《实变函数与泛函分析基础》第二版-程其襄--第十章答案--答案剖析(共16页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上第十章 巴拿赫(Banach)空间中的基本定理1. 设X是赋范线性空间，是X中个线性无关向量，是一组数，证明：在X上存在满足下列两条件：（1）, (2) 的线性连续泛函的充要条件为：对任何数， 都成立。证明 必要性。若线性连续泛函满足（1）和（2），则充分性。若对任意数，有。令为张成的线性子空间。对任意，定义上线性泛函：。因，故是有界的，且。由泛函延拓定理，存在X上的线性连续泛函，使限制在上就是。显然满足条件（1）和（2）。证毕。2设X是赋范线性空间，Z是X的线性子空间，又，证明存在，满足条件： 1）当时，； 2） ； 3） 。证明 记。在M上定义泛函：，则以下三条件成立： 1）当时，； 2）； 3）在M上有界，且。其中3）可以这样证明：若，则 ，所以。又对任意，。由的任意性，我们得到。又，这样我们就证明了。3 证明：无限维赋范线性空间的共轭空间也是无限维的。证明 设是X中一列线性无关向量。记