1、圆一、知识点梳理知识点 1：圆的定义：1. 圆上各点到圆心的距离都等于 .2. 圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又是 对称图形， 是它的对称中心.知识点 2：弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角等与圆有关的概念1.在同圆或等圆中，相等的弧叫做 2. 同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的 .3. 直径所对的圆周角是 ，90所对的弦是 .例 1 P 为O 内一点，OP=3cm，O 半径为 5cm，则经过 P 点的最短弦长为_；最长弦长为_例 2 如图，在 RtABC 中，ACB=90 度点 P 是半圆弧 AC 的中点，连接 BP 交 AC 于点 D
2、，若半圆弧的圆心为 O，点 D、点 E 关于圆心 O 对称则图中的两个阴影部分的面积 S1，S 2之间的关系是（ ）AS 1S 2 BS 1S 2 CS 1=S2 D不确定例 3 如图，正方形的边长为 a，以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形（阴影部分）的面积为（ ）Aa 2-a2 B2a 2-a2 C a 2-a2 Da 2- a 2141例 4 车轮半径为 0.3m 的自行车沿着一条直路行驶，车轮绕着轴心转动的转速为 100 转/分，则自行车的行驶速度（ ）A3.6 千米/时 B1.8 千米/时 C30 千米/时 D15 千米/时 例 5 如图，O 中，点 A，O，D 以及点 B，O
3、，C 分别在一条直线上，图中弦的条数有（ ）A2 条 B3 条 C4 条 D5 条知识点 3：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个圆周角中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 .知识点 4：垂径定理垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；平分弦(不是直径)的 垂直于弦，并且平分 .例 1、如图（1）和图（2） ，MN 是O 的直径，弦 AB、CD相交于 MN上的一点P，APM=CPM（1）由以上条件，你认为 AB 和 CD 大小关系是什么，请说明理由（2）若交点 P 在O 的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由例 2
4、在圆柱形油槽内装有一些油截面如图，油面宽 AB 为 6 分米，如果再注入一些油后，油面 AB 上升 1 分米，油面宽变为 8 分米，圆柱形油槽直径 MN 为（ ）A6 分米 B8 分米 C10 分米 D12 分米 例 3 小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为 1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（ ）A2 B C2 D35例 4 如图所示，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦 AB的长，就计算出了圆环的面积，若测量得 AB 的长为 20 米，则圆环的面积为（ ）A10 平方米 B10 平方米 C10
5、0 平方米 D100 平方米例 5 为了测量一铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得有关数据如图所示（单位：cm） ，则该铁球的直径为（ ）A8.8cm B8cm C9cm D10cm例 6 如图，Error!是半径为 6 的圆 D 的 圆周，C 点是弧 BE 上的任意一点，ABD 是等边三41角形，则四边形 ABCD 的周长 P 的取值范围是（ ）A12P18 B18P24 C18P18+6 D12P12+622知识点 5：确定圆的条件及内切圆三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的_、这个圆的圆心叫做三角形的 、这个三角形是圆的 .切线的判定与性质判定切线的方法有三种：利用切线的定义
