1、12017 年考研数学三真题一、选择题 18 小题每小题 4 分，共 32 分1若函数 在 处连续，则cos,0()xfxab（A） （B） （C） （D）1212ab2【详解】 ， ，要使函数在 处连续，000cos1lim()lilimxxxf0li()(0)xfbf0x必须满足 所以应该选（A ）1122ba2二元函数 的极值点是（ ）(3)zy（A） （B） （C） （D）0,)03(,)30(,)1(,)【详解】 ， ，2(3)zyxyxy2zxy222,3zxyxy解方程组 ，得四个驻点对每个驻点验证 ，发现只有在点 处满足230zxyy 2ACB1(,)，且 ，所以 为函数的极大
2、值点，所以应该选（D）230ACB20AC1(,)3设函数 是可导函数，且满足 ，则()fxfx（A） （B） （C） （D）1)f()1()f1()f【详解】设 ，则 ，也就是 是单调增加函数也就得到2(gx2()0gxfx2x，所以应该选（C）2()()1)ffff4 若级数 收敛，则 （ ）21sinlkk（A） （B） （C ） （D）222【详解】iv 时n2221111siln() ()kkkoonnn显然当且仅当 ，也就是 时，级数的一般项是关于 的二阶无穷小，级数收敛，从而选()0择（C） 5设 为 单位列向量， 为 阶单位矩阵，则nEn（A） 不可逆 （B） 不可逆T TE（
3、C） 不可逆 （D） 不可逆22【详解】矩阵 的特征值为 和 个 ，从而 的特征值分T1n0,2,TTTTE别为 ； ； ； 显然只有 存在零特征值，所以不可逆，0,1 , , 3,1应该选（A） 6已知矩阵 ， ， ，则 201201B02C（A） 相似， 相似 （B ） 相似， 不相似,C, ,A,B（C） 不相似， 相似 （D ） 不相似， 不相似【详解】矩阵 的特征值都是 是否可对解化，只需要关心 的情况,B123,1 2对于矩阵 ， ，秩等于 1 ，也就是矩阵 属于特征值 存在两个线性无关的A02EA特征向量，也就是可以对角化，也就是 AC对于矩阵 ， ，秩等于 2 ，也就是矩阵 属
4、于特征值 只有一个线性无关的B012 2特征向量，也就是不可以对角化，当然 不相似故选择（B） ,7设 ， 是三个随机事件，且 相互独立， 相互独立，则 与 相互独立的充分必要,ABCAC,ABC条件是（ ）（A） 相互独立 （B） 互不相容, ,（C） 相互独立 （D ） 互不相容【详解】3()()()()()()()()PABCABPCBPACPBCA显然， 与 相互独立的充分必要条件是 ，所以选择（C ） ()()8设 为来自正态总体 的简单随机样本，若 ，则下列结论中12,()nX ,1N1niiX不正确的是（ ）（A） 服从 分布 （B） 服从 分布 21()nii221nX（C）
5、服从 分布 （D ） 服从 分布21()niiX 2()解：（1）显然 且相互独立，所以 服从2()(0,1)(1),i iNXin 21()niiX分布，也就是（ A）结论是正确的；2()n（2） ，所以（C）结论也是正确的；2221 (1)()(1)ii nSXn （3）注意 ，所以（D）结论也是正确的；2,)0,(1)NXNX（4）对于选项（B）： ，所以（B）211 1(,20,)()nn nX结论是错误的，应该选择（B）二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）9 32(sin)xdx解：由对称性知 33220(si)xxd 10差分方程
6、的通解为 1ttty【详解】齐次差分方程 的通解为 ；12tty 2xyC设 的特解为 ，代入方程，得 ；12tttytta1a所以差分方程 的通解为1ttty.2tty11设生产某产品的平均成本 ，其中产量为 ，则边际成本为 .()1QCe4【详解】答案为 1()Qe平均成本 ，则总成本为 ，从而边际成本为)C()()QCe(.Qe12设函数 具有一阶连续的偏导数，且已知 ， ，则,)fxy (,)(1)yydfxedxed(0,)f(,)f【详解】 ，所以 ，由 ，得(,)(1)()yyydfxedxexe(,)yfxeC(,)f，所以 0C13设矩阵 ， 为线性无关的三维列向量，则向量组
7、 的秩为 012A123,123,A【详解】对矩阵进行初等变换 ，知矩阵 A 的秩为 2，由于0101012A为线性无关，所以向量组 的秩为 2123,123,14设随机变量 的概率分布为 ， ， ，若 ，则XPX1PXa3b0EXD【详解】显然由概率分布的性质，知 12ab，解得1230Eab1,4b， 9X29()DXE三、解答题15 （本题满分 10 分）求极限 03limxted【详解】令 ，则 ，xtu,txtdu00xxt uedd03330002lilimlilim3xtx xxxe e 516 （本题满分 10 分）计算积分 ，其中 是第一象限中以曲线 与 轴为边界的无界区域3
