1、新起点辅导中心 与你共创辉煌 1高考数学复习专题新起点辅导中心 与你共创辉煌 2专题一 集合、逻辑与不等式集合概念及其基本理论，是近代数学最基本的内容之一，集合的语言、思想、观点渗透于中学数学内容的各个分支有关简易逻辑的常识与原理始终贯穿于数学的分析、推理与计算之中，学习关于逻辑的有关知识，可以使我们对数学的有关概念理解更透彻，表达更准确不等式是高中数学的重点内容之一，是工具性很强的一部分内容，解不等式、不等式的性质等都有很重要的应用关注本专题内容在其他各专题中的应用是学习这一专题内容时要注意的11 集 合【知识要点】1集合中的元素具有确定性、互异性、无序性2集合常用的两种表示方法：列举法和描
2、述法，另外还有大写字母表示法，图示法(韦恩图 )，一些数集也可以用区间的形式表示3两类不同的关系：(1)从属关系元素与集合间的关系；(2)包含关系两个集合间的关系( 相等是包含关系的特殊情况)4集合的三种运算：交集、并集、补集【复习要求】1对于给定的集合能认识它表示什么集合在中学常见的集合有两类：数集和点集2能正确区分和表示元素与集合，集合与集合两类不同的关系3掌握集合的交、并、补运算能使用韦恩图表达集合的关系及运算4把集合作为工具正确地表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集等【例题分析】例 1 给出下列六个关系：(1)0N * (2)0 1 ，1 (3) 0(4) 0 (5)00，1 (
3、6)0 0其中正确的关系是_解答：(2)(4)(6)【评析】1熟悉集合的常用符号：不含任何元素的集合叫做空集，记作 ；N 表示自然数集；N 或 N*表示正整数集；Z 表示整数集；Q 表示有理数集；R 表示实数集2明确元素与集合的关系及符号表示：如果 a 是集合 A 的元素，记作：aA；如果a 不是集合 A 的元素，记作：a A3明确集合与集合的关系及符号表示：如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 的元素，那么集合 A 叫做集合 B 的子集记作：A B 或 B A如果集合 A 是集合 B 的子集，且 B 中至少有一个元素不属于 A，那么，集合 A 叫做集合 B 的真子集A B 或 B A4子
4、集的性质：任何集合都是它本身的子集：A A；空集是任何集合的子集： A；新起点辅导中心 与你共创辉煌 3提示：空集是任何非空集合的真子集传递性：如果 A B，B C，则 A C；如果 A B，B C，则 A C例 2 已知全集 U小于 10 的正整数，其子集 A，B 满足条件( UA)( UB)1 ，9，AB 2 ，B ( UA)4， 6，8求集合 A，B解：根据已知条件，得到如图 11 所示的韦恩图，图 11于是，韦恩图中的阴影部分应填数字 3，5，7故 A2，3， 5，7，B 2，4，6，8 【评析】1、明确集合之间的运算对于两个给定的集合 A、B，由既属于 A 又属于 B 的所有元素构成
5、的集合叫做 A、B 的交集记作：AB对于两个给定的集合 A、B，把它们所有的元素并在一起构成的集合叫做 A、B 的并集记作：AB如果集合 A 是全集 U 的一个子集，由 U 中不属于 A 的所有元素构成的集合叫做 A 在U 中的补集记作 UA2、集合的交、并、补运算事实上是较为复杂的“且” 、 “或” 、 “非”的逻辑关系运算，而韦恩图可以将这种复杂的逻辑关系直观化，是解决集合运算问题的一个很好的工具，要习惯使用它解决问题，要有意识的利用它解决问题例 3 设集合 Mx1x2，Nxxa若 MN ，则实数 a 的取值范围是_答：(，1【评析】本题可以通过数轴进行分析，要特别注意当 a 变化时是否能
6、够取到区间端点的值象韦恩图一样，数轴同样是解决集合运算问题的一个非常好的工具例 4 设 a，bR，集合 ，则 ba_,0,1ab【分析】因为 ，所以 ab0 或 a0(舍去，否则 没有意义)，, ab所以，ab0， 1，所以11，ab，a ，a1，结合 ab0，b1，所以 ba2练习 11一、选择题1给出下列关系： ； Q；3 N*； 其中正确命题RQ|3|的个数是( )新起点辅导中心 与你共创辉煌 4(A)1 (B)2 (C)3 (D)42下列各式中，A 与 B 表示同一集合的是( )(A)A(1，2) ，B(2，1) (B)A1 ，2，B2，1(C)A0 ，B (D)Ayyx 21 ，Bx
7、yx 213已知 M( x，y)x 0 且 y0 ，N (x，y)xy0，则 M，N 的关系是( )(A)M N (B)N M (C)MN (D)MN 4已知全集 UN，集合 Axx2n，nN ，Bxx4n，nN ，则下式中正确的关系是( )(A)UAB (B)U( UA)B (C)UA( UB) (D)U( UA)( UB)二、填空题5已知集合 Axx1 或 2x3，Bx2x 4，则 AB_6设 M1 ，2，N1，2，3 ，Pccab，a M，bN，则集合 P 中元素的个数为_7设全集 UR，Axx3 或 x2，Bx1x5，则( UA)B_.8设集合 Sa 0，a 1，a 2， a3，在 S
