1、2初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。相似三角形是平面几何的主要内容之一， 在中考试题中时常与四边形、 圆的知
2、识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在 10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。（二）重要知识点介绍：1. 比例线段的有关概念：在比例式 abc (a： b c：d )中 ， a、 d叫外项， d b、c叫内项， a、c叫前项，b、d 叫后项， d 叫第四比例项，如果 b=c，那么 b 叫做 a、 d 的比例中项。把线段 AB分成两条线段 AC和 BC，使 AC=AB BC，叫做把线段 AB 黄金分割， C叫做线段 AB的黄金分割点。2. 比例性质：基本性质： a cb d合比性质： a cb dad bca b c d
3、b d等比性质： a c b dm (b d nn 0) a c m a b d n b3. 平行线分线段成比例定理：定理：三条平行线 截两条直线，所得的对应线段成比例，如图： l 1 l 2 l 3 。AB则 BCDE ， AB EF ACDE ， BC DF ACEF ，DF推 论： 平行于三角形一边的直线截其他两边 （或两边的延长线） 所得的对应线段成比例。定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。4. 相似三角形的判定：两角 对应 相等，两个三角形相似两 边对应 成比例且 夹角相等，两三角形相似三 边对应 成比例，两三角形
4、相似如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似平行于三角形一边 的直线和其他两边 （或两边的延长线） 相交， 所构成的三角形与原三角形相似直角三角形被斜边 上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似5. 相似三角形的性质相似三角形的对应 角相等相似三角形的对应边 成比例相似三角形对应高的比、 对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方【典型例题】例 1. （1）在比例尺是 1：8000000 的中国行政区地图上，量得 A、B 两城市的距离是 7.5 厘米，那么 A、B 两城
5、市的实际 距离是 千米。（ 2）小芳的身高是 1.6m，在某一时刻，她的影子长 2m，此刻测得某建筑物的影长是18 米， 则此建筑物的高是 米。解： 这是两道与比例有关的题目，都比较简单。（ 1）应填 600 （ 2）应填 14.4 。例 2. 如图，已知 DE BC，EF AB，则下列比例式错误的是： A. AD AEAB AC CE EAB.CF FBC. DE ADBC BD D. EF CFAB CB分析： 由 DE BC，EF AB 可知， A、B、D都正确。而不能得到 DEBCAD ，BD故 应 选 C。利用平行线分线段成比例定理及推 论求解时，一定要分清谁是截线、谁 是被截x线，
6、 C中 DE 很显 然是两平行线段的比，因此应是利用三角相似后对应边成比BC例 这 一性质来写结论，即 DEBCAD AEAB AC例 3. 如图，在等 边 ABC中， P 为 BC上一点， D 为 AC上一点，且 APD=60 ，BP 1， CD 2 ，求3ABC的边长解： ABC是等边三角形 C= B=60又 PDC= 1+ APD=1+60 APB= 1+ C= 1+60 PDC= APB PDC APB PC CDAB PB设 PC=x， 则 AB=BC=1+x2 1 x 3 ， x 2，1 AB=1+x=3。 ABC的边长为 3。例 4. 如图：四边形 ABEG、GEFH、HFCD都
7、是边长为 a 的正方形，（ 1）求证： AEF CEA（ 2）求证： AFB+ ACB=45分析： 因为 AEF、 CEA有公共角 AEF故要证明 AEF CEA只需证明两个三角形中，夹 AEF、 CEA的两边对应成比例即可。证明： （ 1）四边形 ABEG、GEFH、HFCD是正方形 AB=BE=EF=FC=，a ABE=90AE 2a， EC 2a AEEF 2a 2， EC 2a 2a AE 2a AE ECEF AE又 CEA= AEF CEA AEF（ 2） AEF CEA AFE= EAC四 边形 ABEG是正方形 ADBC， AG=GE AGGE ACB= CAD， EAG=45
8、 AFB+ ACB= EAC+CAD= EAG AFB+ ACB=45例 5. 已知： 如图， 梯形 ABCD中， AD BC，AC、BD交于点 O，EF经过点 O且和两底平行， 交 A B 于 E ， 交 CD 于 F求证： OE=OF证明： AD EFBCOE BCAE ， OE EBAB AD AB OEBC 1BC同理： 1 1OE OF1 OE=OF从本例的证明过程中，我们还可以得到以下重要的结论： AD EF BC 1 1 1AD BC OE AD EF BC OE OF 1 EF2 AD EF BC 1 1 1 12 即 1 1 2AD BC OE 1 EF OF2AD BC E
9、FOEADAEABEBABABAB1 1AD 1OE 1 1BC AD OF2这是梯形中的一个性质，由此可知，在 AD、BC、EF 中，已知任何两条线段的 长度，都可以求出第三条线段的长度。例 6. 已知：如图， ABC中， ADBC于 D，DE AB 于 E， DF AC于 F求证： AE ACAF AB分 析 ： 观 察 AE、AF、AC、 AB在图中的位置不宜直接通过两个三角形相似加以解决。因此可根据图中直角三角形多，因而相似三角形多的特点，可设法寻求中间量进行代换，通过 ABD ADE ，可得： ABADAD ，于是得到AE AD 2 AE AB，同 理可得到 AD 2 AF AC，故