6、：即与圆有 的直线是圆的切线。到圆心的距离等于 的直线是圆的切线。 经过半径的外端点并且 于这条半径的直线是圆的切线。切线的五个性质：切线与圆只有 公共点；切线到圆心的距离等于圆的 ；切线垂直于经过切点的 ；经过圆心垂直于切线的直线必过 ；经过切点垂直于切线的直线必过 。三角形内切圆和三角形各边都相切的圆叫做三角形的 ，三角形内切圆的圆心叫三角形的 .切线长定理经过圆外一点作圆的切线，这点与 之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长.过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的 .例 1 如图， ABC 是O 的内接三角形，ADBC 于 D 点，且 AC=5，CD
7、=3，AB=4 ，则O2的直径等于（ ） A B3 C5 D7252例 2 如图，在坐标平面上，RtABC 为直角三角形，ABC=90，AB 垂直 x 轴，M 为 RtABC 的外心若 A 点坐标为（3，4） ，M 点坐标为（-1，1） ，则 B 点坐标为何（ ）A （3，-1） B （3，-2） C （3，-3） D （3，-4）例 3 如图所示，已知O 是ABC 的外接圆，AD 是O 的直径，连接 CD，若 AD=3，AC=2，则 cosD 的值为（ ）A B C D 23352532知识点 6：点与圆的位置关系(1)点与圆的位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外.其中 r 为圆的半径，d
8、 为点到圆心的距离，位置关系 点在圆内 点在圆上 点在圆外数量(d 与 r)的大小关系 d r d r d r例 1 如图，在 RtABC 中，直角边 3AB， 4C，点 E， F分别是 BC， A的中点，以点 A为圆心， 的长为半径画圆，则点 E在圆 A 的_，点 在圆 A 的_例 2 在直角坐标平面内，圆 O的半径为 5，圆心 O的坐标为 (14)， 试判断点 (31)P， 与圆O的位置关系例 3 如图，铁路 MN 和公路 PQ 在点 O 处交汇，QON=30，公路 PQ 上 A 处距离 O 点 240 米，如果火车行驶时，周围 200 米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路 MN 上沿
9、MN 方向以 72 千米/小时的速度行驶时，A 处受到噪音影响的时间为（ ）A12 秒 B16 秒 C20 秒 D24 秒例 4 矩形 ABCD 中，AB=8，BC=3 ，点 P 在边 AB 上，且 BP=3AP，如果圆 P 是以点 P 为圆5心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）A点 B、C 均在圆 P 外 B点 B 在圆 P 外、点 C 在圆 P 内C点 B 在圆 P 内、点 C 在圆 P 外 D点 B、C 均在圆 P 内例 5 一个点到圆的最大距离为 11cm，最小距离为 5cm，则圆的半径为（ ）A16cm 或 6cm B3cm 或 8cm C3cm D8cm知识点 7：直线
10、与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交 、相切、相离设 r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表：位置关系 相离 相切 相交公共点个数 0 1 2数量关系 d r d r d r例 1、 在 中，BC=6cm ，B=30，C=45 ，以 A 为圆心，当半径 r 多长时所作的A与直线 BC 相切？相交？相离？例 2如图，AB 为O 的直径，C 是O 上一点，D 在 AB 的延长线上，且DCB=A（1）CD 与O 相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由（2）若 CD 与O 相切，且D=30，BD=10，求O 的半径例 3 如图，在平面直角坐标系中，O
11、的半径为 1，则直线 y=x- 与O 的位置关系是（ 2）A相离 B相切 C相交 D以上三种情况都有可能例 4 如图，已知线段 OA 交O 于点 B，且 OB=AB，点 P 是O 上的一个动点，那么OAP 的最大值是（ ）A30 B45 C60 D90 知识点 8：圆和圆的位置关系设两圆半径分别为 R 和 r。圆心距为 d。(Rr)1. 两圆外离 _； 2. 两圆外切 _；3. 两圆相交 _； 4. 两圆内切 _；5. 两圆内含 _.例 1如图所示，点 A 坐标为（0，3） ，OA 半径为 1，点 B 在 x 轴上（1）若点 B 坐标为（4，0） ，B 半径为 3，试判断A 与B 位置关系；（
