《高中数学竞赛》数列.doc

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资源描述

1、1竞赛辅导数列( 等差数列与等比数列)数列是高中数学中的一个重要课题,也是数学竞赛中经常出现的问题。数列最基本的是等差数列与等比数列。 所谓数列,就是按一定次序排列的一列数。如果数列a n的第 n项 an 与项数( 下标)n 之间的函数关系可以用一个公式 an=f(n)来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式。 从函数角度看,数列可以看作是一个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集1 , 2,n) 的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 为了解数列竞赛题,首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义、性质有关公式,把握它们之间的(同构)关系。

2、一、 等差数列 如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母 d 表示。 等差数列a n的通项公式为: )1(1dnan前 n 项和公式为: 2()2)(11aSnn从(1)式可以看出, 是 的一次数函( )或常数函数 ( ),(n 0d0d)排在一条直线上,由(2)式知, 是 的二次函数( )或一次函na, nS数( ),且常数项为 0。在等差数列 中,等差中项: 0,1d na且任意两项 的关系为:21nn nma, m)(它可以看作等差数列广义的通项公式。 2从等差数列的定义、通项公式,前 项和公式还可推出

3、:nnkaaaknn 3,21,23121 若 qpnmqpmNqp:,*则 有且等 等或 等 差 数 列 , 1)()(23211 knkkknmSSaa二、 等比数列 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母 表示。等比数列 an的通项公式是: q 1nnqa前 项和公式是:n1,qnS1,1)(1qaqann在等比数列中,等比中项: 21nna且任意两项 的关系为nma, mq如果等比数列的公比 满足 0 1,这个数列就叫做无穷递缩等q比数列,它的各项的和(又叫所有项的和)的公式为:qaS1从等比

4、数列的定义、通项公式、前 项和公式可以推出: n3121212321* 123121 )(,)(:, ,3, nnnnn mqpknnnn aaaNqpma 则 有记 则 有若 另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数 C 为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂 ,则 是等比数列。在这个意义下,我们说:一个正项等naCna比数列与等差数列是“ 同构 ”的。重要的不仅是两类基本数列的定义、性质,公式;而且蕴含于求和过程当中的数学思想方法和数学智慧,也是极其珍贵的,诸如“ 倒排相加 ”(等差数列), “错位相减”(等比数列)。 数列中主要有两大类问题,一

5、是求数列的通项公式,二是求数列的前 n 项和。 三、 范例 例 1 设 ap, aq, am, an 是等比数列 an中的第 p、 q、 m、 n 项,若p+q=m+n,求证: nqp证明:设等比数列 的首项为 ,公比为 q,则a1anmqp nmnmqpnnmqqppaaqa : ,212111故所 以说明:这个例题是等比数列的一个重要性质,它在解题中常常会用到。它说明等比数列中距离两端(首末两项)距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积,即:a 1+kan-k=a1an4对于等差数列,同样有:在等差数列 中,距离两端等这的na两项之和等于首末两项之和。 即:a 1+k+an-k=a1+an例

6、 2在等差数列 中,a 4+a6+a8+a10+a12=120,则 2a9-a10= nA.20 B.22 C.24 D28 解:由 a4+a12=2a8,a 6+a10 =2a8 及已知或得5a8=120,a 8=24而 2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24。故选 C 例 3已知等差数列a n满足 a1+a2+a3+a101=0,则有( ) A.a 1+a1010 B. a2+a1000 C.a3+a99=0 D.a51=51 2000 年北京春季高考理工类第(13)题 解:显然,a 1+a2+a3+a101CaaaaS选 从 而故 ,0,001)( 19

7、3210 例 4设 Sn 为等差数列 的前 项之各,nS9=18, , Sn=336,则 为( ) )9(304aA.16 B.21 C.9 D8 5BnnaSan选故 而所 以 故由 于解 ,213612)( ,0,89:14555例 5设等差数列 满足 ,且 0, 为其前 项之和,n1385a1nS则中最大的是( )。 (1995 年全国高中联赛第 1 题) )(*NSn(A)S 10 (B)S11 (C)S20 (D)S2102,0:, )24(39)1()1(573:1138 nn aa nda时当则令 故解 所以:S 19=S20 最大,选(C) 注:也可用二次函数求最值 例 6设等

