1、1排列与组合习题16 个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐 4 人，则不同的乘车方法数为( )A40 B50 C60 D70解析 先分组再排列，一组 2 人一组 4 人有 C 15 种不同的分法；两组各 3 人共有 10 种不同的分法，所以乘26C36A2车方法数为 25250，故选 B.2有 6 个座位连成一排，现有 3 人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )A36 种 B48 种 C72 种 D96 种解析 恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共 A A 72 种3 24排法，故选 C.3只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数，规定这三
2、个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )A6 个 B9 个 C18 个 D36 个解析 注意题中条件的要求，一是三个数字必 须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有 C 3(种 )13选法，即 1231,1232,1233，而每种选择有 A C 6( 种)排法，所以共有 3618(种)情况，即这样的四位数有 18 个2 234男女学生共有 8 人，从男生中选取 2 人，从女生中选取 1 人，共有 30 种不同的选法，其中女生有( )A2 人或 3 人 B3 人或 4 人 C3 人 D4 人解析 设男生有 n 人，则女生有 (8n)人，由 题意可得 C C 30，
3、解得 n5 或 n6，代入验证，可知女生 为 22n 18 n人或 3 人5某幢楼从二楼到三楼的楼梯共 10 级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用 8 步走完，则方法有( )A45 种 B36 种 C28 种 D25 种解析 因为 108 的余数为 2，故可以肯定一步一个台 阶 的有 6 步，一步两个台阶的有 2 步，那么共有 C 28 种走28法6某公司招聘来 8 名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有( )A24 种 B36 种 C38 种 D108 种解析
4、本题考查排列组合的综合应用，据 题意可先将两名翻 译人员分到两个部门，共有 2 种方法，第二步将 3 名 电脑编程人员分成两组，一组 1 人另一组 2 人，共有 C 种分法，然后再分到两部门去共有 C A 种方法，第三步只需将13 13 2其他 3 人分成两组，一组 1 人另一 组 2 人即可，由于是每个部门各 4 人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有 C 种方法，由分步乘法计数原理共有 2C A C 36(种) 13 13 2 137已知集合 A5，B 1,2 ，C 1,3,4，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )A33 B34 C
5、35 D36解析 所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含 1 的有 C A 12 个；12 3所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有 1 个 1 的有 C A A 18 个；12 3 3所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有 2 个 1 的有 C 3 个13故共有符合条件的点的个数为 1218333 个，故 选 A.8由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是( )A72 B96 C108 D144解析 分两类：若 1 与 3 相邻，有 A C A A 72(个)，若 1 与 3 不相邻有 A A 36(个)2 13 2 23 3 3故共有 72361
6、08 个9如果在一周内(周一至周日 )安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有( )A50 种 B60 种 C120 种 D210 种解析 先安排甲学校的参观时间，一周内两天 连排的方法一共有 6 种：(1,2) 、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为 C ，然后在剩下的 5 天中任选 2 天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有 A 种，按照分步乘法计数原理16 25可知共有不同的安排方法 C A 120 种，故选 C.16 2510安排 7 位工作人员在 5 月 1 日到
7、5 月 7 日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在 5 月 1 日和 2 日，不同的安排方法共有_种(用数字作答)解析 先安排甲、乙两人在后 5 天值班，有 A 20( 种)排法，其余 5 人再进行排列，有 A 120(种)排法，所以共25 5有 201202400(种)安排方法11今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球，同色球不加以区分，将这 9 个球排成一列有_种不同的排法(用数字作答)解析 由题意可知，因同色球不加以区分， 实际上是一个组合问题，共有 C C C 1260( 种)排法49 25 312将 6 位志愿者分成 4 组，其中两个组各 2 人，另两个组各 1 人，分赴
8、世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_种(用数字作答 )解析 先将 6 名志愿者分为 4 组，共有 种分法，再将 4 组人员分到 4 个不C26C24A2 同场馆去，共有 A 种分法，故所有分配方案有： A 1 080 种4C26C24A2 413要在如图所示的花圃中的 5 个区域中种入 4 种颜色不同的花，要求相邻区域 不同色，有_种不同的种法(用数字作答 )解析 5 有 4 种种法，1 有 3 种种法，4 有 2 种种法若 1、3 同色， 2 有 2 种种法，若 1、3 不同色， 2 有 1 种种法， 有 432(1211)72 种14. 将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张