10、可得： AE AB AF AC，即 AE ACAF AB证明： 在 ABD和 ADE中， ADB= AED=90 BAD= DAE ABD ADE AB ADAD AE2 AD=AE AB同理： ACD ADF可得： AD=AF AC AE AB=AF AC AE ACAF AB例 7. 如图， D 为 ABC中 BC边上的一点， CAD= B，若 AD=6，AB=8，BD=7，求 DC的长。分析： 本题的图形是证明比例中项时经常使用的“公边共角” 的基本图形，我们可以由基本图形中得到的相似三角形，从而得到对应边成比例，从而构造出关于所求线段的方程，使问题得以解决。解： 在 ADC和 BAC中
11、 CAD= B， C= C ADC BAC22 AD DC AC AB AC BC又 AD=6， AD=8， BD=7 DCAC AC 37 DC 4DC 3即 AC 4AC 3 解得： DC=97 DC 4例 8. 如图，在矩形 ABCD中， E 是 CD的中点， BE AC于 F，过 F 作 FG AB交 AE于 G，求证： AG=AF FC证 明 ： 在 矩 形 ABCD中 ， AD=BC， ADC= BCE=90又 E 是 CD的 中 点 ， DE=CE Rt ADE Rt BCE AE=BE FGAB AE AGBE BF AG=BF在 Rt ABC中， BF AC 于 F Rt B
12、FC Rt AFB AF FBBF FC2 BF =AF FC AG=AF FC例 9. 如图，在梯形 ABCD中， AD BC，若 BCD的平分线 CH AB 于点 H， BH=3AH，且四边形 AHCD的面积为 21，求 HBC的面 积。分析： 因为问题涉及四边形 AHCD，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。解 ： 延 长 BA、CD交 于 点 P CHAB， CD平 分 BCD CB=CP，且 BH=PH BH=3AH PA：AB=1： 2 PA：PB=1： 3 ADBC PAD PBCS PAD ： S PBC 1： 9 S PCH 12 SPBC S P
13、AD S四边形 AHCD 2： 7 S四边形 AHCD 21S PAD 6 SPBC S HBC541 S2 PBC 27a 2b 9一、填空题1. 已知 2a b 5 ， 则 a：b 2. 若三角形三边之比为 3： 5：7，与它相似的三角形的最长边是 21cm，则其余两边之和是 cm3. 如图， ABC中， D、E 分别是 AB、AC的中点， BC=6，则 DE= ； ADE与ABC的面积之比为： 。4. 已知线段 a=4cm， b=9cm，则线段 a、 b 的比例中项 c 为 cm。5. 在 ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上， DE BC，如果 AD=8， DB=6， EC
14、=9，那么AE= 6. 已知三个数 1， 2， 3 ，请你添上一个数，使它能构成一个比例式，则这个数是7. 如图，在梯形 ABCD中， ADBC， EFBC，若 AD=12cm， BC=18cm， AE： EB=2：3，则 EF= 8. 如图， 在梯形 ABCD中， AD BC， A=90 ， BD CD，AD=6，BC=10，则 梯形的面积为：二、选择题1. 如果两个相似三角形对应边的比是 3： 4，那么它们的对应高的比是 A. 9 ：16 B. 3 ： 2 C. 3 ： 4 D. 3 ： 72. 在比例尺为 1：m的某市地图上，规划出长 a 厘米， 宽 b 厘米的矩形工业园区，该园区2的实
15、际面积是 米10 4 mA.ab104 m2B.ababmC.104abm 2D.1043. 已知，如图， DE BC，EF AB，则下列结论： AE BEEC FCAD AB BF BC EF DEAB BCCE EA CF BF其中正确的比例式的个数是 A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个4. 如图，在 ABC中， AB=24， AC=18，D 是 AC上一点， AD=12，在 AB上取一点 E， 使 A 、D、E 三点为顶点组成的三角形与 ABC相似，则 AE的长是 A. 16 B. 14 C. 16 或 14 D. 16 或 95. 如图，在 Rt ABC中， BAC
16、=90 ， D是 BC的中点， AEAD，交 CB的延长线于点 E， 则下列结论正确的是 A. AED ACB B. AEB ACDC. BAE ACE D. AEC DAC三、解答题： 1. 如图， AD EG BC， AD=6， BC=9， AE： AB=2： 3，求 GF的长。2 如图， ABC中， D是 AB上一点，且 AB=3AD， B=75 ， CDB=60 ，求证： ABC CBD。3 如图， BE为 ABC的外接圆 O的直径， CD为 ABC的高，求证： AC BC=BE CD4 如 图 ， Rt ABC中 ， ACB=90 ， AD平 分 CAB交 BC于 点 D，过 点 C
17、 作 CEAD于E， CE的延长线交 AB于点 F，过点 E 作 EG BC交 AB于点 G，AE AD=16， AB 4 5 ，（1）求证： CE=EF（2）求 EG的长 参考答案 一、填空题：1. 19 ： 13 2. 24 3. 3 ；1： 4 4. 6 5. 126. 只要是使得其中两个数的比值等于另外两个数的比值即可，如： 2 2 、2 等 。27. 14.4 8. 16 6二、选择题： 1. C 2. D 3. C 4. D 5. C三、解答题：1 解： A DEG BCEG AE在 ABC中，有 BC ABEF BE在 ABD中，有 AD ABAE： AB=2： 3BE： AB=1： 3EG 2 3BC， EF 1 AD3BC=9， AD=6EG=6， EF=2
