1、一元二次方程内容简介：1. 了解一元二次方程的定义及一元二次方程的一般形式： .20()axbca2. 掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活运用 .3. 掌握一元二次方程根的判别式，并能运用它解相应问题.4. 掌握一元二次方程根与系数的关系，会用它们解决有关 问题.5. 会解一元二次方程应用题.知识点一：一元二次方程的定义及一般形式【知识要点】 一元二次方程的一般形式： 20()axbca例 1、下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（ ）A B 132x 021xC D 0cba 1变式：当 k 时，关于 x 的方程 是一元二次方程。322k例 2、方程 是关于 x 的一元二次方程，则 m
2、 的值为 。13mx针对练习：1、方程 的一次项系数是 ，常数项是 。7822、若方程 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是 。11x知识点二：一元二次方程的解【知识要点】 1 当已知一元二次方程的一个根时，要熟 练地将这个根代入原方程，并灵活运用得到的等式。2 在 中， x 取特殊值时，a、b 、c 之间满足的关系式。20()axbc例 1、已知 的值为 2，则 的值为 。3y142y例 2、关于 x 的一元二次方程 的一个根为 0，则 a 的值为 x。例 3、一元二次方程 的系数满足 ，则此方程必有一根为 02acbxa bca。例 4、已知 是方程 的两个根， 是方程 的两个
3、根，则 m,42m, 0582mx的值为 。针对练习：1、已知方程 的一根是 2，则 k 为 ，另一根是 。012kx2、已知 m 是方程 的一个根，则代数式 。m23、已知 是 的根，则 。a32xa624、方程 的一个根为（ ）0cbA B 1 C D 1cba5、若 。yx、yx324,032知识点三：一元二次方程的解法【知识要点】 一元二次方程的常用解法有（1）直接开平方法， （2）配方法， （3）求根公式法， （4）因式分解法。通常可以这样选择合适的解法：（1）当方程一边为含有未知数的完全平方式，另一边为非负数时，可用直接开平方法。（2）当方程的一边为 0，而另一边可以分解为两个一次
4、因式的乘积的形式时，运用因式分解法求解。（3）当方程的一边较易配成含未知数的完全平方式，另一边为非负数时，常用配方法。（4）当不便用上面三种方法时，就用求根公式法。例 1、解方程： ;082x;09122x例 2、若 ，则 x 的值为 。22169xx例 3、 的根为（ ）35A B C D 2x3,251x52例 4、若 ，则 4x+y 的值为 。04yxy变式 1： 。222,6b、aba变式 2： 若 ，则 x+y 的值为 。3yx变式 3： 若 ， ，则 x+y 的值为 。142yx282xy例 5、方程 的解为（ ）06A. B. C. D.21x321、x321、x21、x针对练习
5、：1、若实数 x、y 满足 ，则 x+y 的值为（ ）0yA、-1 或-2 B、-1 或 2 C、1 或-2 D、1 或 22、方程： 的解是 。 123解方程： 4xx知识点四：配方法运用【知识要点】 用配方法解一元二次方程的一般步骤：例：用配方法解 24610x第一步，将二次项系数化为 ： ，（两边同除以 ）2304x4第二步，移项： 23x第三步，两边同加一次项系数的一半的平方： 222313()()4x第四步，完全平方： 25()416x第五步，直接开平方： ，即 : ,31534x2534x例 1、试用配方法说明 的值恒大于 0， 的值恒小于 0。2x7例 2、已知 x、y 为实数，
6、求代数式 的最小值。422yx例 3、已知 为实数，求 的值。、xyyx013642yx变式：已知 ，则 .0412xxx1知识点五：降次思想的应用【知识要点】 利用因式分解或整式的变形，巧妙地在运算中进行变形，从而达到降次的目的。例 1、已知 ，求代数式 的值。0232x123x例 2、如果 ，那么代数式 的值。12723例 3、已知 是一元二次方程 的一根，求 的值。a012x1523a知识点六：根的判别式理解与应用 24bac【知识要点】 (1)一元二次方程 根的情况：20()axbca当 时，方程有两个不相等的 实数根；0当 时，方程有两个相等的 实数根；当 时，方程无实数根 .(2)
7、判定一元二次方程根的情况；(3)确定字母的值或取值范围。例 1、若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 。x012xk例 2、关于 x 的方程 有实数根，则 m 的取值范围是( )mA. B. C. D.10m11例 3、已知关于 x 的方程 022kx(1)求证：无论 k 取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰 ABC 的一边长为 1，另两边长恰好是方程的两个根，求 ABC 的周长。 例 4、已知二次三项式 是一个完全平方式，试求 的值.)6(92mxm针对练习：1、当 k 时，关于 x 的二次三项式 是完全平方式。92kx2、当 取何值时，二次三项式 是一个完全平方式？
