1、 海 淀 区 高 一 年 级 第 一 学 期 期 末 考 试数 学2017.1学校 班级 姓名 成绩 本试卷共 100 分.考试时间 90 分钟.一.选择题：本大题共 8 小题, 每小题 4 分,共 32 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1已知集合 ， ， ，则下列结论正确的是 ( )1,235,6U1,5M24,PA B ()P()UC D3U2下列函数在区间 上是增函数的是 ( )(,0)A. B. 2()4fx31gxC. D. 3xh()tan3. 已知向量 若 , 则实数 的值为 ( ) (1,) (,)tababAA. B. C. D. 9 194. 下列
2、函数中，对于任意的 ，满足条件 的函数是 ( ) xR()0fxA. B. 13()fxsin1fC. D. 2 2()log()x5. 代数式 的值为 ( )sin()cos()326A. B. C. D. 101326. 在边长为 1 的正方形 中，向量 ，则向量 的夹角为 ABCD11,23EDCBF ,AEF( )A. B. C. D. 643527. 如果函数 的图象关于点 成中心对称( )，那么函数 的一()3sin(2)fx,0)|()fx条对称轴是 ( ) A. B. C. D. 616x3x8. 已知函数 其中 ，则下列结论中一定正确的是 ( )2() xMfP， ， ， R
3、A. 函数 一定存在最大值 B. 函数 一定存在最小值f ()fxC. 函数 一定不存在最大值 D. 函数 一定不存在最小值()x二.填空题：本大题共 6 小题, 每小题 4 分, 共 24 分. 把答案填在题中横线上.9函数 的定义域为_.()24xf10. 已知 ，则 从小到大的排列为_.0.50.5.,log，abc,abc11. 已知角 终边上有一点 ,且 ,则 .(1)Px21s_t _n12. 已知 中，点 , .ABC2 B， ()Cx(i) 若 是直角，则_x；(ii) 若 是锐角三角形，则 的取值范围是_.13. 燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬. 鸟类科学家发现，两岁燕子
4、的飞行速度 可以表示为v耗氧量 的函数 . 若两岁燕子耗氧量达到 40 个单位时，其飞行速度为 ，x2log10xva 10/ms则两岁燕子飞行速度为 时，耗氧量达到_单位. 5/ms14. 已知函数 . ()|()fxx(i) 当 时，满足不等式 的 的取值范围为_ ；a1f(ii) 若函数 的图象与 轴没有交点，则实数 的取值范围为_.()fx a三.解答题: 本大题共 4 小题, 共 44 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 15（本小题满分 12 分）已知函数 ，其对称轴为 轴(其中 为常数) . 2()fxbcy,bc() 求实数 的值；b() 记函数 ，若函数 有两个
5、不同的零点，求实数 的取值范围； ()2gxf()gxc() 求证：不等式 对任意 成立.1)cfcR16（本小题满分 12 分）已知下表为“五点法”绘制函数 图象时的五个关键点的坐标(其中()sin()fxAx).0,A() 请写出函数 的最小正周期和解析式；)(xf() 求函数 的单调递增区间；() 求函数 在区间 上的取值范围. )(xf0,2x612371256f0 2 0 017（本小题满分 10 分）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ，锐角 的终边与单位圆 交于点 . 1(,0)2A3(,)BOP() 用角 的三角函数表示点 的坐标；P() 当 时，求 的值；14APB() 在 轴
6、上是否存在定点 ，使得 恒成立 ?xM1|2AP若存在，求出点 的横坐标；若不存在，说明理由. 18（本小题满分 10 分）已知函数 的定义域为 ，若存在常数 ，使得 对任意的 成()fxR0T()fxTfxR立，则称函数 是 函数 . （）判断函数 ， 是否是 函数；（只需写出结论）()fx()singx（）说明：请在（）、（）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（）计分.（）若函数 是 函数，且 是偶函数，则 是周期函数； ()f()f()fx（）若函数 是 函数，且 是奇函数，则 是周期函数；xx() 求证：当 时，函数 一定是 函数. 1a()faBAOyxP选作题：（本小题满分
