1、1集合的运算（一）主要方法：1求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用； 2含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题；3集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键（二）主要知识：交集： BxAB且并集： 或全集：如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，通常用 U表示。补集： AxUACU且（三）小题训练1. 已知集合 = , ,则 为 Zy,1|2 ,1|2AxyBB2. 设全集 U=R，A=xN1x10，B= xRx 2+ x6=0，则下图中阴影表示的集合为 3. (08 重庆卷)已知集合 U=1,2,3,4,5
2、,6,7, A=2,4,5,7,B=3,4,5,则( uA)( uB)= 4. 集合 是单元素集合，则实数 a= 02)6(|2xax5. 设集合 P= ， ，那么 的取值范围 3Pa（三）例题分析：题型 1：分类讨论思想例 1 （07 全国 II 卷）设 ，二次函数 若 的解集为 A，aR2().fxa()0fx|3,Bx，求实数 的取值范围。A2题型 2：集合思想例 2：给出四个命题：（1）各侧面是正方形的棱柱都是正棱柱， （2）对角面是全等矩形的六面体一定是长方体， （3）有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱， （4）长方体一定是正四棱柱。其中正确命题的个数是 例 3求 1 到 200
3、 这 200 个数中既不是 2 的倍数，又不是 3 的倍数，也不是 5 的倍数的自然数共有多少个？例 4已知函数 ,在区间 -1，1上至少存在一个实数 c使()fx24()px21p,求实数 p的取值范围.()0fc题型 3：二次不等式与集合的运算例 5 已知集合 ， 230,Axx R2240,Bxmxm ， R()若 ，求实数 的值；() 若 ，求实数 的取值范围0,BmAR（四）巩固练习1已知集合 ， ，则 等于 12|xyA1|2xyBBA2（08 陕西理 2）已知全集 ，集合 ，345U， ， ， ， 2|30，则集合 中元素的个数为 |Bxa， ()A33.设集合 P= ，Q= ，
4、已知 P Q 只有一个子集，那么 的取值范围是 kyx,1,xayk4.（08 全国理 1 文 2）设集合 ，|32MmZ|3NnNZ则， 5.（08 山东文 1 理 1）满足 ，且 的集合1234a， ， ， 12312Maa， ， ，的个数是 M6. （06 安徽卷） “ ”是 “的 条件3x27. 设全集 U=x|0x10,xN *，若 AB=3，AC UB=1，5，7，C UAC UB=9，则集合 A、B是_8. 集合 是单元素集合，则实数 a= 02)6(|2xaxA9. （选修物理做）设 p： ； q： ,则非 q 是 p 的必要不充分条件 5或x10. （选修物理做）若 A、B、
5、C 为三个集合， ，则一定有CBA（A） （B） （C） （D）A11.已知关于 的取值范围。2035axxMa的 不 等 式 的 解 集 为 ， 若 且 ， 求 实 数12. 已知 ， 的定义域是 Q，若 ，求字母 取值范围。1,32P2()log()fxaxPa13. 已知 R 为全集， A= ， B= ，求 )3(log|21xx25|x1ABR4答案1. 已知集合 = , ,则 为 AZxyx,1|2 ,1|2AxyBB易知 A=-1，0，1 ，B=1，2 ，故 AB=12. 设全集 U=R，A=xN1x10，B= xRx 2+ x6=0，则下图中阴影表示的集合为 2 3. (08 重
6、庆卷)已知集合 U=1,2,3,4,5,6,7, A=2,4,5,7,B=3,4,5,则( uA)( uB)=解析：已知集合 ，( uA) =1，3，6，5,43,754,7654,321( uB) =1，2，6，7，则( uA)( uB)1，2，3，6，74. 集合 是单元素集合，则实数 a= 0)(|xax0，2 或 185. 设集合 P= ， ，那么 的取值范围 2xa3P解： ，则 ， = ， ， 。 的取值范围3PR2xa3a1a。(,1（三）例题分析：题型 1：分类讨论思想例 1 （07 全国 II 卷）设 ，二次函数 若 的解集为 A，aR2().fxa()0fx|3,Bx，求实
7、数 的取值范围。A解法一：由 f（x）为二次函数知 ，令 f（x）0 解得其两根为a12211,a由此可知 （i）当 时， 的充10,12|AxAB要条件是 ，即 解得23x213a67a（ii）当 时， 的充要条件是 ，即01|AxB21x解得 综上，使 成立的 a 的取值范围为21a2aA6(,)(,)7解法二：设 ，则 ， ，即 ；设 则 ， ，即0(3)f670a0f。综上，使 成立的 a 的取值范围为AB(,2)(,) 3的 倍 数2的 倍 数5的 倍 数5思考：还有解法 3 吗？题型 2：集合思想例 2：给出四个命题：（1）各侧面是正方形的棱柱都是正棱柱， （2）对角面是全等矩形的
