1、智浪教育-普惠英才文库- 1 -初中数学竞赛专项训练（2）（代数式、恒等式、恒等变形）一、选择题：下面各题的选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在括号内。1、某商店经销一批衬衣，进价为每件 m 元，零售价比进价高 a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的 b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是 （ ）A. m(1+a%)(1-b%)元 B. ma%(1-b%)元C. m(1+a%)b%元 D. m(1+a%b%)元2、如果 a、b、c 是非零实数，且 a+b+c=0，那么 的所有可能的值为|abca（ ）A. 0 B. 1 或 -1 C. 2 或-2 D. 0 或-23、
2、在ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，若B 60，则 的值为bca（ ）A. B. 212C. 1 D. 4、设 ab0，a 2+b2=4ab，则 的值为 （ ）baA. B. C. 2 D. 3365、已知 a1999x2000，b1999x2001，c1999x2002，则多项式 a2+b2+c2-ab-bc-ca 的值为（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 36、设 a、b、c 为实数， ，则 x、y、z 中，至少有26322 czcbyax，一个值 （ ）A. 大于 0 B. 等于 0 C. 不大于 0 D. 小于 07、已知 abc0，且 a+b+c0，则代数式
3、 的值是 （ ）abc22A. 3 B. 2 C. 1 D. 08、若 （x、y 是实数） ，则 M 的值一定是 （ ）364982 yxMA. 正数 B. 负数 C. 零 D. 整数二、填空题1、某商品的标价比成本高 p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过 d%，则 d 可用 p 表示为cAB Cab智浪教育-普惠英才文库- 2 -2、已知-1a0，化简 得4)1(4)1(22aa3、已知实数 z、y、z 满足 x+y=5 及 z2=xy+y-9，则 x+2y+3z=_4、已知 x1、x 2、x 40 都是正整数，且 x1+x2+x4058，若 x12
4、+x22+x402 的最大值为 A，最小值为 B，则 AB 的值等于5、计算 _ )41()417)(349)( 3957346、已知多项式 可被 和 整除，则 23xbaxx2ba三、解答题：1、已知实数 a、b、c 、d 互不相等，且 ，试求 x 的值。adcba11智浪教育-普惠英才文库- 3 -2、如果对一切 x 的整数值，x 的二次三项式 的值都是平方数（即整数的平方） 。cbxa2证明：2a、ab、c 都是整数。a、b、c 都是整数，并且 c 是平方数。反过来，如果成立，是否对于一切 x 的整数值，x 的二次三项式 的值都是平方数？cbxa23、若 ，求证：a 是一完全平方数，并写
5、出 a 的值。222196195a智浪教育-普惠英才文库- 4 -4、设 a、b、c、d 是四个整数，且使得 是一个非零整数，求证：222 )(41)( dcbacdabmm一定是个合数。5、若 的十位数可取 1、3、 5、7、9。求 的个位数。2aa智浪教育-普惠英才文库数学竞赛专项训练参考答案（1）5参考答案一、选择题1、解：根据题意，这批衬衣的零售价为每件 m（1a%）元，因调整后的零售价为原零售价的 b%，所以调价后每件衬衣的零售价为 m（1a% ） b%元。应选 C2、解：由已知，a，b，c 为两正一负或两负一正。当 a，b，c 为两正一负时：；0|1| abcaabc所 以，当 a
6、，b，c 为两负一正时： | cc所 以，由知 所有可能的值为 0。|aba应选 A3、解：过 A 点作 ADCD 于 D，在 RtBDA 中，则于B60，所以DB ，AD 。在 RtADC 中，DC 2AC 2AD 2，所以有（a ） 2b 22C3 CC2，整理得 a2c 2=b2ac，从而有4 1)( 22bcabbac应选 C4、解：因为(a+b) 2=6ab，(a-b) 2=2ab，由于 ab0，得 ，aba26，故 。3ba应选 A 32)1(2 )()()(5 22222 原 式 ， 又 ，、 解 ： acba acbac应选 D 003)1()()-(azyx6 222中 至
