1、二次根式全章复习与巩固-知识讲解（基础）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质1. 二次根式形如 的式子叫做二次根式，如 等式子，都叫做二次根式.(0)a13,0.2,要点诠释：二次根式 有意义的条件是 ，即只有被开方数 时，式子 才是二aa0aa次根式， 才有意义.2.二次根式的性质（1） ；（2） ；（3） .要点诠释：（1） 一个非负数 可以写成它的算术平方根
2、的平方的形式，即 （a a2()），如 （ ）.0a2221();();()3x0x（2） 中 的取值范围可以是任意实数，即不论 取何值， 一定有意义.2aa2（3）化简 时，先将它化成 ，再根据绝对值的意义来进行化简.2aa（4） 与 的异同()不同点： 中 可以取任何实数，而 中的 必须取非负数；2 2()a= ， = （ ）.2a()a0相同点：被开方数都是非负数，当 取非负数时， = .a22()3. 最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如 等都是最简22,3,abxb二次根式.要点诠释：最简二次
3、根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数 2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如 与 ，由于 = ， 与 显然是同类二次根式.2828要点二、二次根式的运算1. 乘除法（1）乘除法法则：类型 法则 逆用法则二次根式的乘法 (0,)abab积的算术平方根化简公式： (0,)aba二次根式的除法 =(,)b商的算术平方根化简公式： (,)b要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（
4、或相除）的法则，如.abcdb（2）被开方数 a、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.(4)992.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如 .235(135)2【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1 当_时，二次根式 在实数范围内有意义.3x【答案】 3.x【解析】根据二次根式的性质，必须 0 才有意义.【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有 时 才是二次根式.0a举一反三【变式】 成立的条
5、件是 .24x 成立的条件是 .3x【答案】 0；( 0.)x24x 2 .( 2 )0,3,x 32当 0 1 时，化简 的结果是_.21【答案】 1.【解析】因为 0，所以 = ；又因为 1,即 -10,所以 ，x2xx1()1xx所以 = +1- =1.21【总结升华】利用二次根式的性质化简二次根式，即 = ，同时联系绝对值的意义正确2a解答.举一反三【变式】已知 ，化简二次根式 的正确结果是（ ）.0a3abA. B. C. D.b ab【答案】A.3.下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）.A. B. C. D. 148ab4【答案】A.【解析】选项 B： = ；选项 C：有分母；
6、选项 D： = ，所以选 A.34a21【总结升华】本题考查了最简二次根式的定义.最简二次根式要满足：（1）被开方数是整数或是整式；（2）被开方数中不含能开方的因式或因数.类型二、二次根式的运算4下列计算错误的是（ ）.A. B. C. 172605239258aaD. 3【答案】 D.【解析】选项 A： 故正确；14727选项 B： ，故正确；60534选项 C 故正确；9238aaa选项 D： 故错误.3【总结升华】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，属于基础性考题.举一反三【变式】计算：48(53)3【答案】 .26105.化简 .2201(3)(3)【答案与解析】 201201=()()()331()2.原 式【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是一道综合运算题型.6 已知 的值.231,xx求【答案与解析】 2,=0,(1)313xxx原 式当 时 ， 原 式【总结升华】 化简求值时要注意 x 的取值范围，如果未确定要注意分类讨论.举一反三【变式】已知 =-3, =1,求 的值.abab【答案】 =-3, =1， ,0. 1+=-()=-3-bab原 式
