1、172xB(0,4)A(6,0)EF xyO二次函数与四边形一二次函数与四边形的形状例 1.(浙江义乌市) 如图，抛物线 与 x 轴交 A、B 两点（A 点在 B 点23yx左侧），直线 与抛物线交于 A、 C 两点，其中 C 点的横坐标为 2l（1）求 A、B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式；（2）P 是线段 AC 上的一个动点，过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段 PE 长度的最大值；（3）点 G 是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F，使 A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 F 点坐标；如果不存在，请说明理由
2、练习 1.(河南省实验区) 23如图，对称轴为直线 的抛物线经过点72xA（6，0）和 B（0，4）（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点 E（ ， ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形xyOEAF 是以 OA 为对角线的平行四边形求平行四边形 OEAF 的面积 S 与 之间x的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；当平行四边形 OEAF 的面积为 24 时，请判断平行四边形 OEAF 是否为菱形？是否存在点 E，使平行四边形 OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由练习 2.（四川省德阳市）25.如图，已知与 轴交于点 和 的抛x(10)A， (5)B，物
3、线 的顶点为 ，抛物线 与 关于 轴对称，顶点为 1l(34)C， 2l1C（1）求抛物线 的函数关系式；2l（2）已知原点 ，定点 ， 上的点 与 上的点 始终关于 轴对称，则当点 运动O(0)D， 2lP1lxP到何处时，以点 为顶点的四边形是平行四边形？P， ， ，（3）在 上是否存在点 ，使 是以 为斜边且一个角为 的直角三角形？若存，2lMAB 30求出点 的坐标；若不存在，说明理由A5432112345 54321AEBCO2l1lxy2练习 3.（山西卷）如图，已知抛物线 与坐标轴的交点依次是 ， ， 1C(40)A(2)B(08)E（1）求抛物线 关于原点对称的抛物线 的解析式
4、；1C2（2）设抛物线 的顶点为 ，抛物线 与 轴分别交于Mx两点（点 在点 的左侧），顶点为 ，四边形CD， N的面积为 若点 ，点 同时以每秒 1 个单位的速度沿MNASAD水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点 ，点 同时以每秒 2 个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点 与点A重合为止求出四边形 的面积 与运动时间 之间的关St系式，并写出自变量 的取值范围；t（3）当 为何值时，四边形 的面积 有最大值，并求tMN出此最大值；（4）在运动过程中，四边形 能否形成矩形？若能，求DA出此时 的值；若不能，请说明理由t二二次函数与四边形的面积例 1.（资阳市）25.如图 10，
5、已知抛物线 P：y=ax 2+bx+c(a0) 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在 x 轴的正半轴上)，与 y 轴交于点 C，矩形 DEFG 的一条边 DE 在线段 AB上，顶点 F、G 分别在线段 BC、AC 上，抛物线 P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x -3 -2 1 2 y -52-4 -50 (1) 求 A、B、C 三点的坐标；(2) 若点 D 的坐标为(m，0)，矩形 DEFG 的面积为 S，求 S 与 m 的函数关系，并指出 m 的取值范围；(3) 当矩形 DEFG 的面积 S 取最大值时，连接 DF 并延长至点 M，使FM=kDF，若点 M 不在抛物线 P 上，求
6、k 的取值范围.练习 1.（辽宁省十二市第 26题）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形 OMNH，点 H的坐标为（8，0），点 N的坐标为（6，4）（1）画出直角梯形 OMNH绕点 O旋转 180的图形 OABC，并写出顶点 A， B， C的坐标（点 M的对应点为 A， 点 N的对应点为 B， 点 H的对应点为 C）；（2）求出过 A， B， C三点的抛物线的表达式； （3）截取 CE=OF=AG=m，且 E， F， G分别在线段 CO， OA， AB上，求四边形 BEFG的面积 S与 m之间的函数关系式，并写出自变量 m的取值范围；面积 S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，
