1、二次函数与图形面积1.已知抛物线 y x2bxc 的图象过点 A(4，0)、B(1 ，3)(1)求抛物线的表达式；(2)求出抛物线的对称轴和顶点坐标；(3)抛物线的对称轴为直线 l，设抛物线上的点 P(m，n) 在第四象限，点 P 关于直线 l 的对称点为 E，点 E 关于 x 轴的对称点为 F，若以O、A 、P 、 F 四点组成的四边形的面积为 20，求 m、n 的值解：(1) 将点 A(4，0) 、B(1，3)代入抛物线 yx 2bxc 得，解得 ，31046cb04cb抛物线的表达式为 yx 24x；(2)对称轴为直线 x 2，顶点坐标为(2 ，4)；b2a 1(3)抛物线的对称轴为直线
2、 x2，设抛物线上的点 P(m，n)在第四象限，则点 P 关于直线 l 的对称点为 E(4m，n) ，点 E 关于 x 轴的对称点为 F(4m，n)，若以 O、A、P 、F 四点组成的四边形的面积为 20，则 S 四边形 OPAFS AOFS AOP 4(n) 4(n) 4n20，12 12得 n5，将(m，5)代入 yx 24x，解得 m5 或 m1.点 P(m，n)在第四象限，m 5，n 5.2.如图，抛物线 y ax2bxc 经过原点 O、B(1，3) 、C (2，2)，与 x 轴交于另一点 N.(1)求抛物线的表达式；(2)连接 BC，若点 A 为 BC 所在直线与 y 轴的交点，在抛
3、物线上是否存在点 P，使得 SOAP SONP，若存在，请求出点 P 的坐标；若不815存在，请说明理由第 2 题图 解：(1) 将 0(0，0)、B(1，3)、C(2，2)三点的坐标分别代入抛物线yax 2bxc ，可得 ，解得 ，0243cba05cba所求抛物线的表达式为 y2x 25x；(2)存在，设 BC 所在直线的表达式为 ykxb，将点 B、C 的坐标代入可得，解得 ，bk2341k则 yx4.把 x0 代入 yx4 得 y4，点 A(0，4)，把 y0 代入 y2x 25x 得 x0 或 x ，52点 N( ，0) ，52设点 P 的坐标为( x，y)，SOAP OAx2x ，
4、S ONP ONy ( 2x25x) (2x 25x )，12 12 1252 54由 SOAP SONP，即 2x (2x 25x)解得 x0(舍去) 或 x1，815 81554当 x1 时， y3，存在点 P，其坐标为(1，3)3.已知，m、n 是方程 x26x 50 的两个实数根，且 mn，抛物线 y x 2bxc 经过点 A(m，0)，B (0，n)(1)求抛物线的表达式；(2)设(1)中抛物线与 x 轴的另一交点为 C，抛物线的顶点为 D，试求出点 C、D 的坐标和BCD 的面积；(3)点 P 是线段 OC 上的一点，过点 P 作 PHx 轴，与抛物线交于点H，若直线 BC 把PC
5、H 分成面积之比为 2 3 的两部分，请求出 P 点的坐标第 3 题图 解：(1) 解方程 x26x50，得 x15，x 21，由 mn，得 m1，n5.点 A、B 的坐标分别为 A(1，0)，B(0 ，5)将 A(1，0)，B(0 ，5)的坐标分别代入 yx 2bx c，得 ，解得 ，501cb54cb抛物线的表达式为 yx 24x5；(2)令 y x24x 50，解得 x1 5, x21，C 点的坐标为(5，0)由顶点坐标公式计算，得点 D(2，9)如解图 ，过 D 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 M.则 SDMC 9(52) ，S 四边形 MDBO 2(95)14，12 272 12SB
6、OC 55 ，12 252SBCDS 四边形 MDBOS DMCS BOC14 15；272 252第 3 题解图 第 3 题解图(3)如解图 ，设 P 点的坐标为(a，0) ，直线 BC 过 B、C 两点，BC 所在直线的解析式为 yx5.那么，PH 与直线 BC 的交点坐标为 E(a，a5) ，PH 与抛物线 yx 24x5 的交点 H 的坐标为(a，a 24a5) 由题意，得EH EP，32即( a24a5) (a5) (a5)，32解得 a 或 a5(舍去)；32EH EP，23即( a24a5) (a5) (a5)23解得 a 或 a5(舍去)23P 点的坐标为 ( ，0)或( ，0