8、 上定义运算 为： ai aja k，其中 k 为 ij 被 4 除的余数，i，j0，1，2，3则 a2 a3_；满足关系式 (x x) a2a 0 的 x(xS)的个数为_三、解答题9设集合 A1，2，B 1，2，3 ，C 2 ，3，4，求 (AB)C10设全集 U小于 10 的自然数，集合 A，B 满足 AB2，( UA)B4，6，8，( UA) ( UB) 1，9，求集合 A 和 B11已知集合 Ax2x4，B xxa ，AB ，求实数 a 的取值范围；ABA，求实数 a 的取值范围；AB ，且 ABA，求实数 a 的取值范围12 常用逻辑用语【知识要点】1命题是可以判断真假的语句2逻辑
9、联结词有“或” “且” “非” 不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题可以利用真值表判断复合命题的真假新起点辅导中心 与你共创辉煌 53命题的四种形式原命题：若 p 则 q逆命题：若 q 则 p否命题：若 p，则 q逆否命题：若 q，则 p注意区别“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价关系4充要条件如果 p q，则 p 叫做 q 的充分条件， q 叫做 p 的必要条件如果 p q 且 q p，即 q p 则 p 叫做 q 的充要条件，同时， q 也叫做 p 的充要条件5全称量词与存在量词【复习要求】1理解命题的概念
10、了解“若 p，则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系理解必要条件、充分条件与充要条件的意义2了解逻辑联结词“或” 、 “且” 、 “非”的含义3理解全称量词与存在量词的意义能正确地对含有一个量词的命题进行否定【例题分析】例 1 分别写出由下列命题构成的“pq” “pq” “ p”形式的复合命题，并判断它们的真假(1)p：0N，q ：1 N；(2)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线相互平分解：(1)pq：0N，或 1 N；pq：0N，且 1 N； p：0 N因为 p 真，q 假，所以 pq 为真，pq 为假， p 为假(2)pq：平行四边形的对角线
11、相等或相互平分pq：平行四边形的对角线相等且相互平分p：存在平行四边形对角线不相等因为 p 假，q 真，所以 pq 为真，pq 为假， p 为真【评析】判断复合命题的真假可以借助真值表例 2 分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假(1)若 a2b 20，则 ab0；(2)若 A BA，则 A B解：(1)逆命题：若 ab0，则 a2b 20；是假命题否命题：若 a2b 20，则 ab0；是假命题逆否命题：若 ab0，则 a2b 20；是真命题(2)逆命题：若 A B，则 ABA；是真命题否命题：若 ABA ，则 A 不是 B 的真子集；是真命题逆否命题：若 A 不是 B 的真
12、子集，则 ABA是假命题评述：原命题与逆否命题互为逆否命题，同真同假；逆命题与逆否命题也是互为逆否命题例 3 指出下列语句中，p 是 q 的什么条件，q 是 p 的什么条件新起点辅导中心 与你共创辉煌 6(1)p：(x2)(x3)0；q：x2；(2)p：a2；q：a0【分析】由定义知，若 p q 且 q p，则 p 是 q 的充分不必要条件；若 p q 且 q p，则 p 是 q 的必要不充分条件；若 p q 且 q p，p 与 q 互为充要条件于是可得(1)中 p 是 q 的必要不充分条件；q 是 p 的充分不必要条件(2)中 p 是 q 的充分不必要条件；q 是 p 的必要不充分条件【评析
13、】判断充分条件和必要条件，首先要搞清楚哪个是条件哪个是结论，剩下的问题就是判断 p 与 q 之间谁能推出谁了例 4 设集合 Mx x2 ，N xx3 ，那么“x M 或 xN ”是“x MN”的( )(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充要条件 (D)非充分条件也非必要条件解：条件 p：xM 或 xN，即为 xR ；条件 q：xMN，即为xR2x 3又 R xR2x 3，且 xR 2x3 R，所以 p 是 q 的必要非充分条件，选 B【评析】当条件 p 和 q 以集合的形式表现时，可用下面的方法判断充分性与必要性：设满足条件 p 的元素构成集合 A，满足条件 q 的元素构成集合 B