8、六面体一定是长方体， （3）有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱， （4）长方体一定是正四棱柱。其中正确命题的个数是 0析：用集合的包含关系建立概念系统，能帮助学生对数学定理、法则、公式等的认识进一步系统化，明确各概念的联系和区别，从而提高学习质量例 3求 1 到 200 这 200 个数中既不是 2 的倍数，又不是 3 的倍数，也不是 5 的倍数的自然数共有多少个？解：如图先画出 Venn 图，不难看出不符合条件的数共有（2002）（2003）(2005)(20010)(2006)(20015)(20030)146 所以，符合条件的数共有 20014654（个）点评：分析 200 个数分为
9、两类，即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法。例 4已知函数 ,在区间 -1，1上至少存在一个实数 c使()fx24()px21p,求实数 p的取值范围.()0fc分析：解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想本题若直接求解，情形较复杂，也不容易得到正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，就容易得到正确的解答解析:设所求 p的范围为 A,则 在-1，1上函数sCA|p()f
10、x24()px，注意到函数的图象开口向上 ， =210 |10,()sCAff3|p或 3|2点评：有些需要分类讨论的问题，解题过程往往过于繁杂，此时运用补集的思想(即“正难则反”思想)去解答，常常可以简化讨论。补集作为一种集合的运算形式，它所蕴含的数学思想，可以作为解决问题的具体手段。补集思想常被运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。但是值得注意的是最后的结果，一定要转换成正面的结论。题型 3：二次不等式与集合的运算例 5 已知集合 ， 230,Axx R2240,Bxmxm ， R()若 ，求实数 的值；() 若 ，求实数 的取值范围0,BmAR解：由已知得： ， 13x 2x () ,
11、 0AB20, ,1.m 26() ,R2,Bxmx或RAB ,或 ， 或 315,m3（四）巩固练习1已知集合 ， ，则 等于 2|xyA1|2xyBBA),432（08 陕西理 2）已知全集 ，集合 ，1345U， ， ， ， 2|30，|Bxa，则集合 中元素的个数为 2 解： ， ，()UA 1,2,4AB1,24A3,53.设集合 P= ，Q= ，已知 P Q 只有一个子集，那么 的取值范围是 kyx,xayk1,4.（08 全国理 1 文 2）设集合 ，|32MmZ|3NnNZ则， 解： ， ，,0M,2101,05.（08 山东文 1 理 1）满足 ，且 的集合34a， ， ，
12、2312Maa， ， ，的个数是 2解：集合 中必含有 ,则 或 .1212,M124,6. （06 安徽卷） “ ”是 “的 条件（充分不必要）3x4解：条件集是结论集的子集，所以选 B。7. 设全集 U=x|0x10,xN *，若 AB=3，AC UB=1，5，7，C UAC UB=9，则集合 A、B是_启：本题用推理的方法求解不如先画出文氏图，用填图的方法来得简捷，由图不难看出解：A=1，3，5 ，7，B=2，3，4，6，8 8. 集合 是单元素集合，则实数 a= 02)6(|2xaxA0，2 或 189.设 p： ； q： ,则非 q 是 p 的必要不充分条件5x02解析：命题 p 为
13、真命题 ；命题 q 为真命题 ，非 q5x或 502x2x74。非 q 是 p 的必要不充分条件。25x或10 （06 江苏卷）若 A、B、C 为三个集合， ，则一定有CBA（A） （B） （C） （D）A【确】因为 由题意得 所以选 A且 【反思】对集合的子、交、并、补运算，以及集合之间的关系要牢固掌握。本题考查三个抽象集合之间的关系，可以考虑借助与文氏图。11.已知关于 的取值范围。25035axxMa的 不 等 式 的 解 集 为 ， 若 且 ， 求 实 数解析： ，3 满足 ，则 或 。若M2x5099a53，则 ，但是 ，所以 。所以，实数 的取值5501aa或 12a范围 。1,)
14、(9,312. 已知 ， 的定义域是 Q，若 ，求字母 取值范围。,2P2()log()fxaxPa解：若 ，不等式 在 上不成立，即不等式 在 上恒Q01,320x1,32立，分离参数， 在 上恒立。令 ， ，则22xa, 1()gx,。所以，字母 的取值范围 。14()gx 4a13. 已知 R 为全集， A= ， B= ，求 )3(log|21xx25|x1ABR解由已知 )(l214l由 解得-1 3所以 ,03xx1|xA3由 1，解得-2 3所以 252|B于是 ，故 xA或1|31|xx或（五）省思与感悟集合是近代数学中的一个重要概念，集合思想已成为现代数学的理论基础，与高中数学
15、的许多内容有着广泛的联系，中学数学所研究的各种对象都可以看作集合或集合中的元素，用集合语言可以明了地表述数学概念，准确、简捷地进行数学推理。学生养成这样一种集合的思维习惯：善于把在某些方面有类似性质的对象（或满足某一条件的对象）放在一起视为一个集合，然后利用集合的有关概念或通过集合的有关计算来研究和解决问题。运用集合的交集思想、并集思想、补集思想、子集思想等解题对于一些比较复8杂、比较抽象，条件和结论之间关系不明朗，难于从正面入手的数学问题，在解题时，可调整思路，从问题的反面入手，探求已知与未知的关系，这样能起到反难为易，化隐为显，从而将问题得以解决，这就是“正难则反”的解题策略，是补集思想的具体应用
