1、直线与圆、圆与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点；dr2、直线与圆相切 有一个交点(切点） ；3、直线与圆相交 有两个交点；drd=rr d二、切线的判定定理与性质（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： 且 过半径 外端MNOAA 是 的切线（2）性质定理：经过切点的半径垂直于圆的切线经过切点垂直于切线的直线必经过圆心（如上图）过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。例 1、 在 中，BC=6cm， B=30，C=45 ，以 A 为圆心，当半径 r 多长时所作的 A 与直线
2、 BC 相切？相交？相离？解题思路：作 ADBC 于 D在 中，B=30 在 中，C=45 CD=AD BC=6cm NM AOPBAOBACDO 当 时，A 与 BC 相切；当 时， A 与 BC 相交；当 时， A 与 BC 相离。例 2如图，AB 为 O 的直径，C 是O 上一点，D 在 AB 的延长线上，且DCB=A（1）CD 与 O 相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由（2）若 CD 与 O 相切，且 D=30，BD=10 ，求 O 的半径解题思路：（1）要说明 CD 是否是O 的切线，只要说明 OC 是否垂直于 CD，垂足为 C， 因为 C 点已在圆上由已知易得：
3、A=30，又由DCB= A=30得：BC=BD=10解：（1）CD 与 O 相切理由：C 点在O 上（已知）AB 是直径ACB=90，即ACO+OCB=90A=OCA 且DCB= AOCA=DCB OCD=90综上：CD 是 O 的切线（2）在 RtOCD 中，D=30COD=60 A=30 BCD=30BC=BD=10AB=20，r=10答：（1）CD 是 O 的切线， （2）O 的半径是 10三、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即： 、 是的两条切线PAB 平分O（证明）四、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线
4、段的乘积相等。PO DCBAPBAO即：在 中，弦 、 相交于点 ，OABCDP （相似）P（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在 中，直径 ，OABCD 2E（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在 中， 是切线， 是割线OPAB 2C（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图） 。即：在 中， 、 是割线OPBE CD五、三角形的内切圆（1）定义：与三角形三边都相切的圆（角平分线的交点）（2）内心、外切三角形例 1：如图， O
5、 为 ABC 的内切圆， C ， AO 的延长线交 BC 于点90D， AC4， DC1， ，则 O 的半径等于 （ ）1、如图， ABC=90， O 为射线 BC 上一点，以点 O 为圆心、 BO 长为21半径作 O，当射线 BA 绕点 B 按顺时针方向旋转 度时与 0 相切六、圆与圆的位置关系外离（图 1） 无交点 ；dRr外切（图 2） 有一个交点 ；O EDCB AD EC BPAOD EC BPAO相交（图 3） 有两个交点 ；Rrdr内切（图 4） 有一个交点 ；内含（图 5） 无交点 ；图1rRd图3rRd例 1两个同样大小的肥皂 泡黏在一起，其剖面如图 1 所示（点 O，O是圆
6、心） ，分隔两个肥皂泡的肥皂膜 PQ 成一条直线，TP、NP 分别为两圆的切线，求 TPN 的大小（1） (2)解题思路：要求TPN，其实就是求 OPO的角度，很明显， POO是正三角形，如图 2 所示解：PO=OO=PO POO 是一个等边三角形 OPO=60又TP 与 NP 分别为两圆的切线，TPO=90， NPO=90TPN=36029060=120例 2如图 1 所示，O 的半径为 7cm，点 A 为O 外一点，OA=15cm，求：（1）作A 与 O 外切，并求A 的半径是多少？图2rRd 图4rRd图5rRdAO(1) (2)(2）作A 与O 相内切，并求出此时 A 的半径解题思路：
7、（1）作A 和O 外切，就是作以 A 为圆心的圆与O 的圆心距d=rO+rA；（2 ） 作 OA 与 O 相内切，就是作以 A 为圆心的圆与O 的圆心距d=rAr O解：如图 2 所示， （1）作法：以 A 为圆心，r A=157=8 为半径作圆，则A 的半径为 8cm（2）作法：以 A 点为圆心， rA=15+7=22 为半径作圆，则 A 的半径为 22cm例 3如图所示，点 A 坐标为（ 0，3） ，OA 半径为 1，点 B 在 x 轴上（1）若点 B 坐标为（4， 0） ， B 半径为 3，试判断 A 与B 位置关系；（2）若B 过 M（2，0）且与A 相切，求 B 点坐标答（1）AB=