8、24(1)DydxDyx【详解】 3 324 240240220()(1)21418xDxyxddydxx17 （本题满分 10 分）求 21limlnnkk【详解】由定积分的定义 12 01 120lilnlimlnln()()24nnk kxdxd18 （本题满分 10 分）已知方程 在区间 内有实根，确定常数 的取值范围1ln()kx(,1)k【详解】设 ，则,(0)l()fx222211ln()ln()()()xfxx令 ，则g20,l1g2()l1)l()2,()xx ，所以 在 上单调减少，n(,1()x0,由于 ，所以当 时， ，也就是 在 上单调减少，当0)g (0)xg()g
9、x(0,1)时， ，进一步得到当 时， ，也就是 在 上单调减(,1x(g(,1)xffx(,)少6， ，也就是得0001ln(1)lim()lilimn() 2xx xxf 1()ln2f到 1ln2k19 （本题满分 10 分）设 ， 为幂级数 的和函数0111,()(,23),nnaa (Sx0nax（1）证明 的收敛半径不小于 0nx（2）证明 ，并求出和函数的表达式()()0(1,)Sx【详解】 （1）由条件 1 11nnnnaaa 也就得到 ，也就得到11()()nn1,2,n11120 2101()!nnnnaaa也就得到 11(),)!nn 11 1212()()()!nknn
10、n kaaa ，所以收敛半径limli lim2!3!nn e R（2）所以对于幂级数 ， 由和函数的性质，可得 ，所以0nax1()nSxa111011100(1)()()()nnnnnnnnnSxaxxaaxxSx也就是有 (1)()0(,)xSx7解微分方程 ，得 ，由于 ，得(1)()0xSx()1xCeS0()1SaC所以 ()xe20 （本题满分 11 分）设三阶矩阵 有三个不同的特征值，且123,A312.（1）证明： ；()r（2）若 ，求方程组 的通解123,Ax【详解】 （1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以 是非零矩阵，也就是 A()1rA假若 时，则 是矩阵的二重
11、特征值，与条件不符合，所以有 ，又因为()rA0r 2，也就是 线性相关， ，也就只有 312123,()3r()r（2）因为 ，所以 的基础解系中只有一个线性无关的解向量由于 ，()rAx 3120所以基础解系为 ；21x又由 ，得非齐次方程组 的特解可取为 ；123,Ax1方程组 的通解为 ，其中 为任意常数Ax12xkk21 （本题满分 11 分）设二次型 在正交变换 下的标准形为2212313132(,)8fxxaxxxQy，求 的值及一个正交矩阵 21yaQ【详解】二次型矩阵41Aa因为二次型的标准形为 也就说明矩阵 有零特征值，所以 ，故21yA0A2.a814(3)642EA令
12、得矩阵的特征值为 0EA123,6,0通过分别解方程组 得矩阵的属于特征值 的特征向量 ，属于特征值特()0ix113征值 的特征向量 ， 的特征向量 ，262133261所以 为所求正交矩阵123612,016Q22 （本题满分 11 分）设随机变量 相互独立，且 的概率分布为 ， 的概率密度为,XYX102PXY201(),yf他（1）求概率 ；PYE（2）求 的概率密度ZX【详解】 （1） 120().3Yyfdy所以 304.9PYE（2） 的分布函数为ZX() ,0,20,2,12()YFzZzPXYzYzXPYzXFz故 的概率密度为ZX91()()2)2,013,ZfzFfz他2
13、3 （本题满分 11 分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了 次测量，该物体的质量 是已知的，n设 次测量结果 相互独立且均服从正态分布 该工程师记录的是 次测量的绝对n12,nX 2(,).Nn误差 ，利用 估计参数 ()iiZ 12,nZ（1）求 的概率密度；i（2）利用一阶矩求 的矩估计量；（3）求参数 最大似然估计量【详解】 （1）先求 的分布函数为iZ() iZi i XzFzPzXzP当 时，显然 ；0()0ZF当 时， ；z21ii i zzzzz所以 的概率密度为 iZ2,0()zZefzF（2）数学期望 ，200()ziEzfded令 ，解得 的矩估计量 1niZ12niZ（3）设 的观测值为 当 时2,n 12,nz 0,iz似然函数为 ，211()(,)niziiLfe取对数得： 21ln()l2ln(lniz1令 ，得参数 最大似然估计量为 231ln()0nidLz21niz