7、请说明理由；（4）在（3）的情况下，四边形 BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接 写出此时 m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由图 103练习 3.（吉林课改卷）如图，正方形 的边长为 ，在对称中心 处有一钉子动点 ，ABCD2cmOP同时从点 出发，点 沿 方向以每秒 的速度运动，到点 停止，点 沿QAPCQ方向以每秒 的速度运动，到点 停止 ， 两点用一条可伸缩D1cmPQ的细橡皮筋联结，设 秒后橡皮筋扫过的面积为 x2cy（1）当 时，求 与 之间的函数关系式；0 yx（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求 值；（3）当 时，求 与 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及2x
8、钉子到运动停止时 的变化范围；POQ（4）当 时，请在给出的直角坐标系中画出 与 之间的函数图0x yx象练习 4.（四川资阳卷）如图，已知抛物线 l1：y =x2-4 的图象与 x 轴相交于A、C 两点，B 是抛物线 l1 上的动点 (B 不与 A、C 重合)，抛物线 l2 与 l1 关于 x 轴对称，以 AC 为对角线的平行四边形 ABCD 的第四个顶点为 D.(1) 求 l2 的解析式；(2) 求证：点 D 一定在 l2 上；(3) ABCD能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积 )；如果不能为矩形，请说明理由. 注：计算结果不取近似
9、值.三二次函数与四边形的动态探究例 1.(荆门市)28. 如图 1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片 OABC，已知 O(0，0) ，A(4，0)，C(0，3) ，点 P 是 OA 边上的动点(与点 O、A 不重合) 现将 PAB 沿 PB 翻折，得到PDB；再在OC 边上选取适当的点 E，将POE 沿 PE 翻折，得到PFE，并使直线 PD、PF 重合(1)设 P(x，0) ， E(0，y) ，求 y 关于 x 的函数关系式，并求 y 的最大值；(2)如图 2，若翻折后点 D 落在 BC 边上，求过点 P、B、 E 的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点 Q，
10、使PEQ 是以 PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点 Q 的坐标B CPODQAB P CODQA y321O2x4图 1FEPDyxBACO图 2OCABxy DPE F例 2.已知抛物线 yax2 bx c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，其中点 B 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，线段 OB、OC 的长（OB0,y 表示点 E 到 OA 的距离OA 是 的对角线，EAF 21764()5OAESy因为抛物线与 轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量 的x x取值范围是 1 6 根据题意，当 S = 24 时，即
11、 274()54化简，得 解之，得27().4x123,.x故所求的点 E 有两个，分别为 E1（3，4），E 2（4，4）点 E1（3，4）满足 OE = AE，所以 是菱形；OAF点 E2（4，4）不满足 OE = AE，所以 不是菱形 当 OAEF，且 OA = EF 时， 是正方形，此时点 E 的OEAF坐标只能是（3，3）而坐标为（3，3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点 E，使 为正方形OAF532112345 54321AEBCO2l1lxy754321123D5 54321ACEMBCO2l1lxy练习 2.解：（1）由题意知点 的坐标为 设 的函数关系式为 C(34)， 2
12、l 2(3)4yax又 点 在抛物线 上， ，解得 (0)A， 2()yax10a1抛物线 的函数关系式为 （或 ）2l 265yx（2） 与 始终关于 轴对称， 与 轴平行P P设点 的横坐标为 ，则其纵坐标为 ， ， ，即m26m4OD2654m当 时，解得 当 时，解得265m26532 当点 运动到 或 或 或 时，3P(32)， ()， ()， (32)，以点 为顶点的四边形是平行四边形POD ， ， ，（3）满足条件的点 不存在理由如下：若存在满足条件的点 在 上，则MM2l， （或 ），90AB30A30AB1422过点 作 于点 ，可得 EE， ， 1BM34O点 的坐标为 (
