线2(0,)xyab的左、右焦点分别为12(,0)(,Fc，若双曲线上存在一点 P使 12sinFac，则该双曲线的离心率的取值范围是 三、解答题（ 70 ）17) 已知椭圆 C的焦点 F1（ ，0）和 F2（ ，
5、0） ，长轴2长 6，设直线 交椭圆 C于 A、B 两点，求线段 AB的中点2xy坐标。18) 已知双曲线与椭圆 共焦点，它们的离心率之和为592y，求双曲线方程.51419)求两条渐近线为 且截直线 所得弦长为02yx03yx的双曲线方程。3820(1)椭圆 C: (ab0)上的点 A(1, )到两焦点的距12byax 23离之和为 4,求椭圆的方程;(2)设 K是(1)中椭圆上的动点, F 1是左焦点, 求线段 F1K第 4 页 共 8 页的中点的轨迹方程;(3)已知椭圆具有性质:若 M、N 是椭圆 C上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点, 当直线 PM、PN 的斜率都存在并记为 k
6、PM、k PN时，那么 是与点 P位置无关的定PNMk值。试对双曲线 写出具有类似特性的性质，并12byax加以证明。解：(1) 1342yx(2)设中点为(x,y), F 1(-1,0) K(-2-x,-y)在 上 1342yx34)2(2yx(3)设 M(x1,y1), N(-x1,-y1), P(xo,yo) , xox 1 则 )(212axoby(2121axby 221021022101010 )(abxbxyxyxyPNM axk 为定值。21 (1)当 k为何值时，直线 l与双曲线有一个交点，两个交点，没有交点。(2) 过点 P（1，2）的直线交双曲线于 A、B 两点，若 P为
7、弦AB的中点，求直线 AB的方程；第 5 页 共 8 页（3）是否存在直线 ，使 Q（1，1）为 被双曲线所截弦的中点。l l若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由。l解：(1)当直线 l的斜率不存在时，l 的方程为 x=1,与曲线 C有一个交点.当 l的斜率存在时，设直线 l的方程为y2=k(x1),代入 C的方程，并整理得(2k 2)x2+2(k22k)xk 2+4k6=0( *)()当 2k 2=0,即 k= 时，方程( *)有一个根，l 与 C2有一个交点.()当 2k 20,即 k 时2=2(k 22k) 24(2k 2)(k 2+4k6)=16(32k)当 =0,即 32k
8、=0,k= 时，方程( *)有一个实根，l 与3C有一个交点.当 0,即 k ,又 k ,故当 k 或2322 k 或 k 时，方程( *)有两不等实根，l 与 C有2两个交点.当 0，即 k 时，方程( *)无解，l 与 C无交点.23第 6 页 共 8 页综上知：当 k= ,或 k= ，或 k不存在时，l 与 C只有23一个交点；当 k ,或 k ,或 k 时，l 与 C有两2322个交点；当 k 时，l 与 C没有交点.23（2）假设以 P为中点的弦为 AB，且 A(x1,y1),B(x2,y2)，则 2x12y 12=2,2x22y 22=2两式相减得：2(x 1x 2)(x1+x2)
9、=(y1y 2)(y1+y2)又x 1+x2=2,y1+y2=4 2(x 1x 2)=y1y 1 即 kAB=121xy但渐近线斜率为 ,结合图形知直线 AB与有交点，所以以 P2为中点的弦为：y=x+1.(3)假设以 Q为中点的弦存在，设为 AB，且 A(x1,y1),B(x2,y2)，则 2x12y 12=2,2x22y 22=2两式相减得：2(x 1x 2)(x1+x2)=(y1y 2)(y1+y2)又x 1+x2=2,y1+y2=2 2(x 1x 2)=y1y 1 即 kAB=第 7 页 共 8 页=221xy但渐近线斜率为 ,结合图形知直线 AB与 C无交点，故假设2不正确，即以 Q
10、为中点的弦不存在.13)与椭圆 具有相同的离心率且过点（2，- ）的椭2143xy 3圆的标准方程是 或 。8623415yx14）离心率 ，一条准线为 的椭圆的标准方程是35e。29150xy17) 已知椭圆 C的焦点 F1（ ，0）和 F2（ ，0） ，长轴2长 6，设直线 交椭圆 C于 A、B 两点，求线段 AB的中点2x坐标。(8 分)解:由已知条件得椭圆的焦点在 x轴上,其中 c= ,a=3,从而b=1,所以其标准方程是: .联立方程组 ,消去 y得, .219xy219xy2103670x设 A( ),B( ),AB线段的中点为 M( )则: ,1,2,xy0,1285x=0x25
11、所以 = +2= .也就是说线段 AB中点坐标为(- , ).y0 9518) 已知双曲线与椭圆 共焦点，它们的离心率之和为1259yx，求双曲线方程.(10 分)514解:由于椭圆焦点为 F(0, 4),离心率为 e= ,所以双曲线的焦45点为 F(0, 4),离心率为 2,从而 c=4,a=2,b=2 .3第 8 页 共 8 页所以求双曲线方程为: .214yx20)求两条渐近线为 且截直线 所得弦长为003yx的双曲线方程。(10 分)38解:设双曲线方程为 x2-4y2= .联立方程组得: ,消去 y得，3x 2-24x+(36+ )=0-4y30 设直线被双曲线截得的弦为 AB，且 A( ),B( )，那么：1,x2,xy1228364()0x那么：|AB|=22211368(12)3()()84)kxx解得: =4,所以，所求双曲线方程是： 4xy