7、10 分）记所有非零平面向量构成的集合为 ，对于 ， ，定义Va,b. ()|Va,bma=b() 请你任意写出两个平面向量 ，并写出集合 中的三个元素；,(),（）请根据你在()中写出的三个元素，猜想集合 中元素的关系，并试着给出证明；Vab() 若 ，其中 ，求证：一定存在实数 ， ，使得()()Va,b,cc12,12+. 12+a=c海 淀 区 高 一 年 级 第 一 学 期 期 末 考 试数 学参考答案及评分标准 2017.1一. 选择题:本大题共 8 小题, 每小题 4 分,共 32 分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C B D A C B B C二.填空题：本大题共
8、6 小题, 每小题 4 分,共 24 分.9. 10. 11. 2,)cba312. ， 13. 320 14. 3(,)(3,2)1(2,) ,说明：12，14 题每个答案两分，丢掉一个减 2 分三.解答题:本大题共 4 小题, 共 44 分.15. （本小题满分 12 分）解: （I）因为 的对称轴为 轴，所以 对任意的 成立，()fxy()(fxfxR即 对任意的 成立，22bcxcR整理有 对任意的 成立，所以 . 4 分0x0b法二：因为 的对称轴为 轴， 而 的对称轴为 ，()fy()fx2bx所以有 ，所以 . 4 分2b（II）依题意 有两个不同的零点，()gxc即关于 的方程
9、 有两个不相等的实数根，20所以 ,即 ， 为所求. 8 分 0Ac() 因为 222(1)(1)()ffcc恒成立，4304所以 对 恒成立. 12 分2()(fcfcR法二：因为 的对称轴为 轴, 其开口向上()fxy且 ，22131|)04cc即 到对称轴的距离大于 到对称轴的距离，|c根据二次函数的性质， 所以 对 恒成立. 12 分2(1)(fcfR16（本小题满分 12 分）解: （I） , 2 分5()6T即 , 所以 .22又 , ,A()sin()fx将 代入 , 有 ，即 .(216sin()16因为 所以 ，因此 ，即 .|,57(,)23故 . 4 分()sin()3f
10、x说明：这里只要结果正确，就给分，不用考虑过程.（II） 因为函数 的单调区间为 ，siy22kxk所以令 ，23kx即 ，566k解得 ，1212kx所以 的增区间为 . 8 分 ()fx(),(kZ，() 因为 ，所以有 ，0,43x所以当 时 ，函数 取得最大值 ，12x()f2当 时， 函数 取得最小值 ，x3所以函数 在 上的取值范围为 12 分 ()fx0,17.（本小题满分 10 分） 解: （I） . 2 分(cos,in)P（II） 13,si)(cos,in)22ABP，(c()iB 223ossin41c4因为 ，所以 ，即 ，APB1cos41cos2因为 为锐角，所以
11、 . 6 分3() 法一：设 ，(,0)Mm则 ，22115|cos)sincoss4AP，2|( m因为 ，所以 ，|25cs(1cs)所以 对任意 成立，2(1)cos(1)04m0,)2所以 ， 所以 . 20142点的横坐标为 . 10 分M法二：设 ，(,0)m则 ，22115|cossincoss4AP，2|()m因为 ，1|2AP所以 ，即 ，25cos(cos)4m2cos40m，()0m因为 可以为任意的锐角， 不能总成立，(2)cs0所以 ，即 ， 点的横坐标为 . 10 分20M218（本小题满分 10 分）解: （I）函数 不是 函数，函数 是 函数. 2 分()fx(
12、)gx（II）(i)因为 是 函数，所以 ，()fxTf所以 ，(又因为 是偶函数，所以 ，)fx()fx所以 ，即 ，(TfT()fxT所以 ，)fx所以 ，(2f所以 是以 为周期的周期函数. 6 分 )fxT(ii) 因为 是 函数，(所以 ，)fxf所以 ，(T又因为 是奇函数， )fx()(fxf所以 ，(f即 ，)fxT所以 ，(fx所以 ，)fx所以 ，()2)fxfT所以 是以 为周期的周期函数. 6 分 () 法一：设 ，()1xga所以 ，00所以至少存在一个 ，满足 ，即 ，(,)T()gT1Ta所以 ，()xxfaf所以函数 是 函数. 10 分法二：设 ，1()xg因为 ，所以 ， ，a0a1()0ag所以至少存在一个 ，1(,)T满足 ，即 ，()0ga所以 ，()xTxTf f所以函数 是 函数. 10 分 ()选作题：（I）例如 (1,0)(,)a则 中的三个元素可以为 .3 分bV(1,)x(,1)y(2,)z（II）猜想： 中的所有向量都是共线向量. (,)证明如下：不妨设 1212(,)(,)ab因为 ，所以 中至少有一个不为 0，b，若 ，记 ,20a12()eab，显然 ，即 ，所以 .()ebe(,)abV