8、这个完全平方式是什么？4323、已知方程 有两个不相等的实数根，则 m 的值是 .02mx4、若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是( )21xA. B. 且 C. D. 且11105、 一元二次方程 的根的情况为（ ）20xA.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D. 没有实数根6、已知关于 的一元二次方程 .请你为 选取一个合适的整数，当2410xm_时，得到的方程有两个不相等的实数根；m7、若关于 的方程 有两个相等的实数根，求 的取值范围。x227(1)kk8、 已知关于 的方程 ，当 为何非负整数时：x2()(1)0mxxm(1)方程只有一个
9、实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程有两个不等的实数根.9、已知 是三角形的三条边，求证：关于 的方程 没有实数根.,abcx222()0bcax10、已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（ x2xmm） A. B. C. D.1m0011、一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是_. 2()10kxk12、求证：关于 的方程 有两个不相等的实数根。()xk知识点七：根与系数的关系（韦达定理）【知识要点】 韦达定理:如一元二次方程 的两根为 ，则 ，20()axbca12,x12bxa12cx适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数；
10、(2)求与方程的根有关的代数式的值；(3)已知两根求作方程； (4)已知两数的和与积，求 这两个数；(5)确定根的符号:( 是方程两根) ； 12,x（6）题目给出两根之间的关系，如两根互 为相反数、互 为倒数、两根的平方和或平方差是多少、两根是 的两直角边求斜边等情况.Rt注意：（1） 221112()xx（2） ； 22()4x（3）方程有两正根，则 ； 120x方程有两 负 根，则 ；120x方程有一正一负两根，则 ；12（4）应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把所求作得方程的二次项系数设为 ，即以 为根的一元二次方程为12,
11、x;求字母系数的 值时，需使二次 项 系数 ，同时满足 ;求代数式的21212()0xx0a0值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和 ，两根之积 的代数式的形式，12x12x整体代入。针对练习：1、已知方程 的两根是 ，则： ， = ， 0132x21,x21x21x2、已知方程 的一个根是 1，则另一个根是 ， 的值是 .k k3、若关于 x 的一元二次方程 x2+px+q=0 的两根互为相反数，则 p=_，若两根互为倒数，则q=_4、已知一元二次方程 2 x2 + b x + c = 0 的两个根是 1 、3 ，则 b= ，,c= .5、若方程 中有一个根为零，另一个根非零，则
12、 的值为 ( )2nmx nm,（A） （B） （C） （D） 0, ,nm00n6、两根均为负数的一元二次方程是( )A.4x 2+21x+5=0 B.6x 2-13x-5=0 C.7x 2-12x+5=0 D.2x 2+15x-8=07、已知方程 ，则下列说中，正确的是 （ ）x（A）方程两根和是 1 （B）方程两根积是 2（C）方程两根和是 （D ）方程两根积是两根和的 2 倍 8、已知方程 的两个根都是整数，则 的值可以是（ ）062kk（A） 1 （B） 1 （C） 5 （D） 以上三个中的任何一个9、已知一元二次方程的两根之和是 3，两根之积是 ，则这个方程是（ ）（A） （B）
13、（C） （D）32x022x032x032x10、 如果方程 与方程 有一个公共根是 3，求 , 的值，并求2ba1baab方程的另一个根.11、已知关于 x 的方程 ( a2 3 ) x2 ( a + 1 ) x + 1 = 0 的两个实数根互为倒数，求 a 的值.12、在解方程x 2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与3；小王看错了q，解得方程的根为4与2。这个方程的根应该是什么?知识点八：一元二次方程应用题【传播问题】 例 1：有一人患了流感，经过两轮传染后，有 121 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？【分析】：设平均一个人传染了 x 个人。最开始有一人患流感
14、，第一轮传染时，传染源是 人，新感染了 人，共有 人感冒。第二轮传染时，传染源是 人，新感染了 人，共有 人感冒。你发现题目的等量关系了吗？请试着列出方程并求解。 （教师注意点评）例 2：某种树木的主干长出若干支杆，每个支杆又长出同样数目的小分支，主干、支杆和小分支的总数为 91，每个支杆长出多少小分支？巩固练习：1、生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了 182 件，如果全组有 x 名同学，那么根据题意列出的方程是（ ）Ax（x+1 ）=182 Bx（x-1 ）=182C2x（x+1）=182 Dx（1-x ）=18222、一个小组若干人，新年互送贺卡，若