7、少 有 一 个 大 于、 则、 解 ： 因 cb智浪教育-普惠英才文库数学竞赛专项训练参考答案（1）6应选 A 3)()()(7cbabcabca 、 解 ： 原 式应选 A 。， 所 以这 三 个 数 不 能 同 时 为， 且 ， 、 解 ： 因 为 0M032)3()()(164988 222 yxyxM应选 A二、填空题1、解：设该商品的成本为 a，则有 a(1+p%)(1-d%)=a，解得 p10d2、解因为1a0，所以 。， 且， 即 01-1aaaaaaa 2)1(|1|)1()( 244122 2（3、解：由已知条件知（x+1）y=6，(x 1)y=z 29，所以 x1，y 是
8、t26tz 29=0的两个实根，方程有实数解，则（6） 24（z 29）4z 20，从而知 z=0，解方程得 x+1=3，y=3。所以 x+2y+3z84、解：494。因为把 58 写成 40 个正整数的和的写法只有有限种，故的最小值和最大值是存在的。不妨设 ，若24021.xx 4021.xx1，则 + （ -1）+( +1)，且（ 1） 2+（ +1） 2 2+ 22（ -1212xx1）+2 2+ 2，所以，当 1 时，可以把 逐步调整到 1，这时xx将增大；同样地，可以把 ， ， 逐步调整到 1，这时4021.2x39x将增大。于是，当 ， ， 均为 1， 19 时，2xx 1 40取
9、得最大值，即 A +192400。若存在两个数 ，4021. 个392.ix，使得 2（1i j40） ，则（ 1） 2+（ -1） 2 2+ 22（ jxjxixjxijxj1） 2+ 2，这说明在 ， ， ， 中，如果有两个数的差大于 1，则iijx3940智浪教育-普惠英才文库数学竞赛专项训练参考答案（1）7把较小的数加 1，较大的数减 1，这时， 将减小。所以，当24021.xx取到最小时， ， ， 中任意两个数的差都不大于 1。于是24021.xx240当 1， 2 时， 取得最小22234x 24021.xx值，即 ，9.182个个B故 AB494 351421401861432)
10、()( )2)(5 2222224 ） （） （） （ ） （） （） （原 式 、 解 ： xx xx6、解：由已知可知， 得 ，解得)(0)3(ff， 01524987ba24baab24226三、解答题1、解：由已知有 xadxcxcbxa 111120x020)2)(11()(33232xcaxdxdaxxab， 矛 盾 。 故 有， 则 由 可 得若 ，由 已 知 ， 代 入 得由 得 即 将 代 入 得 代 入 得 由 解 出2、解：令 ，得 c平方数 c2；令 ，得 ， ，其1mcba2ncba中 m、n 都是整数，所以， 都是整数。2ncnm，如果 2b 是奇数 2k+1（k
11、是整数） ，令 得 ，其中 h 是整数，由4x6c于 2a 是整数，所以 16a 被 4 整除，有 除以 4 余 2，而1kab，在 h，l 的奇偶性不同时， 是奇数；在 h，l 的奇)(2lhl )(lh智浪教育-普惠英才文库数学竞赛专项训练参考答案（1）8偶性相同时， 能被 4 整除，因此， ，从而 2b 是偶数，)(lh 2416lhbab 是整数， 也是整数，在成立时， 不一定对 x 的整数值bcma2 cx2都是平方数，例如：a=2，b=2，c=4，x1 时， 8 不是平方数。3、解：设 x1995，则 1996x+1，所以222 2222 22239801)1695()1( )1(
12、)()95 x xxxa 4、解：要证明|m是合数，只要能证出mpq，pq 均为大于 1 的正整数即可。)()()(41 2241 )()(4)( 22 22222 badcbadcbadcba dcbacdbcbacdbdacbacdb ：证 明因为 m 是非零整数，则 是非零整数。由于四个数 a+b+c-d，a+b-c+d ，a-b+c+d，-a+b+c+d 的奇偶性相同，乘积应被 4 整除，所以四个数均为偶数。所以可设 a+b+c-d=2m1，a+b-c+d=2m 2，a-b+c+d=2m3，-a+b+c+d=2m 4，其中 m1，m 2，m 3，m 4 均为非零整数。所以，321)()(所以m4m 1m2m3m4 0，所以m是一个合数。5、解：设 ，其中 取自 0，1，2，3，4，9，将 写成两位数的形式为cba0 2c00，01，04，09，16，25，36，49，64，81，其中只有 c4、6 时其十位数为奇数，又，可见， 的十位数是一个偶数加上 的2222 )5()1( cb2a2c十位数，当 的十位数为奇数 1，2，5，7，9 时，a 的个位数只能取 4、6。a
