空间中的垂直问题练习题答案.doc

1、1空间线线、线面、面面垂直关系练习题 一、填空题1给出下列三个命题：“直线 、 为异面直线”的充分非必要条件是“直线 、 不相交” ；ab ab“直线 垂直于直线 ”的充分非必要条件是“直线 垂直直线 在平面 内的射影” ；“直线 垂直平面 ” 的必要非充分条件是“直线 垂直于平面 内的无数条直线”其中所有真命题的序号是 2如图，正方形 ABCD，P 是正方形平面外的一点，且 PA平面 ABCD则在PAB 、PBC、PCD 、PAD 、PAC 及PBD 中，为直角三角形有_5_个3在四棱锥 P-ABCD 中，PA底面 ABCD，底面各边都相等， M 是 PC上的一动点，当点 M 满足 时，平面

2、 MBDBC平面 PCD 4已知三棱锥 的底面是正三角形，点 在侧面 上的射影ASASBC是 的垂心，且 的长为定值，则下列关于此三棱锥的命题：点 在侧面 上的射影是HBC SAC的垂心；三棱锥 是一个正三棱锥；三棱锥 的体积有最大值；三棱锥A的体积有最小值.其中正确命题的序号为 .S5如果 a,b 是异面直线，P 是不在 a,b 上的任意一点，下列四个结论：（1）过 P 一定可作直线 L 与 a , b 都相交；（2）过 P 一定可作直线 L 与 a , b 都垂直；（ 3）过 P 一定可作平面 与 a , b 都平行；（4）过 P 一定可作直线 L 与 a , b 都平行，其中正确的结论有

3、_（2）_6给出下列命题：分别和两条异面直线 ABCD 同时相交的两条直线 ACBD 一定是异面直线同时与两条异面直线垂直的两直线不一定平行斜线 b 在面 内的射影为 c，直线 ac，则 ab有三个角为直角的四边形是矩形，其中真命题是 7点 P 在直径为 2 的球面上，过 P 作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的 2 倍，则这三条弦长之和为最大值是 57028正四面体 ABCD 的棱长为 1，棱 AB/平面 ，则正四面体上的所有点在平面 内的射影构成图形面积的取值范围是 21,49直二面角 的棱 上有一点 A，在平面 、 内各有一条射线 AB，AC 与 成 450，ABll l，则

4、BAC= （ 或 ，两种情形）AC, 601210.四棱锥 的底面是矩形， 面 ， 为 的中点，DBEDEBC3,1,2.ECBGDA为 上一点，且 面 ，则 .QQGQ11已知边长为 的正 ，点 分别在边 上，且 ，23AC,A/D以 为折痕，把 折起至 ，使点 在平面 上的射影始终落在 边上，记 ，则 的取值范围为 HB2DESH的 面 积 S 【答案】 【解析】设 到 的距离为 ，则 与 间距离为3(,)AxDEBC， 的面积为 的取值范3xADE23x22369AHxx233xSS围为 (,)12三棱锥 中， ，点 在 内，且BCP0CPBPMABCPA，则 的度数是_ _60M451

5、3.如图， 与 是四面体 中互相垂直的棱， ，若 ，且AAD2BcD，其中 、 为常数，则四面体 的体积的最aD2c大值是 。 【答案】 132c14如图，已知平面 平面 ， 、 是平面 与平面 的交线上的两个定点， ，且 ， ， ，,CBC4A， ，在平面 上有一个动点 ，使得 ，8BC6APDBPC则 的面积的最大值是 12 .P二、解答题15 如图，正方形 所在的平面与三角形 所在的平面交于 ， 平面 ，且 ADEDAEC2E（1）求证： 平面 ；/CE（2）求证：平面 平面 ；B证明：（1）正方形 ABCD 中， /B，又 A平面 CDE，平面 CDE， 所以 /平面 CDE （2）因