7、)32 234.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(4，0)、B(2， )，433其中点 M 是 OA 的中点(1)求过 A、B、O 三点的抛物线 L 的表达式；(2)将抛物线 L 在 x 轴下方的部分沿 x 轴向上翻折，得到一段新的抛物线 L，其中点 B与点 B 关于 x 轴对称，在抛物线 L 所在 x 轴上方部分取一点 C，连接 CM，CM 与翻折后的抛物线 L交于点 D.当 SCDA2S MDA时，求点 C 的坐标第 4 题图 解：(1) 由于抛物线 L 经过点 A(4，0) 、B(2， )、O (0，0) ，设抛433物线 L 的表达式为 yax 2bx .将点 A(4， 0)、
8、B(2 ， )代入抛物线中有：433，解得 ，342016ba34ba抛物线 L 的表达式为 y x2 x；33 433(2)抛物线 L是由抛物线 L 沿 x 轴向上翻折得到，抛物线 L的表达式为 y x2 x(0x4)，33 433如解图，过点 C、D 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为点 E、F，故DECF.连接 AD、AC ， ，DECF MEMF MDMC设ACM 边 CM 上的高为 h，SCDA2S MDA， CDh2 MDh12 12CD2MD ，故 CM3MD. CF3DE，MF3ME.设点 C 的坐标为(t， t2 t)， 第 4 题解图33 433则 MFt 2，ME MF (
9、t2)，OEMEOM t ，13 13 13 43点 D 的纵坐标为： yD ( t )2 ( t )，3313 43 433 13 43又CF3DE， t2 t3 ( t )2 ( t )，33 433 3313 43 433 13 43整理得 t24t80，解得 t122 ，t 2 22 ，3 3将 t1、t 2代入抛物线 L 的解析式中，解得 y ，833满足条件的点 C 的坐标为(2 2 ， )或(2 2 ， )3833 3 8335.如图，等腰 RtAOC 在平面直角坐标系中，已知 AO6，点 B(3， 0)(1)求过点 A、B、C 的抛物线的表达式；(2)已知点 P( ，0) ，过
10、点 P 作 AB 的平行线交 AC 于点 E，连接 AP，32求APE 的面积；(3)在第一象限内，该抛物线上是否存在点 G，使AGC 的面积与(2)中APE 的面积相等？若存在，请求出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由第 5 题图 解：(1) 设抛物线的表达式为 yax 2bxc( a0)，由题意得，抛物线的图象经过点 A(0，6)，B(3，0) ，C (6，0)， ，解得 ，6039cba61cba故此抛物线的表达式为 y x2x6；13第 5 题解图(2)如解图 ， 点 P 的坐标为( ，0)，32则 PC ，S ABC BCAO 9627，92 12 12PEAB，CEPCAB. (
11、 )2，CABEPSPCBCSCEP ，274SAPC PCAO ，12 272SAPE SAPCS CEP ；274(3)存在如解图 ，在第一象限内的抛物线上任取一点 G，过点 G 作GHBC 于点 H，连接 AG、GC，设点 G 的坐标为(a，b) ，第 5 题解图S 四边形 AOHG a(b6)，12SCHG (6a) b.12S 四边形 AOCG a(b6) (6a)b3(ab )12 12SAGC S 四边形 AOCGS AOC， 3(ab)18.274点 G(a，b)在抛物线 y x2x6 的图象上，13b a2a6.13 3(a a2a6)18，274 13化简得 4a224a270.解得 a1 ，a 2 .32 92故点 G 的坐标为( ， )或( ， )32 274 92 154