14、，若 A B 且 B A，则 p是 q 的充分非必要条件；若 A B 且 B A，则 p 是 q 的必要非充分条件；若 AB，则 p与 q 互为充要条件例 5 命题“对任意的 xR ，x 3x 210”的否定是( )(A)不存在 xR，x 3x 210， (B)存在 xR，x 3x 210(C)存在 xR， x3x 210 (D)对任意的 xR，x 3x 210【分析】这是一个全称命题，它的否定是一个特称命题其否定为“存在xR，x 3x 2 10 ”答：选 C【评析】注意全(特)称命题的否定是将全称量词改为存在量词 (或将存在量词改为全称量词) ，并把结论否定练习 12一、选择题1下列四个命题
15、中的真命题为( )(A) xZ，14x3 (B) xZ，3x10(C) x R，x 210 (D) xR，x 22x202如果“p 或 q”与“非 p”都是真命题，那么( )(A)q 一定是真命题 (B)q 不一定是真命题(C)p 不一定是假命题 (D)p 与 q 的真假相同3已知 a 为正数，则“ab”是“b 为负数”的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件4 “A 是 B 的子集”可以用下列数学语言表达：“若对任意的 xA xB，则称A B”那么“A 不是 B 的子集”可用数学语言表达为( )(A)若 xA 但 x B，则称 A 不是 B
16、 的子集(B)若 xA 但 x B，则称 A 不是 B 的子集新起点辅导中心 与你共创辉煌 7(C)若 x A 但 xB ，则称 A 不是 B 的子集(D)若 x A 但 xB，则称 A 不是 B 的子集二、填空题5 “ p 是真命题”是“pq 是假命题的”_条件6命题“若 x1，则x 1”的逆否命题为_7已知集合 A，B 是全集 U 的子集，则“A B”是“ UB UA”的_条件8设 A、B 为两个集合，下列四个命题：A B 对任意 xA，有 x B A B ABA B A B A B 存在 xA，使得 x B其中真命题的序号是_(把符合要求的命题序号都填上)三、解答题9判断下列命题是全称命
17、题还是特称命题并判断其真假：(1)指数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被 2 整除又能被 5 整除；(3) xxxZ，log 2x0；(4) .41,2R10已知实数 a，bR试写出命题： “a2b 20，则 ab0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断四个命题的真假，说明判断的理由13 不等式( 含推理与证明)【知识要点】1不等式的性质(1)如果 ab，那么 ba；(2)如果 ab，且 bc，那么 ac；(3)如果 ab，那么 acbc(如果 acb，那么 abc)；(4)如果 ab，cd，那么 acbd；(5)如果 ab，c0，那么 acbc；如果 ab，c 0，那么 acbc
18、；(6)如果 ab0，cd0，那么 acbd；(7)如果 ab0，那么 anb n(nN ，n1) ；(8)如果 ab0，那么 ；)1,x2进行不等式关系判断时常用到的实数的性质：若 aR，则 )R(0.|;2 a3会解一元一次不等式，一元二次不等式，简单的分式不等式、绝对值不等式简单新起点辅导中心 与你共创辉煌 8的含参数的不等式4均值定理：如果 a、bR ，那么 当且仅当 ab 时，式中等号成.2ba立其他常用的基本不等式：如果 a、bR ，那么 a2b 22ab，( ab) 20如果 a、b 同号，那么 .5合情推理之归纳推理与类比推理；演绎推理；综合法、分析法与反证法【复习要求】1运用
19、不等式的性质解决以下几类问题：(1)根据给定的条件，判断给出的不等式能否成立；(2)利用不等式的性质，实数的性质以及函数的有关性质判断实数值的大小关系；(3)利用不等式的性质等判断不等式变换中条件与结论间的充分必要关系2熟练掌握一元一次不等式，一元二次不等式、简单的分式不等式、绝对值不等式的解法并会解简单的含参数的不等式3了解合情推理和演绎推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理能较为灵活的运用综合法、分析法与反证法证明数学问题熟练运用比较法比较数与式之间的大小关系比较法：常有“作差比较法”和“作商比较法” ；综合法
20、：从已知推导致结果的思维方法；分析法：从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法；反证法：由证明 p q 转向证明 q r t，而 t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定 q 为假，进而推出 q 为真的方法，叫做反证法一般来讲，由分析法得到的证明思路往往用综合法的方式来书写【例题分析】例 1 若 abc，则一定成立的不等式是( )Aacbc Bab ac Cac bc D cba1【分析】关于选项 A当 c0 时，acbc不成立关于选项 B当 a0 时，ab ac 不成立关于选项 C因为 ab，根据不等式的性质 ac bc，正确关于选项 D当 ab0c 时， 不成立所以，选 C1例 2 a