6、为 AD平 面 ，且 CDE平 面 ，所以 E， 又 正 方 形 中 ， ，且 、 平 面 ， 所以 CADE平 面 ， 又 CB平 面 ， 所以 AB平 面 平 面 16.如图所示， ABC 为正三角形， EC平面ABC， BD CE， EC CA2 BD， M 是 EA 的中点求证：（1）平面 BDM平面 ECA（2）平面 DEA平面 ECA17.如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，PADPC， 是等边三角形，已知 ，ABD 28BAD245C(1)设 是 上的一点，证明：平面 平面 ；(2)求四棱锥 的体积B(1) 证明：在 中，由于 ， ， 4，所以 故 AB22ADAB又平面 平面 ，

7、平面 平面 ，PPCD平面 ，所以 平面 ，DC又 平面 ，故平面 平面 M(2) 解：过 作 交 于 ，由于平面 平面O，所以 平面 因此 为四棱锥 的BOP高，又 是边长为 4 的等边三角形因A此 在底面四边形 中， ， ，所以四边形 是梯32PACDB 2ADCABCDPA BD C ABDEA BCMPD2ABC C1B1A1FDEMABC C1B1A1FDEO M形，在 中，斜边 边上的高为 ，RtADB 485此即为梯形 的高，所以四边形 的面积为 CABCD245824S18.如图，等腰梯形 ABCD 中，ADBC，AB=AD，ABC=60 0，E 是 BC 的中点如图 2，将A

8、BE沿 AE 折起，使二面角 BAEC 成直二面角，连结 BC， BD，F 是 CD 的中点，P 是棱 BC 的中点(1)求证：AEBD； (2)求证：平面 PEF平面 AECD；(3)判断 DE 能否垂直于平面 ABC?并说明理由证明：(1)连接 ，取 中点 ，连接 BDAEM,BD在等腰梯形 中， ，AB =AD， ，E 是 BC 的中点，CC60AC与 都是等边三角形 ABE ,平面 ， 平面 ,MEM平面 ， D(2)连接 交 于点 ，连接FNP ，且 ，四边形 是平行四边形。N 是线段 的中点。FCP 是线段 的中点， 平面 平面 BCBMACDPNAED(3) 与平面 不垂直EA假

9、设 平面 ，则 平面 DEEB， 平面 ， 平面 AM,A，这与 矛盾 与平面 不垂直D6019.如图，三棱柱 中，D、E 分别是棱 BC、AB 的中点，点 F 在棱 上，已知1 1.1,3,2BCBF(1)求证: 平面 ADF;E(2)若点 M 在棱 上，当 为何值时，平面 平面 ADF?CAM分析：（1）要证明 ,可通过线线平行和面面平行A平 面/1两条路来证明线面平行.要在平面 中找到与 平行的直线，可反用线面平行的ADFEC1性质，利用过 的平面与平面 的交线 ,这里注意 为1F的重心， （ ）,再利用比例关系证明BC2O从而证明结论.E/1.取 中点 ,可通过证明面 ,证明ME平 面

10、/1 DFE平 面/解：（1）连接 E交 AD于 ，连接 OF因为 CE， AD 为 ABC 中线，所以 O 为 ABC 的重心， 123CFOE从而 OF/C1E OF面 ADF， 平面 AD，所以 1/C平面 （2）当 BM=1 时，平面 M平面 F在直三棱柱 1BC中，由于 1平面 ABC， BB1平面 B1BCC1，所以平面 B1BCC1平面 ABC由于 AB=AC， 是 中点，所以 AC又平面 B1BCC1平面 ABC=BC，所以 AD 平面 B1BCC1而 CM平面 B1BCC1，于是 ADCM因为 BM =CD=1， BC= CF=2，所以 Rt tFD，所以 CM DF DF

11、与 AD 相交，所以 CM 平面 DFCM 平面 CAM，所以平面 AM平面 当 BM=1 时，平面 C平面20已知正三角形 所在的平面与直角梯形 垂直， ，PADBCA，且 /ABC2,4（1）求证： ；（2）求点 到平面 的距离；B（3）在线段 上是否存在一点 ，使得 平面 /P20 【解析】 （1）PADCABADBB平（2）由 即CPABCV13PABABChSES（或过 作 的垂线，求垂线段的长）3hD（3）假设 上存在点 ，使得 平面 .M/在平面 内过点 作 交 于 ,连接 ,NN则 又 ， 所以平面 是平行四/ /NAPBCAB平 /MDABCAMNB边形 ，所以 ，这与 矛盾

