1、对数函数（一）对数1对数的概念：一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底 的对数，Nax)1,0(axaN记作： （ 底数， 真数， 对数式）Nxaloglog说明： 注意底数的限制 ，且 ； 1； 2 xaxlog注意对数的书写格式 3两个重要对数：常用对数：以 10 为底的对数 ； 1 Nl自然对数：以无理数 为底的对数的对 2 7182.e数 Nln（二）对数的运算性质如果 ，且 ， ， ，那么：0a10M ； 1 (log)alogal ； 2 aN 3 nlal)(Rn注意：换底公式（ ，且 ； ，且 ；bcalogl010c1） 0b利用换底公式推导下面的结论（1） ；（2） bmna
2、all abalogl（二）对数函数1、对数函数的概念：函数 ，且 叫做对数0(lxya)1函数，其中 是自变量，函数的定义域是（0，+） x注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注 1意辨别。如： ， 都不是对数函数，而只能y2log5l称其为对数型函数对数函数对底数的限制： ，且 2 0(a)12、对数函数的性质：a1 00 得 ，函数 的定义域是 ；2x02lxya0x（2）由 得 ，函数 的定义域是 ；44)4(og4（3）由 9- 得-3 ，函数 的定义域是2x3x9l2xya例 2求函数 和函数 的反函数。x251xy12)0(解：（1） ；25xy115()log(
3、2)fx(-)x（2） 1-x-112()l(-)f 5()2例 4比较下列各组数中两个值的大小：（1） ， ； （2） ， ； （3） ， .2log3.l8.50.3log80.l7log.1al59a解：（1）对数函数 在 上是增函数，于是 ；2logyx(0,)2log3.42l8.5（2）对数函数 在 上是减函数，于是 ；.3 0.10.37（3）当 时，对数函数 在 上是增函数，于是1alayx(,)la，log5.9a当 时，对数函数 在 上是减函数，于是 logayx(0,)log5.1al.9a例 5比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（1） ， ； （2） ， ； 6lo
4、g7l 3log2l0.8（3） ， ， ； （4） ， ， 0.91.0.7log8567log3解：（1） ， ， ；66l77l6l1l（2） ， ， 33og22.og032l0.8(3） ， ， 0.91 1.1.og9，0.70.70.7ll8l1 .9.og.9（4） ， 333l5l6l5log36l7log3例 7求下列函数的值域：（1） ； （2） ； （3）2log()yx2l()yx（ 且 ） 47a0a1解：（1）令 ，则 ， ， ，即函数值域为 3tx2logyt0tyRR（2）令 ，则 ， ， 即函数值域为 202log3y2(,log3（3）令 ， 当 时， ，
5、 即值域为247()txx1aay，log,)a当 时， ， 即值域为 01log3ay(,log3a例 8判断函数 的奇偶性。2()(1)fxx解： 恒成立，故 的定义域为 ， 21x()fx(,)2()log(1)fxx，所以，2log221log()2log1f为奇函数。()fx例 9求函数 的单调区间。213log()yx解：令 在 上递增，在 上递减，2231()4uxx,)3(,2又 ， 或 ，30x故 在 上递增，在 上递减， 又 为减函数，2x(,)(,1)13logyu所以，函数 在 上递增，在 上递减。213log()yx(2,)(,1)例 10若函数 在区间 上是增函数，
6、 的取值范围。2la,3a解：令 ， 函数 为减函数，2()ugxa2logyu 在区间 上递减，且满足 ，(,13)0，解得 ，132()0ag232a所以， 的取值范围为 a23,【 例 1】 ()y=log(2)1l(a01)3f(x)y=flog(3x)2a 1求 函 数 的 定 义 域 求 函 数 ， 且 的 定 义 域 已 知 函 数 的 定 义 域 是 ， ， 求 函 数 的 定 义x)解 (1)由 或 log()1230321021203xxxxx12321 或 xx 所 求 定 义 域 为 |解 (2)1log a(xa)0，log a(xa)1当 a1 时，0xaa，函数的
7、定义域为(a，0)当 0a1 时，xaa，函数的定义域为(0，)解 3)f1y=flog(3x)1 的 定 义 域 为 ， ， 函 数 有 意 义 ，必 须 满 足 ， 即 ， ， 故 函 数 的 定 义 域 为 ， log(3)ll13x12y=fog(3x)211138 8【 例 2】 y=0x已 知 函 数 ， 试 求 它 的 反 函 数 ， 以 及 反 函 数 的 定 义域和值域解 y=10y=10(1y)0=1xxxx已 知 函 数 的 定 义 域 为 ， ， 由 得 ， ， 即 为 函 数 的 值 域 R由 得 ， 即 反 函 数 lgyf(x)lg1x 1反函数的定义域为(0，1