9、卡片放入 3 个不同的信封中若每个信封放 2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （A）12 种 （B）18 种 （C）36 种 （D）54 种2【解析】标号 1,2 的卡片放入同一封信有 种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有 种方法，共有 种，故选 B.15. 某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天 1 人，每人值班 1 天，若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在 10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 日，则不同的安排方案共有A. 504 种 B. 960 种 C. 1008 种 D. 1108 种 解析：分两类：甲乙排
10、 1、2 号或 6、7 号 共有 种方法412A甲乙排中间,丙排 7 号或不排 7 号，共有 种方法)(3142故共有 1008 种不同的排法16. 由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是（A）72 （B）96 （C ） 108 （D）144 w_w_w.k*s 5*u.c o*m解析：先选一个偶数字排个位，有 3 种选法 w_w_w.k*s 5*u.c o*m若 5 在十位或十万位，则 1、3 有三个位置可排，3 24 个23A若 5 排在百位、千位或万位，则 1、3 只有两个位置可排，共 3 12 个2算上个位偶数字的排法，共计 3(24
11、12)108 个答案：C17. 在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有 0 和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为A.10 B.11 C.12 D.1518. 现安排甲、乙、丙、丁、戌 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是A152 B.126 C.90 D.54【解析】分类讨论：若有 2 人从事司机工作，则方案有 ；若有 1 人从事司机工
12、作，则方案有238CA种，所以共有 18+108=126 种，故 B 正确1233408CA19. 甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有( D )（A）150 种 （B）180 种 （C）300 种 (D)345 种 解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有 125365种选法; (2) 乙组中选出一名女生有 120种选法.故共有 345 种选法.选 D20. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种
13、数为 .18A.24B .30C .36D【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是 24C，顺序有 3A种，而甲乙被分在同一个班的有 3种，所以种数是 234A21. 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A. 60 B. 48 C. 42 D. 36【解析】解法一、从 3 名女生中任取 2 人“捆”在一起记作 A， （A 共有 623C种不同排法） ，剩下一名女生记作 B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在 A、B 之间（若甲在 A、B 两端。则为使 A、B 不相邻，只有把男生乙排在 A、
14、B 之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有 6212 种排法（A 左 B 右和 A 右 B左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有 12448 种不同排法。解法二；同解法一，从 3 名女生中任取 2 人“捆”在一起记作 A， （A 共有 23种不同排法） ，剩下一名女生记作 B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：第一类：女生 A、B 在两端，男生甲、乙在中间，共有 26=24 种排法；第二类：“捆绑”A 和男生乙在两端，则中间女生 B 和男生甲只有一种排法，此时共有 26A12 种排法第三类：女生 B 和男生乙在两端，同样中间 “捆绑”A 和
15、男生甲也只有一种排法。此时共有 2612 种排法三类之和为 24121248 种。 22. 从 10 名大学生毕业生中选 3 个人担任村长助理，则甲、乙至少有 1 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位 C A 85 B 56 C 49 D 28 【解析】解析由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个的选法有： 127C4，另一类是甲乙都去的选法有217C=7，所以共有 42+7=49，即选 C 项。323. 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 解析：6 位同学
16、站成一排，3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有 32243AC种，其中男生甲站两端的有 14221AC，符合条件的排法故共有 188解析 2：由题意有 212232334()()18CA,选 B。24. 12 个篮球队中有 3 个强队，将这 12 个队任意分成 3 个组（每组 4 个队） ，则 3 个强队恰好被分在同一组的概率为（ ）A 15B 5C 4D 解析因为将 12 个组分成 4 个组的分法有41283A种，而 3 个强队恰好被分在同一组分法有314982CA，故个强队恰好被分在同一组的概率为 3142498183=5。25. 甲、乙、丙 人站到共有 7级的台阶上，若每级台阶最多站
