1、11991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分 15分,每小题 3分.把答案填在题中横线上.)(1) 设 则 _.sin,xyzedz(2) 设曲线 与 都通过点 且在点 有公共切线,3fa2gxbc10,10则 _, _, _.a(3) 设 ,则 在点 _处取极小值 _.xfenf(4) 设 和 为可逆矩阵, 为分块矩阵,则 _.AB0AXB1X(5) 设随机变量 的分布函数为 0,.41()8,3,.xFxPx则 的概率分布为 _.X二、选择题(本题满分 15分,每小题 3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 下
2、列各式中正确的是 ( )(A) (B) 01limxx 01limxxe(C) (D) lixxelixx(2) 设 则下列级数中肯定收敛的是 ( )10(,2)na(A) (B) 1n1na(C) (D) 1na 21()n(3) 设 为 阶可逆矩阵, 是 的一个特征根,则 的伴随矩阵 的特征根之一是( )AAA*(A) (B) (C) (D) 1n1nA(4) 设 和 是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是 ( )B2(A) 与 不相容 (B) 与 相容 ABAB(C) (D) PP(5) 对于任意两个随机变量 和 ,若 ,则 ( )XY()()EXEY(A) (B)
3、()()DY ()DXDY(C) 和 独立 (D) 和 不独立X三、(本题满分 5分)求极限 ,其中 是给定的自然数.120limxnxee四、(本题满分 5分)计算二重积分 ,其中 是由 轴, 轴与曲线 所围成的区域,DIydxxy1xyab.0,ab五、(本题满分 5分)求微分方程 满足条件 的特解.2dyx2xey六、(本题满分 6分)假设曲线 ： 、 轴和 轴所围区域被曲线 ： 分为面1L201yxxy2L2yax积相等的两部分,其中 是大于零的常数,试确定 的值.aa七、(本题满分 8分)某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为 和 ；销售量分别为 和1p21q；需求函数分
4、别为 和 ,总成本函数为2q11240q.p2205q.123540C.试问：厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大？最大利润为多少？八、(本题满分 6分)试证明函数 在区间 内单调增加.1()xf(0,)3九、(本题满分 7分)设有三维列向量 123210,问 取何值时,(1) 可由 线性表示,且表达式唯一?123(2) 可由 线性表示,且表达式不唯一?(3) 不能由 线性表示?123十、(本题满分 6分)考虑二次型 .问 取何值时, 为正定二2213123244fxxxf次型.十一、(本题满分 6分)试证明 维列向量组 线性无关的充分必要条件是n12,n,12122120TTn
5、TTnnD其中 表示列向量 的转置, .Tii,i十二、(本题满分 5分)一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以 表示该汽车首次遇到X红灯前已通过的路口的个数.求 的概率分布.X十三、(本题满分 6分)假设随机变量 和 在圆域 上服从联合均匀分布.Y22xyr(1) 求 和 的相关系数 ;(2) 问 和 是否独立?XY十四、(本题满分 5分)设总体 的概率密度为 1,0,(;)axepx其中 是未知参数, 是已知常数.试根据来自总体 的简单随机样本00aX4,求 的最大似然估计量 .12,nX 1
6、991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分 15分,每小题 3分.)(1)【答案】 sincoxyedxy【解析】方法一：先求出两个偏导数 和 ,然后再写出全微分 ,zxydz,sinsinsi sicocoyxyxzee所以 sinsincocoxyxyzdxdeded5.sinco()xyedxy方法二：利用一阶全微分形式不变性和微分四则运算法则直接计算 .dz.sinxysinxysinxysinxydzecodecoxy(2)【答案】 , ,1ab1c【解析】由于曲线 与 都通过点 则fg10,fabc又曲线 与 在点 有公切线,则 ,即fxg101fg, 2
7、 11332xxfab亦即 ,解之得 , , .32abbc(3)【答案】 ；1xnne【解析】由高阶导数的莱布尼兹公式 可知,0nknkuvCuv()0()1(1)2(2)()nxnxnxnnxfCeeee.对函数 求导,并令 ,得ngxf0gx,(1)(1)0nxfe 解之得驻点 ,且1xn,()0()xgg函 数 严 格 单 调 递 减函 数 严 格 单 调 递 增 ；故 是函数 的极小值点,极小值为nf.() 11(11()nne(4)【答案】 10BA【解析】利用分块矩阵,按可逆矩阵定义有,123400XAEB6由对应元素或块相等,即3412,0,.AXEB从 和 均为可逆矩阵知 .