12、，所以假设不成立，D即在线段 上不存在一点 ，使得 平面 .D/P21.如图 1，在正方体 中， 为 的中点，AC 交 BD 于点 O，求证： 平面11 1MBD证明：连结 MO， ，DB ，DBAC ，AM1A， 1ACDB平面 ，而 平面 1O1CDB OAB CDE图 1ABCDEFP图 2NPCBADHM3设正方体棱长为 ，则 ， a213AOa234Ma在 Rt 中， ，1CM94211OA OM DB=O ， 平面 MBD1AO1评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明22.如图 2， 是ABC 所在平面外的一点，且 PA平面 ABC，平面 PAC平

13、P面 PBC求证：BC平面 PAC 证明：在平面 PAC 内作 ADPC 交 PC 于 D因为平面 PAC平面 PBC，且两平面交于 PC，平面 PAC，且 ADPC， 由面面垂直的性质，得 AD平面 PBC 又 平面AD BCPBC， AD BCPA平面 ABC， 平面 ABC，PABC BCADPA =A，BC平面 PAC评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直 线面垂直 线线垂直一般来说，线线垂直或面面垂直

14、都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直 线 判 定性 质面垂直 面面垂直这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理， 判 定性 质而从后面推出前面是性质定理同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题下面举例说明23.如图所示， ABCD 为正方形， 平面 ABCD，过 且垂直于 的平面分别交 于SAASCSBCD平求证： ， EFG平EBGD证明： 平面 ABCD，SA ， 平面 SAB又 平面CCESAB， 平面 AEFG， 平面BSBC 同理可证 S评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线

15、和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化24.如图，在三棱锥 BCD 中， BC AC， AD BD，作 BE CD， 为垂足，作 AH BE 于 求证： AH平面 BCD证明：取 AB 的中点 ，连结 CF， DF ， ACBFAB ， D又 ， 平面 CDF 平面 CDF， 又 ， ， E 平面 ABE， H ， ， ，AHCBCDE 平面 BCD评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直如此反复，直到证得结论25 如图， 是圆 的直径， 是圆周上一点， 平面 ABC若 AE PC ， 为垂足， 是 PB 上ABPA任意

16、一点，求证：平面 AEF平面 PBC证明： AB 是圆 的直径， ACB 平面 ABC， 平面 ABC，P 平面 APCC 平面 PBC， 平面 APC平面 PBC AE PC，平面 APC平面 PBC PC， AE平面 PBC 平面 AEF，平面 AEF平面 PBCAE评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线,即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系26.如图, 在空间四边形 SABC 中, SA平面 ABC, ABC = 90, ANSB 于 N, AMSC 于 M。求证: ANBC; SC平面 ANM分析:要证 ANBC, 转证, BC 平面

17、SAB。要证 SC平面 ANM, 转证, SC 垂直于平面 ANM 内的两条相交直线, 即证 SCAM, SCAN。要证 SCAN, 转证 AN平面 SBC, 就可以了。证明:SA平面 ABCSABC 又BCAB, 且 AB SA = ABC平面SABAN 平面 SABANBC ANBC, ANSB, 且 SB BC = BAN平面 SBCSCC 平面SBCANSC又AM SC, 且 AM AN = ASC平面 ANM27.在三棱锥 SABC 中，SA平面 ABC，平面 SAB平面 SBC（1）求证：ABBC；（1） 【证明】作 AHSB 于 H，平面 SAB平面 SBC平面 SAB平面SBC

18、=SB，AH平面 SBC，又 SA平面 ABC，SABC，而 SA 在平面 SBC 上的射影为 SB，BCSB ，又 SASB=S，BC平面 SABBCAB28.如图 941，PA平面 ABCD，四边形 ABCD 是矩形，PA=AD=a，M、N 分别是 AB、PC 的中点（1）求平面 PCD 与平面 ABCD 所成的二面角的大小；（ 2）求证：平面 MND平面 PCD（1） 【解】PA平面 ABCD，CDAD，PDCD ，故 PDA 为平面 ABCD 与平面 PCD 所成二面角的平面角，在 Rt PAD 中， PA=AD，PDA=45（2） 【证明】取 PD 中点 E，连结 EN，EA ，则

