1、第二章 解析函数1-6 题中：（1）只要不满足 C-R 条件，肯定不可导、不可微、不解析（2）可导、可微的证明：求出一阶偏导 ，只要一阶偏导yxvu,存在且连续，同时满足 C-R 条件。（3）解析两种情况：第一种函数在区域内解析，只要在区域内处处可导，就处处解析；第二种情况函数在某一点解析，只要函数在该点及其邻域内处处可导则在该点解析，如果只在该点可导，而在其邻域不可导则在该点不解析。（4）解析函数的虚部和实部是调和函数，而且实部和虚部守 C-R 条件的制约，证明函数区域内解析的另一个方法为：其实部和虚部满足调和函数和 C-R 条件，反过来，如果函数实部或者虚部不满足调和函数或者 C-R 条件
2、则肯定不是解析函数。解析函数求导： xivuzf)(4、若函数 在区域 D 上解析，并满足下列的条件，证明 必为)(zf常数。（1） 0fz证明：因为 在区域上解析，所以。)(zf令 ，即 。),(),()yxivufxvyux, 0yviuzf)(由复数相等的定义得： 。00xvyuvx,所以， (常数)， (常数)，即1Cyxu,( 2C,(为常数。21iCzf)(5、证明函数在 z平面上解析，并求出其导数。（1） (cosin)(cosin).x xeyeyy证明：设 ,fzuxyiv= (cosin)(cosin).x xeyeyy则 ,(cosn)e， ,xv(cosin)x xue
3、yy； cosincosxxxeyeyscs)x； (in)xv满足 。xvyu,即函数在 z平面上 可微且满足 C-R 条件，故函数在 z平面上),(解析。 ()(cosincos)(cosins)x xuvfzieyyieyy8、 （1）由已知条件求解析函数 ， ，vuzf( x2。iif)(解： 2,xyux由于函数解析，根据 C-R 条件得 yxvuyx2于是 )(xxyv2其中 是 x 的待定函数，再由 CR 条件的另一个方程得)(，xyuxyvx )(所以 ，即 。)( c2)(于是 cxyv2又因为 ，所以当 ，时 ， 得iif1)( 10x,u12cv2所以。)()( 2122
4、2 xyixyzf9、提示：解析函数的实部和虚部为调和函数，只要该函数不是调和函数则它就不能做为解析函数的实部或虚部。10、提示：求出实部和虚部对 x，y 的一阶偏导，若不满足 C-R 条件则肯定不是解析函数，若满足 C-R 条件，同时满足一阶偏导存在且连续则为解析函数。14.若 ，试证：（1） 。iyxz xshyiczosin证： sin()sincoxiyxy=()i22iyiiieex=()sincosyiyixixhi18、解方程（1） 3iez解： 其中)(kize2,.210k则 )(ln)( kieLnzki 323（2） 。2izln解： lnarg02iziz即 1,arg
5、2z设zxiy21x， arg2得 0,1xy，即 zi。20、（2） 试求 及 。)sin(l)co(lln333eiiLi iiie231,)( )(iLn1解：（1） )(iLiLi e11因为 )(ln)()( kieniki 24214所以 )(ln)(ln)()( kkiiLni ee242421 ,.0k（3） iLnie )()( kiLneiki 22)(kini2,.10k（4） )si(co122eeii （5） )(ln)()( kiLniki 241422，求证 10zsilm证: zxiy(x,y,均为实数)，所以 ,sinsi()lmlzxy当 0x则极限趋近于 z 轴，有sinlm1iyiyez当 y时，则极限趋于 z 轴，有 ，0xil故 。10zsinlm