8、故应填 .AB1 13412,0,XAXB10BA(5)【答案】 x3P0.4 0.4 0.2【解析】因为随机变量 的分布函数 在各区间上的解析式都与自变量 无关,所X()Fxx以在 的连续点, ,只有在 的间断点处 取值的概率才大于零,且()Fx0xX,则()0)PXPx,11.4XF()8330.2.P因此 的概率分布为Xx13X0.4 0.4 0.2二、选择题(本题满分 15分,每小题 3分.) (1)【答案】(A)【解析】由重要极限 可知,1lim()xxe极限 ,(1)1li()x .()lixxe而极限 ,00111limn()limn()ln()001lim()ixx xxxe令
9、 ,则t,01ln()1lin()ili0t tx t洛7所以 .01limn()001li()xxxee故选项(A)正确.(2)【答案】(D)【解析】因为 ,由 收敛及比较判别法可知 绝对收221(1)na21n21()na敛.即(D)正确.另外,设 ,则可知()2n(A) , (C) 1112nnna 11122nna都不正确.设 ,则可知(B)不正确. 2120,()4nn(3)【答案】(B).【解析】由 为 的特征值可知,存在非零向量 ,使得 .AXA两端同时乘以 ,有 ,由公式 得到 .于是*()XA*X.*1AX按特征值定义知 是伴随矩阵 的特征值.故应选(B).1*【相关知识点】
10、矩阵特征值与特征向量的定义：设 是 阶矩阵,若存在数 及非零的An维列向量 使得 成立,则称 是矩阵 的特征值 ,称非零向量 是矩阵 的nAXXA特征向量.(4)【答案】(D)【解析】 ,如果 ,则 ,即 与 互不相容；如果BBB,则 ,即 与 相容.由于 、 的任意性,故选项(A)(B)均不正确.AAA任何事件 一定可以表示为两个互不相容事件 与 的和. 又因 ,从而A,另外要注意区分独立与互不相容两个概念,不要错误地把 、 互不相B B容等同于 、 相互独立而错选(C).A, 不相容 , , 均不为零,因此PB,0PAB.即(C)不正确. 用排除法应选(D).事实上, A.8(5)【答案】
11、(B)【解析】由于 ,因此有()()EXYcov,()0,()(2cov,()(.EXYDDXY故应选(B).【相关知识点】若两个随机变量 的方差都大于零,则下面四个命题是等价的：1) ；()()EXY2) ；(DDY3) ；cov(,)04) 和 不相关,即 和 的相关系数 .XYX0三、(本题满分 5分)【解析】方法一：这是 型未定式极限. 112 2012lnlim0 0limimxnxxnxeeeexnxee ,20ln()lnixxee其中指数上的极限是 型未定式,由洛必达法则,有020ln()lnimxxxee.20 12(1)li 2xnxx nee 所以 .1220li nxn
12、xx 方法二：由于 ,1 12 2xnxxnxeeee 记 ,则当 时 ,从而21xnxy 0y9.1 1120 00limlim()li()yxnx xxeey而 ,所以 .10li()yye01li0li()xyyxe又因 200()()()limlixxnxx e.20001111lilimli(2)2xxnxenn 洛所以 .1220li nxnxee四、(本题满分 5分)【解析】积分区域 如图阴影部分所示.D由 ,得 .1xyab2xa因此 .22 411200 001bxaabxa aD xIdydxyd令 ,有 ,故1xta2(),()tt42204011()abxbIdtadt
13、.562124520 0()3tbtt五、(本题满分 5分)【解析】将原方程化为 ,由此可见原方程是齐次微分方程.221ydyxx令 ,有 将其代入上式,得 ,yuxuxd 21dyux10化简得 ,即 .积分得 1duxdx21ln.uxC将 代入上式,得通解 .y2(l)y由条件 ,即 求得 .xe4ne1所以 所求微分方程的特解.2(ln1)y六、(本题满分 6分)【解析】先求出曲线 和 的交点,然后利用定积分求出平面图形面积 和 ,如图： 1L2 1S2由 得 210yxa1x,ay.所以 1121200()Sdxdx,30x1 12 20 0a aSxdxd.130ax又因为 ,所以 ,即 ,解得12S21 2a3.七、(本题满分 8分)【解析】方法 1：总收入函数为,221214005Rpqp.p.总利润函数为1212354LCqq.12300395p.p.由极值的必要条件,得方程组