17、 2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答） 【解析】对于 7 个台阶上每一个只站一人，则有 37A种；若有一个台阶有 2 人，另一个是 1 人，则共有 1237CA种，因此共有不同的站法种数是 336 种 26. 锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个，花生馅汤圆 5 个，豆沙馅汤圆 4 个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取 4 个汤圆，则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为（ ）A 891 B 25 C 489 D 601 【解析】因为总的滔法 415,而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆。豆沙馅汤圆取得个数分别按1.1.2；1，2，1；2，1，1
18、三类，故所求概率为21212165465465489CC27. 将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）【解析】分两步完成：第一步将 4 名大学生按，2，1，1 分成三组，其分法有214CA;第二步将分好的三组分配到 3 个乡镇，其分法有 3A所以满足条件得分配的方案有21346CA28. 将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）A10 种 B20 种 C36 种 D52 种解析：将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两
19、个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分情况讨论：1 号盒子中放 1 个球，其余 3 个放入 2 号盒子，有 14C种方法；1 号盒子中放 2 个球，其余 2 个放入 2 号盒子，有 246种方法；则不同的放球方法有 10 种，选 A 29. 将 5 名实习教师分配到高一年级的个班实习，每班至少名，最多名，则不同的分配方案有（A）种 （B）种 （C）种 （D）种解析：将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习，每班至少 1 名，最多 2 名，则将 5 名教师分成三组，一组 1人，另两组都是 2 人，有1254A种方法，再将 3 组分到 3 个班，共有 390A种不同的
20、分配方案，选 B.30. 某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种解析：某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，可以分情况讨论， 甲、丙同去，则乙不去，有 245CA=240 种选法；甲、丙同不去，乙去，有345A=240 种选法； 甲、乙、丙都不去，有 45120A种选法，共有 600 种不同的选派方案31. 用数字 0，1，2，3，4 组成没有重复数字的五位数，则其中数字 1，2 相邻的偶数有 个（用数字
21、作答） 解析：可以分情况讨论： 若末位数字为 0，则 1，2，为一组，且可以交换位置，3，4，各为 1 个数字，共可以组成 3个五位数； 若末位数字为 2，则 1 与它相邻，其余 3 个数字排列，且 0 不是首位数字，则有2A个五位数； 若末位数字为 4，则 1，2，为一组，且可以交换位置，3，0，各为 1 个数字，且 0 不是首位数字，则有 2()A=8 个五位数，所以全部合理的五位数共有 24 个。32有一排 8 个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有 3 个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二
22、极管能表示的信息种数共有多少种？解析 因为相邻的两个二极管不能同时点亮，所以需要把 3 个点亮的二极管插放在未点亮的 5 个二极管之间及两端的 6 个空上，共有 C 种亮灯办法然后分步确定每个二极管发光颜色有 2228(种) 方法，所以这排二极管能36表示的信息种数共有 C 222160(种)3633按下列要求把 12 个人分成 3 个小组，各有多少种不同的分法？(1)各组人数分别为 2,4,6 个；(2)平均分成 3 个小组；(3) 平均分成 3 个小组，进入 3 个不同车间解析 (1)C C C 13 860(种)；(2) 5 775(种)；21 410 6C412C48C4A3(3)分两
23、步：第一步平均分三组；第二步让三个小组分别进入三个不同 车间，故有 A C C C 34 650(种)不C412C48C4A3 3 412 48 4同的分法346 男 4 女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？4(1)任何 2 名女生都不相邻有多少种排法？(2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？(3)男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？解析 (1)任何 2 名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有 A A 种不同排6 47法(2)方法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位， 则有 A 种排
24、法，若甲不在末位，则甲有 A 种排法，乙9 18有 A 种排法，其余有 A 种排法，18 8综上共有(A A A A )种排法9 18 18 8方法二：无条件排列总数A Error!10甲不在首乙不在末，共有(A 2A A )种排法10 9 8(3)10 人的所有排列方法有 A 种，其中甲、乙、丙的排序有 A 种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、乙、10 3丙排序一定的排法有 种A10A3(4)男甲在男乙的左边的 10 人排列与男甲在男乙的右边的 10 人排列数相等，而 10 人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有 A 种排法12 1035. 已知 是正整数， 的展开式中 的系数为 7，nm, nmxxf)1()(x（1） 试求 中的 的系数的最小值)(xf2（2） 对于使 的 的系数为最小的 ，求出此时 的系数n,3x（3） 利用上述结果，求 的近似值（精确到 0.01）)03.(f解：根据题意得： ，即 （1）71nmC7的系数为2x 22)()(2 nmn 将(1)变形为 代入上式得： 的系数为7x 435)27(17故当 的系数的最小值为 9时 ，或 43m2x（1） 当 的系数为为时 ，或 3,4,nmnx534C（2） 02.).(f