8、51+3，外离（2）设 B（x，0）x2，则 AB= 29x，B 半径为x+2 ，设B 与 A 外切，则 2=x+2+1，当 x2 时， 29x=x+3，平方化简得：x=0 符题意，B（0，0） ，当 x2（舍） ，设B 与 A 内切，则 2=x+21，当 x2 时， 29x=x+1，得 x=42，B（4，0） ，当 x2 时， =x3，得 x=0，七、两圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图： 垂直平分 。12OAB即： 、 相交于 、 两点BAO1 O2_A_y_x_O 垂直平分12OAB八、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长： 中， ；12RtC2
9、21ABOC（2）外公切线长： 是半径之差； 内公切线长： 是半径之和 。2九、圆内正多边形的计算（1）正三角形 在 中 是正三角形，有关计算在 中进行：OABCRtBOD；:1:32D（2）正四边形同理，四边形的有关计算在 中进行， ：RtAE:1:2AE（3）正六边形同理，六边形的有关计算在 中进行， .tOB:3BOECBA DOBAOCO2O1BADCB AO基础训练1填表：直线与圆的位置关系图形公共点个数公共点名称圆心到直线的距离 d与圆的半径 r 的关系直线的名称相交相切相离2若直线 a 与O 交于 A，B 两点，O 到直线 a的距离为 6，AB=16，则O的半径为_3在ABC 中
10、，已知ACB=90，BC=AC=10，以 C 为圆心，分别以 5，5 ，8 为半径作2图，那么直线 AB 与圆的位置关系分别是_，_，_4O 的半径是 6，点 O 到直线 a 的距离为 5，则直线 a 与O 的位置关系为（ ）A相离 B相切 C相交 D内含5下列判断正确的是（ ）直线上一点到圆心的距离大于半径，则直线与圆相离；直线上一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆相切；直线上一点到圆心的距离小于半径，则直线与圆相交A B C D6OA 平分BOC，P 是 OA 上任一点（O 除外） ，若以 P 为圆心的P 与 OC 相离，那么P与 OB 的位置关系是（ ）A相离 B相切 C相交 D相交或相
11、切7如图所示，RtABC 中，ACB=90，CA=6，CB=8，以 C 为圆心，r 为半径作C，当 r 为多少时，C 与 AB 相切？8如图，O 的半径为 3cm，弦 AC=4 cm，AB=4cm，若以 O 为圆心，再作一个圆与 AC2相切，则这个圆的半径为多少？这个圆与 AB 的位置关系如何？提高训练9如图所示，在直角坐标系中，M 的圆心坐标为（m，0） ，半径为 2，如果M 与 y 轴所在直线相切，那么 m=_，如果M 与 y 轴所在直线相交，那么 m的取值范围是_10如图，ABC 中，AB=AC=5cm，BC=8cm，以 A 为圆心，3cm长为半径的圆与直线 BC 的位置关系是_11如图
12、，正方形 ABCD 的边长为 2，AC 和 BD 相交于点 O，过 O 作 EFAB，交 BC 于 E，交AD 于 F，则以点 B 为圆心， 长为半径的圆与直线 AC，EF，CD 的位置关系分别是什么？12已知O 的半径为 5cm，点 O 到直线 L 的距离 OP 为 7cm，如图所示（1）怎样平移直线 L，才能使 L 与O 相切？（2）要使直线 L 与O 相交，应把直线 L 向上平移多少 cm？13如图，RtABC 中，C=90，AC=3，AB=5，若以 C 为圆心，r 为半径作圆，那么:（1）当直线 AB 与C 相切时，求 r 的取值范围；（2）当直线 AB 与C 相离时，求 r 的取值范
13、围；（3）当直线 AB 与C 相交时，求 r 的取值范围14在南部沿海某气象站 A 测得一热带风暴从 A 的南偏东 30的方向迎着气象站袭来，已知该风暴速度为每小时 20 千米，风暴周围 50 千米范围内将受到影响，若该风暴不改变速度与方向，问气象站正南方 60 千米处的沿海城市 B 是否会受这次风暴的影响？若不受影响，请说明理由；若受影响，请求出受影响的时间九年级下册直线和圆的位置关系练习题一、选择题：1若OAB=30，OA=10cm，则以 O 为圆心，6cm 为半径的圆与射线 AB 的位置关系是（ ）A相交 B相切 C相离 D不能确定2RtABC 中，C=90，AB=10，AC=6，以 C
14、 为圆心作C 和 AB 相切，则C 的半径长为（ ）A8 B4 C96 D483O 内最长弦长为 ，直线 与O 相离，设点 O 到 的距离为 ，则 与 的关系是ml ldm（ ）A = B C 2D 2dd4以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等边三角形5菱形对角线的交点为 O，以 O 为圆心，以 O 到菱形一边的距离为半径的圆与其他几边的关系为（ ）A相交 B相切 C相离 D不能确定6O 的半径为 6，O 的一条弦 AB 为 6 3，以 3 为半径的同心圆与直线 AB 的位置关系是（ ）A相离 B相交 C相切 D不能确定7下列四边形中一定有内切圆的是（ ）A直角梯形 B等腰梯形 C矩形 D菱形8已知ABC 的内切圆 O 与各边相切于 D、E、F，那么点 O 是DEF 的（ ）