12、2）若B 过 M（2，0）且与A 相切，求 B 点坐标例 2 已知两圆半径 r1、r 2分别是方程 x2-7x+10=0 的两根，两圆的圆心距为 7，则两圆的位置关系是（ ）A相交 B内切 C外切 D外离例 3 如图，O 1，O，O 2的半径均为 2cm，O 3，O 4的半径均为 1cm，O 与其他 4 个圆均相外切，图形既关于 O1O2所在直线对称，又关于 O3O4所在直线对称，则四边形 O1O4O2O3的面积为（ ）A12cm 2 B24cm 2 C36cm 2 D48cm 2 例 4 定圆 O 的半径是 4cm，动圆 P 的半径是 2cm，动圆在直线 l 上移动，当两圆相切时，OP 的值
13、是（ ）A2cm 或 6cm B2cm C4cm D6cm课堂小结：一、这章有三条常用辅助线：一是圆心距，第二是直径圆周角，第三条是切线径，就是连接圆心和切点的，或者是连接圆周角的距离。二、有几个分析题目的思路，在圆中有一个非常重要，就是弧、弦与圆周角互相转换，那么怎么去应用，就根据题目条件而定。作业一、选择题1 （北京市西城区）如图， BC 是 O 的直径， P 是 CB 延长线上一点， PA 切 O 于点 A，如果PA ， PB1，那么 APC 等于 （）3（A） （B） （C） （D）53045602 （北京市西城区）如果圆柱的高为 20 厘米，底面半径是高的 ，41那么这个圆柱的侧面积
14、是 （）（A）100 平方厘米 （B）200 平方厘米（C）500 平方厘米 （D）200 平方厘米3 （北京市西城区） “圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱九章算术中的一个问题， “今在圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图， CD为 O 的直径，弦 AB CD，垂足为 E， CE1 寸， AB10 寸，求直径 CD 的长” 依题意， CD 长为 （ ）（A） 寸 （B）13 寸 （C）25 寸 （D）26 寸254 （北京市朝阳）已知：如图， O 半径为 5， PC 切 O 于点 C， PO 交 O 于点 A， PA4，那么 PC 的
15、长等于（ ）（A）6 （B）2 C）2 （D）210145 （北京市朝阳）如果圆锥的侧面积为 20 平方厘米，它的母线长为 5 厘米，那么此圆锥的底面半径的长等于（ ）（A）2 厘米 （B）2 厘米 （C）4 厘米 （D）8 厘米二、填空题1 （北京市东城区）如图， AB、 AC 是 O 的两条切线，切点分别为 B、 C，D 是优弧 上的一点，已知 BAC ，那么 BDC_度802 （北京市东城区）在 Rt ABC 中， C ， A 3， BC1，以 AC 所在直线为轴旋转一周，所得圆9锥的侧面展开图的面积是_3 （北京市海淀区）如果圆锥母线长为 6 厘米，那么这个圆锥的侧面积是_平方厘米4
16、（北京市海淀区）一种圆状包装的保鲜膜，如图所示，其规格为“20 厘米60 米” ，经测量这筒保鲜膜的内径 、外径 的长分别为 3.2 厘米、 4.0 厘米，则该种保鲜12膜的厚度约为_厘米（ 取 3.14，结果保留两位有效数字） 三、解答题：1 （苏州市）已知：如图， ABC 内接于 O，过点 B 作 O 的切线，交 CA 的延长线于点 E， EBC2 C求证： AB AC；若 tan ABE ， （）求 的值；（）求当 AC2 时， AE 的长21BA2 （广州市）如图， PA 为 O 的切线， A 为切点， O 的割线 PBC 过点 O 与 O 分别交于 B、 C， PA8 cm， PB4
17、 cm，求 O 的半径3 （河北省）已知：如图， BC 是 O 的直径， AC 切 O 于点 C， AB 交 O 于点 D，若AD DB23， AC10，求 sinB 的值4 （北京市海淀区）如图， PC 为 O 的切线， C 为切点， PAB 是过 O 的割线， CD AB 于点 D，若 tanB ， PC10 cm，求三角形 BCD 的面积215 （宁夏回族自治区）如图，在两个半圆中，大圆的弦 MN 与小圆相切， D 为切点，且MN AB， MN a， ON、 CD 分别为两圆的半径，求阴影部分的面积6 （四川省）已知，如图，以 ABC 的边 AB 作直径的 O，分别并 AC、 BC 于点 D、 E，弦 FG AB， S CDE S ABC14， DE5 cm， FG8 cm，求梯形 AFGB 的面积7 （贵阳市）如图所示： PA 为 O 的切线， A 为切点， PBC 是过点 O 的割线，PA10， PB5，求：（1） O 的面积（注：用含 的式子表示） ；（2）cos BAP 的值