19、EN 21CD AM，四边形 ENMA 是平行四边形，EAMNAEPD ，AECD，AE平面 PCD，从而 MN平面 PCD，MN 平面 MND，平面MND 平面 PCD【注】 证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证 MN平面 PCD 较困难，转化为证明4AE平面 PCD 就较简单了另外，在本题中，当 AB 的长度变化时，可求异面直线 PC 与 AD 所成角的范围29.正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 、M、N 分别是 A1B1、BC、C 1D1、B 1C1 的中点（1）求证：平面 MNF平面 ENF （2）求二面角 MEFN 的平面角的正切值（1） 【证明】M、N、E 是中

20、点， 1 45MNE1 90即 MNEN，又 NF平面A1C1， 1平MNNF，从而 MN平面 ENFMN 平面MNF，平面 MNF平面 ENF（2） 【解】过 N 作 NHEF 于 H，连结 MHMN平面 ENF，NH 为 MH 在平面 ENF 内的射影，由三垂线定理得 MHEF，MHN 是二面角 MEFN 的平面角在 RtMNH 中，求得MN= a，NH= 3a，tanMHN= 26NHM，即二面角 MEFN 的平面角的正切值为 2630.，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 a 的正方形，PA底面 ABCD，E 为AB 的中点，且 PA=AB（1）求证：平面 PCE平面 PCD；（2）求

21、点 A 到平面 PCE 的距离（1） 【证明】PA平面 ABCD，AD 是 PD 在底面上的射影，又四边形 ABCD 为矩形，CD AD，CDPD ， ADPD=DCD面 PAD，PDA 为二面角PCDB 的平面角，PA=PB=AD，PAADPDA=45，取 RtPAD 斜边 PD 的中点F，则 AFPD ，AF 面 PAD CDAF，又 PDCD=DAF平面 PCD，取 PC 的中点 G，连 GF、AG、EG，则GF 21CD 又 AE 21CD，GF AE四边形 AGEF 为平行四边形AF EG，EG平面 PDC 又 EG 平面 PEC，平面 PEC平面 PCD（2） 【解】由（1）知 A

22、F平面 PEC，平面 PCD平面 PEC，过 F 作 FHPC 于 H，则 FH平面PECFH 为 F 到平面 PEC 的距离，即为 A 到平面 PEC 的距离在PFH 与 PCD 中，P 为公共角，而FHP=CDP=90，PFHPCD PCDFH，设 AD=2，PF= 2，PC=32482CDP，FH= 362A 到平面 PEC 的距离为 3631如图，AB 是圆 O 的直径，C 是圆周上一点，PA平面 ABC（1）求证：平面 PAC平面 PBC；（2）若 D 也是圆周上一点，且与 C 分居直径 AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面（1） 【证明】C 是 AB 为直径的圆 O 的圆

23、周上一点，AB 是圆 O 的直径BCAC ；又 PA平面 ABC，BC 平面 ABC，BCPA，从而 BC平面 PACBC 平面 PBC，平面 PAC 平面 PBC（2） 【解】平面 PAC平面 ABCD；平面 PAC平面 PBC；平面 PAD平面 PBD；平面 PAB平面 ABCD；平面 PAD平面 ABCD32ABCA BC是正三棱柱，底面边长为 a，D，E 分别是 BB，CC 上的一点，BD1a，EC a（1）求证：平面 ADE平面 ACCA ；（2）求截面ADE 的面积（1） 【证明】分别取 AC、AC 的中点 M、N，连结 MN，则 MNAABB ，B、M 、N、B 共面，M 为 AC中点，BC =B A ，B MA C ，又BMAA且 AAAC =ABM平面 AACC 设 MN 交 AE 于 P，CEAC，PN NA 2a又 DB 21a，PNBDPNBD ， PNBD 是矩形，于是 PDBN，BNBM，PDBMBM平面 ACCA，PD平面 ACCA，而 PD平面 ADE，平面 ADE 平面 ACCA（2） 【解】PD平面 ACCA，PDAE，而 PDBM 23a，AE a5S ADE 21AEPD 2463aa