8、)，值域为 yR【例 3】 作出下列函数的图像，并指出其单调区间(1)y=lg(x) (2)y=log 2|x1| (3)=|log(x)|(4ylog(x)122 ， 解 (1)y=lg(x)的图像与 y=lgx 的图像关于 y 轴对称，如图 283 所示，单调减区间是(，0)解 (2)先作出函数 y=log2|x|的图像，再把它的图像向左平移 1 个单位就得ylog 2|x1|的图像如图 284 所示单调递减区间是(，1) 单调递增区间是(1，)解 3)=logx1y=log(x)2 12把 的 图 像 向 右 平 移 个 单 位 得 到 的图像，保留其在 x轴及 x 轴上方部分不变，把
9、x 轴下方的图像以 x 轴为对 称 轴 翻 折 到 轴 上 方 ， 就 得 到 的 图 像 如 图 y=|log()| 8512所示单调减区间是(1，2 单调增区间是2，)解 (4) 函数 y=log2(x)的图像与函数 y=log2x 的图像关于 y 轴对称，故可先作 y=log2(x)的图像，再把 ylog 2(x)的图像向右平移 1 个单位得到y=log2(1x)的图像如图 286 所示单调递减区间是(，1)【例 4】 图 287 分别是四个对数函数，y=log axy=log bxy=log cxy=log dx 的图像，那么 a、b、c、d 的大小关系是 Adcba BabcdCba
10、dc Dbcad解 选 C，根据同类函数图像的比较，任取一个 x1 的值，易得 ba1dc【例 5】 已知 loga3log b3，试确定 a 和 b 的大小关系解法一 令 y1=logax，y 2=logbx，log axlog b3，即取 x3 时，y1y 2，所以它们的图像，可能有如下三种情况：(1)当 loga3log b30 时，由图像 288，取 x=3，可得 ba1(2)当 0log a3log b3 时，由图像 289，得 0ab1(3)当 loga30log b3 时，由图像 2810，得 a1b0【 例 6】 ab1logllogalb2abb若 ， 则 、 、 、 的 大
11、 小顺序是：_解 01l0loga0loga1lbaba11logl2 abba2a a ， ， ， ， ， ， 由 得 ， 故 得 ： b【 例 8】 f(x)=l()(0a1)a已 知 函 数 ， 且 ， 判 断 其12x奇偶性解法一 已知函数的定义域为 R，则xRf(x)=log(1+x)a2a 2log=logaa122xfx()(f(x)是奇函数解法二 已知函数的定义域为 R由 f(x)=log(1+x)log(1+x)=log1+a22a2 x=loga1=0f(x)=f(x)，即 f(x)为奇函数单元测试一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）.1对数式 中，实数a的取值范围是
12、 （ ba)(log2）A B(2,5) C D )5,(),2()5,3(,22如果lgx=lga+3lgb5lgc，那么 （ ）Ax=a+3bc B C Dx=a+b 3c 3cabx5353cabx3设函数y=lg(x 25x)的定义域为M，函数y=lg(x5)+lgx的定义域为N，则 （ ）AMN=R BM=N CM N DM N4若a0，b0，ab1， =ln2，则log ab与 的关系是 （ a21log21log）Alog ab Blog ab=21l 21lC log ab Dlog abogog5若函数log 2(kx2+4kx+3)的定义域为R，则k的取值范围是 （ ）A
13、B C D43,043,043,0,430,(6下列函数图象正确的是 （ ）A B C D7已知函数 ，其中log 2f(x)=2x，x R，则g(x) （ )(1)(xfxg）A是奇函数又是减函数 B是偶函数又是增函数C是奇函数又是增函数 D是偶函数又是减函数9如果y=log 2a1 x在(0，+)内是减函数，则a的取值范围是 （ ）Aa1 Ba2 Ca D221a10下列关系式中，成立的是 （ ）A B 10log54log303 4log510log303C D313ll 03311ll二、填空题：（每小题 6 分，共 24 分）.11函数 的定义域是 ，值域是 .)2(log1xy12
14、方程 log2(2x+1)log2(2x+1+2)=2 的解为 .13将函数 的图象向左平移一个单位，得到图象 C1，再将 C1向上平移一个单位得到图象 C2，作出 C2关于直线 y=x 对称的图象 C3，则 C3的解析式为 .14函数y= 的单调递增区间是 .)14(log1三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分).15 （12分）已知函数 .)(log)1(llog)( 222 xpxxf (1)求函数f (x)的定义域；(2)求函数f (x)的值域.16 （12分）设x，y，zR +，且3 x=4y=6z.(1)求证： ; (2)比较3x，4y，6z的大小.z2117 （12分）设函数 .)1lg()2xxf(1)确定函数f (x)的定义域；(2)判断函数f (x)的奇偶性；(3)证明函数 f (x)在其定义域上是单调增函数；(4)求函数 f(x)的反函数.18现有某种细胞100个，其中有占总数 的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过 个？（参考数10