8、差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于 3,且各项的和为 972,则这样的数列共有( ) (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个 1997 年全国高中数学联赛第 3 题 解:设等差数列首项为 ,公差为 ,则依题意有:ad(*)972)1(2ndan因为 是不小于 3 的自然数,97 为素数,故数 的值必为n62972 的约数(因数),它只能是 97,297,97 2,297 2 四者之一。 若 ,则 由(*)式知 2972 故只可能有0d1)1()(ndn=97, (*)式化为: ,这时(*)有两组解:n9748da或 97an1297a若 ,则(*)式化为: ,这时(*)

9、 也有两组解。0d2n或 97an197ad故符今题设条件的等差数列共 4 个,分别为:49,50,51,145,(共 97 项)1,3,5,193,(共 97 项)97,97,97,97,(共 97 项)1,1,1,1(共 972=9409 项)故选(C) 例 7将正奇数集合1,3,5, 由小到大按第 n 组有(2n-1)个奇数进行分组:1 , 3,5,7, 9,11,13,15,17,(第一组) ( 第二组) (第三组 ) 则 1991 位于第 组中。 1991 年全国高中数学联赛第 3 题 7解:依题意,前 n 组中共有奇数 1+3+5+(2n-1)=n 2 个 而 1991=2996-

10、1,它是第 996 个正奇数。 因为:31 2=9619961024=32 2所以:1991 应在第 31+1=32 组中。故填 32例 8一个正数,若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列,则该数为 。 1989 年全国高中联赛试题第 4 题 解:设该数为 x,则其整数部分为x,小数部分为 x-x,由已知得:x(x-x=x2其中x0, 0x-x 1,解得:251251,0,251xxxx故 应 填例 9等比数列 的首项 ,公比 ,用 n 表示它的前na153621q项之积,则 n(nN*)最大的是( ) (A) 9 (B)11 (C)12 (D)13 1996 年全国高中数学联赛试题 解:等

11、比数列 的通项公式为na8前 n 项和191)2(5362)(1536nnna0)21(3 :)(591 1(92)1(因 为nnnnn 最 大故 123978131 942160812453689 ,3 选(C)例 10设 ,且两数列 和 均为等差数列,yxyax,321 43,21byx则 1988 年全国高中联赛试题 1234ab解:依题意,有 所以:)(412axy38)(1:3)12423212abxya所 以又例 11设 是实数, 成等比数列,且 成等差数列,zyx, zyx5,4zyx1,则 的值是 1992 年全国高中数学联赛试题 解:因为 成等比数列,所以有zyx5,439:

12、,1,)1(56:)4(5322所 以 有成 等 差 数 列又 即zyxxzy)2(,:,zxyzx即xzxzyxz34)(15)2640,15(416:)(222得代 入将z例 12已知集合 M= 及 N= 并且 M=N,那么)lg(,xyyx,0( )的 值 等 于)1(1()1( 2032xy解:由 M=N 知 M 中应有一元素为 0,任由 lg( )有意义知 ,xy0xy从而 ,且 ,故只有 lg( )=0, xy=1,M= x,1,0;0xy若 y=1,则 x=1,M=N=0,1,1与集合中元素互异性相连,故 y1,从而x=1 ,x=1;由 x=1, y=1(含),由 x=-1 y=

13、-1,M=N=0,1,-1 10此时, 21,21,21,12 kkk yxyxyxy从而 )()()( 2012注:数列 x, x2,x 3,x 2001; 以及201,y20132,1,1yy在 x=y=-1 的条件下都是周期为 2 的循环数列,S 2n-1=-2,S 2n=0,故 2001 并不可怕。 例 13已知数列 满足 3an+1+an=4(n1)且 a1=9,其前 n 项之和为nSn,则满足不等式 Sn-n-6 的最小整数 n 是( ) 1994 年全25国高中数学联赛试题(A)5 (B)6 (C)7 (D)8 解:由 3an+1+an=4(n1)3an+1-3=1-an81),(311 an故数列a n-1是以 8 为首项,以 为公比的等比数列,所以 31)3(8nna

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