15、全组共送贺卡 72 张，则这个小组共（ ） A12 人 B18 人 C9 人 D10 人3、学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛） ，共进行了 15 场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛？ 4、一个多边形有 35 条对角线，求这个多边形的边数。5、一个两位数等于它的个位数的平方，且十位数字比个位数字小 3，求这个两位数。6、三个连续奇数，其中最小的数的平方的 3 倍减去 25 等于较大两个数的平方和，试求这三个数。7、一个两位数，十位数字与个位数字之和是 5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新数与原数的乘积为 736，求原来的两位数。8、若直角三角形的三边长为连续
16、偶数，求这个直角三角形的面积。如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？【变化率问题】 例：两年前生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，生产 1 吨 乙种药品的成本是 6000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 吨甲种药品的成本是 3000 元，生产 1 吨 乙种药品的成本是 3600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大?分析：甲种药品的成本由 5000 元降至 3000 元是经历了几年下降？乙种药品的成本由 6000 元降至 3600 元是经历了几年下降？、设甲种药品成本的年平均下降率为 x，则：一年后甲种药品的成本是 元，两年后甲种药品的成本是 元，依此可列方程并求解：
17、、设乙种药品成本的年平均下降率为 x，则：一年后乙种药品的成本是 元，两年后乙种药品的成本是 元，依此可列方程并求解： 、通过上面的求解，请作答：点评：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状态？巩固训练：1、随县 2008 年农民人均年收入为 7800 元，计划到 2010 年，农民人均年收入达到 9100 元，求人均年收入的平均增长率。2、某电脑公司 2010 年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，第一季度的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率。3、某种药品零售价经过两次降价后的价格
18、为降价前的 81%，则平均每次降价（ ）A、10% B、19% C、9.5% D、20%4、国家实施惠农政策后，某镇农民人均收入经过两年提高 44%，这两年，该镇农民人均收入平均年增长率是（ ）A、22% B、20% C、10% D、11%5、党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值到 2020 年比2000 年翻两番，在本世纪的头 20 年，要实现这一目标，以 10 年为单位计算，每个 10 年的国民生产总值的增长率都是 x，则可列方程是（ ）A、 （1+2x ） 2=2 B、 （1+x ） 2=4 C、1+2x=2 D、 （1+x） 2+（1+x）=46、某
19、电动自行车厂三朋份的产量为 1000 辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量到 1210 辆，求该厂四、五月份的月平均增长率。7、商场将某种商品的售价从原来的每件 40 元经两次调价后调至每件 32.4 元，若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率。8、2008 年，A 市投入 600 万元用于改水工程，计划以后每年以相同的增长率投资，2010 年该市计划投资 1176 万元。、求 A 市投资改水工程的年平均增长率。、从 2008 年到 2010 年，A 市三年共投资改水工程多少万元？9、从社会效益和经济效益出发，某地制定了三年规划，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，
20、第一年度投入资金 800 万元，第二年度比第一年度减少 ，第三年度比第二31年度减少 ，第一年度当地旅游业收入估计为 400 万元，要使三年内的投入资金与旅游业总收入持21平，则旅游业收入的年平均增长率应是多少？（以下数据供选用： 1.414， 3.606，计21算结果精确到百分位）【市场营销问题】 例 1：李先生将 1000 元存入银行一年，到期后取出 2000 元购买彩电，剩余 8000 元及利息又全部按一年定期存入银行，若存款的年利率不变，则到期后本息和是 8410 元，试求不计利息税时这种存款的年利率（精确到 0.01）（解题前教师引导学生熟悉存款问题中“本金、利率、利息、本息和”之间的关系，学生自已解决，教师注意点评）本 金 （1+利率） 时 间 = 本 息 和