21、，bR，下列命题中的真命题是 ( )A若 ab，则ab B若 ab，则 1C若 ab，则 a3b 3 D若 ab，则 【分析】关于选项 A当 a 1，b2 时，ab不成立关于选项 B当 a0，b0 时， 不成立关于选项 C因为 ab，根据不等式的性质 a3b 3，正确新起点辅导中心 与你共创辉煌 9关于选项 D当 b0 时， 不成立所以，选 C1a【评析】判断不等关系的正误，其一要掌握判断的依据，依据相关的理论判断，切忌仅凭感觉进行判断；其二要掌握判断的方法判断不等式的理论依据参看本节的知识要点，另外，后面专题讲到的函数的相关知识尤其是函数的单调性也是解决不等式问题的非常重要的方法判断一个不等
22、式是正确的，就应该给出一个合理的证明(或说明) ，就像例 1、例 2 对正确的选项判断那样判断一个不等式是不正确的，应举出反例例 3 解下列不等式：(1)x2x10；(2)x 23x 20；(3)2x 23x 10；(4) (5)2x 13；(6);.解：(1)方程 x2x10 的两个根是 结合函数 yx 2x1 的图象，可25,1x得不等式 x2x10 的解集为 .|(2)不等式 x23x20 等价于(x1)(x2)0，易知方程(x1)(x2)0 的两个根为 x11，x 22，结合函数 yx 23x 2 的图象，可得不等式 x23x20 的解集为xx1 或x2 (3)不等式 2x23x10
23、等价于(2x1)(x1)0，以下同(2)的解法，可得不等式的解集为 .1|(4) 等价于(x 1)( x 2)0，以下同(2)的解法，可得不等式的解集为x x1 或 x 2(5)不等式2x13 等价于32x13，所以22x4，即1x2，所以不等式2x1 3 的解集为 x1x2(6)不等式 可以整理为,0等价于 以下同(4)的解法，可得不等式的解集为,0x .20xx 1x2【评析】一元一次不等式、一元二次不等式的解法要熟练掌握其他不等式的解法适当掌握1利用不等式的性质可以解一元一次不等式2解一元二次不等式要注意函数、方程、不等式三者之间的联系，通过研究与一元二次不等式相对应的一元二次方程的根的
24、情况、进而结合相应的二次函数的图象就可以解决一元二次不等式解集的问题了所以，解一元二次不等式的步骤为：计算二次不等式相应的方程的判别式；求出相应的一元二次方程的根(或根据判别式说明无根 )；画出相应的二次函数的简图；根据简图写出二次不等式的解集3、不等式 与(xa)(xb) 0 同解；不等式 与( xa)(xb)0 同解；0新起点辅导中心 与你共创辉煌 104*、不等式f(x )c 与cf (x)c 同解；不等式f(x )c 与“f(x)c 或 f(x)c”同解在解简单的分式不等式时要注意细节，例如(5)题关于“”号的处理例 4 解下列关于 x 的不等式；(1)ax32；(2) x26ax5a
25、 20解：(1)由 ax32 得 ax1，当 a0 时，不等式解集为 ；当 a0 时，不等式解集为 ；|x当 a0 时，不等式解集为 |a(2)x26ax5a 20 等价于不等式(xa)(x5a)0，当 a0 时，不等式解集为xx0；当 a0 时，不等式解集为xax5a；当 a0 时，不等式解集为x5axa【评析】含参数的不等式的解法与不含参数的不等式的解法、步骤是完全一致的要注意的是，当进行到某一步骤具有不确定性时，需要进行分类讨论如(2)的解决过程中，当解出方程( xa)( x5a) 0 的两根为 x1a，x 25a 之后，需要画出二次函数 yx 26ax 5 a2 的草图，这时两根 a
26、与 5a 的大小不定，需要讨论，当分a0，a0，a0 三种情况之后，就可以在各自情况下确定 a 与 5a 的大小，画出二次函数 yx 26ax 5a2 的草图写出解集了例 5 已知 ab0，cd0，m 0求证： dbmc证明：方法一(作差比较) ,)()(adbcc 由已知 ba0，cd0，又 m0，所以 m(ba)( cd)0，因为 ab0，cd0，所以 ac0，bd0，所以 ，所以)(m bm,方法二因为 cd0，所以 cd0，又 ab0，所以 ab0，所以 abcd，所以 acbd0，所以 ，又因为 m0，所以1例 6 已知 abc0，abc，求证：(1)a0；(2) .2证明：(1)假设 a0，因为 abc，所以 b0，c0所以 abc0，与 abc0 矛盾(2)因为 bac，ab，所以，所以 2ac，又 a0，所以 ，所以2.2a
