1、 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二12015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:18 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)下列反常积分中收敛的是（）（A） （B） (C) (D)21dx2lnxd21lndx2xe(2)函数 在 内（）20si()lim()xttf(,)（A）连续 （B）有可去间断点 （C）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点(3)设函数 ，若 在 处连续，则（）1cos,0()xf(,0)()fx0（A） (B) (C) (D)022(4) 设函数 在
2、 连续，其二阶导函数 的图形如右图所示，则曲线()fx,)()fx的拐点个数为（）()yfx（A）0 (B)1 (C)2 (D)3(5).设函数 满足 ，则 与 依次是（）(uv)f， 2(,)yfx1uvf1uvf（A） ,0 (B)0， （C）- ,0 (D)0 ,-1212(6). 设 D 是第一象限中曲线 与直线 围成的平面区域，函数,4xy,3yx2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二2在 D 上连续，则 =（）(,)fxy(,)Dfxyd（A） （B）12sin42cos,indfrr 1sin224(cos,in)frdr（C） （D ）13sin42(,i)fd 1sin
3、234(,i)f(7)设矩阵 A= ，b= ,若集合 = ，则线性方程组 有无穷多个解的21a21d1,Axb充分必要条件为（）（A） (B) (C) (D) ,ad,ad,ad(8)设二次型 在正交变换 下的标准形为 其中 ，若123(,)fxxPy2213y123P=(e,)，则 在正交变换 下的标准形为（ ）13,Qe123,f(A): (B) (C) (D) 22y23y2213y2213y二、填空题：914 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 设231arctntxdyxy则（10）函数 在 处的 n 阶导数2()f0()0nf（11）设函数 连
4、续， 若 ， ，则x20(),xftd1()5(1)f（12）设函数 是微分方程 的解，且在 处 取值 3，则 =yy0xy()yx（13）若函数 由方程 确定，则 = (,)zx23xze(,)dz（14）设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，-2,1 ， ，其中 E 为 3 阶单位矩阵，则行列式2BA=B三、解答题：1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二315、 （本题满分 10 分）设函数 ， ，若 与 在 是等价无穷小，()ln(1)sinfxxb2()gxk()fxg0x求 的值。
5、,abk16、 （本题满分 10 分）设 ，D 是由曲线段 及直线 所形成的平面区域， ，0Asin(0)2yAx,2yox1V分别表示 D 绕 X 轴与绕 Y 轴旋转所成旋转体的体积，若 ，求 A 的值。2V 1V17、 （本题满分 10 分）已知函数 满足 ， ， ，求(,)fxy“(,)2(1)xxyfe(,0)xfe2(0,)fy的极值。,f18、 （本题满分 10 分）计算二重积分 ，其中 。()Dxyd22(,),Dxyyx19、 （本题满分 10 分）已知函数 ，求 零点的个数。211()xxftdt()fx20、 （本题满分 11 分）已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温
6、度对时间的关系的变化与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为 120 的物体在 20 恒温介质中冷却，30min 后该物体温度0C0降至 30 ，若要使物体的温度继续降至 21 ，还需冷却多长时间？0C21、 （本题满分 11 分）已知函数 在区间 上具有 2 阶导数， ， ， ，设fx+a， 0fafx0fx，曲线 在点 处的切线与 轴的交点是 ，证明 。bayf,bfx0， ab22、 （本题满分 11 分）2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二4设矩阵 且 .10aA3AO(1) 求 的值；(2) 若矩阵 满足 ， 为 3 阶单位阵，求 .X22XEX23、 （本题满分 11 分）设矩阵 ，相似于矩阵 ，0312Aa103Bb（1）求 a,b 的值（2）求可逆矩阵 P，使 为对角矩阵。1A
