四 .规范正交基 (标准正交基 )1.规范正交基的概念定义 3 设 n 维向量 是向量空间 V的一个基 ,如果 是两两正交的单位向量 ,则称是向量空间 V的一个规范正交基.是 V的一个规范正交基。显然 ,若则 例如 :由于 (i,j=1,2,3,4)所以 是 的一个规范正交基。2.向量的坐标设 是 V的一个规范正交基 ,那么 V中任何一向量 应能由 线性表示 ,表示法为为求表示法中的系数 xi,可用 与 作内积 ( i=1,2, , n ) ,称 是 在基 下的坐标 。=xiei,ei = xi3.施密特标准正交化设 是向量空间 V的一个基,令可以证明 , 是两两正交的单位向量。故 是 V 的一个规范正交基。例 2 设试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化。解 取故 即合所求 。例 3 已知 , 求非零向量 1, 2, 使 3与 1, 2正交 ,并把它们化成 R3的规范正交基。解 : 1, 2 应满足 3Tx = 0的非零解 ,即它的基础解系为令因此可用施密特标准正交化 .则 3 与 1,2 正交 ,显然 1与 2 线性无关 ,取 b1 = 1 ,再把 3单位化,得