13、4)，但是，当 时， x265123y不存在这样的点 构成满足条件的直角三角形练习 3. 解 （1）点 ，点 ，点 关于原点的对称点分别为 ，(40)A，()B，(08)E， (0)D， 设抛物线 的解析式是(20)C(8)F2C，则 解得2(0)yaxbc6408abc，168abc，所以所求抛物线的解析式是 26yx（2）由（1）可计算得点 (31)(MN，过点 作 ，垂足为 NHAD当运动到时刻 时， ， t28Ot12Ht根据中心对称的性质 ，所以四边形，8是平行四边形MDNA所以 所以，四边形 的面积 因为运2ADNS MDNA2(82)1418Stt动至点 与点 重合为止，据题意可
14、知 04t所以，所求关系式是 ， 的取值范围是 2418St0t（3） ，（ ）784Stt所以 时， 有最大值 t14提示：也可用顶点坐标公式来求（4）在运动过程中四边形 能形成矩形 MDNA由（2）知四边形 是平行四边形，对角线是 ，所以当 时四边形ADMN，AN是矩形MDNA所以 所以 O22OH所以 解之得 （舍）240t1266tt，所以在运动过程中四边形 可以形成矩形，此时 MDNA2t点评本题以二次函数为背景， 结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。二二次函数与四边形的面积例 1. 解：（1）解法一：设 ，)0(2acbxy任取 x,y 的三组值
15、代入，求出解析式 ，214=+-令 y=0，求出 ；令 x=0，得 y=-4，124,x=- A、B、C 三点的坐标分别是 A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) . 解法二：由抛物线 P 过点(1，- )，(-3， )可知，552-抛物线 P 的对称轴方程为 x=-1，又 抛物线 P 过(2，0)、(-2，-4)，则由抛物线的对称性可知，点 A、B、C 的坐标分别为 A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) .（2）由题意， ，而 AO=2，OC=4，AD=2-m，故 DG=4-2m， DGOC=又 ，EF=DG，得 BE=4-2m， DE=3m，EF =DGDE=(4-2m) 3
16、m=12m-6m2 (0m2) .DEFGs注：也可通过解 RtBOC 及 RtAOC，或依据BOC 是等腰直角三角形建立关系求解.(3)SDEFG=12m-6m 2 (0m2)，m=1 时，矩形的面积最大，且最大面积是 6 .当矩形面积最大时，其顶点为 D(1，0)，G(1，-2)，F(-2，-2)，E(-2，0)，设直线 DF 的解析式为 y=kx+b，易知，k= ，b=- ， ，2323yx=-9又可求得抛物线 P 的解析式为： ，214yx=+-令 = ，可求出 . 设射线 DF 与抛物线 P 相交于点 N，23x-214x+-36则 N 的横坐标为 ，过 N 作 x 轴的垂线交 x
17、轴于 H，有613= = ，FHED2-5619-+点 M 不在抛物线 P 上，即点 M 不与 N 重合时，此时 k 的取值范围是k 且 k0.5619-+说明：若以上两条件错漏一个，本步不得分.若选择另一问题：(2) ，而 AD=1，AO=2，OC=4，则 DG=2，ADGOC=又 ， 而 AB=6，CP=2，OC=4，则 FG=3，FPB =DGFG=6.DEFGs练习 1.解：利用中心对称性质，画出梯形 OABC 1 分 A， B， C三点与 M， N， H分别关于点 O中心对称， A（0，4）， B（6，4）， C（8，0） 3 分（写错一个点的坐标扣 1分）（2）设过 A， B， C
18、三点的抛物线关系式为 ，抛物线过点 A（0，4）， 则抛物线关系式为 4 分将 B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得 5AB，垂足为 G，则 sinFEG sinCAB 分 10解得 6分所求抛物线关系式为： 7 分（3） OA=4， OC=8， AF=4 m， OE=8 m 8 分 OA（ AB+OC） AFAG OEOF CEOA（ 0 4） 10 分 当 时， S的取最小值又0 m4，不存在 m值，使 S的取得最小值 12 分（4）当 时， GB=GF，当 时， BE=BG 14 分练习 3.解 （1）当 时， ， ， ，01x 2APxQ212yAPx即 2yx（2）当 时，橡皮筋刚好触及钉子，ABCDABPQSS正 方 形四 边 形， ， ， xx2112x43x（3）当 时， ，413 ， ，2PBxAx，232QyBx即 3x作 ， 为垂足OEA当 时， ， ， ，42 2PxAQx1OE，BEOEAQyS梯 形 梯 形 132x即 32x 321O2xy43
