1、1二次函数综合性培优训练题及答案1、如图 1，已知二次函数图象的顶点坐标为 C(1,0)，直线 与该二次函数的图象交于 A、B 两点，其mxy中 A点的坐标为(3,4)，B 点在轴 上.y（1）求 的值及这个二次函数的关系式；m（2）P 为线段 AB上的一个动点（点 P与 A、B 不重合） ，过 P作 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点 E点，设线段 PE的长为 ，点 P的横坐标为 ，求 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；hxhx（3）D 为直线 AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段 AB上是否存在一点 P，使得四边形 DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时 P点的坐标；
2、若不存在，请说明理由.2、如图 2，已知二次函数 的图像经过点 A 和 点 B24yaxc（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点 P（ m， m） 与 点 Q 均 在 该 函 数 图 像 上 （ 其 中 m 0） ， 且 这 两 点 关 于 抛 物 线 的 对 称 轴 对 称 ， 求 m 的 值 及 点 Q 到 x 轴的距离EBACP图 1O xyDxyO 3911AB图 22PBACO xyQ 图 33、如图 3，已知抛物线 经过 O(0,0)，A(4,0),B(3, )三点，连结 AB，过点 B作 BC 轴交该抛cxbay2 3x物线于点 C. （1）
3、求这条抛物线的函数关系式.（2） 两个动点 P、Q 分别从 O、A 两点同时出发,以每秒 1个单位长度的速度运动. 其中，点 P沿着线段 0A向 A点运动，点 Q沿着折线 ABC 的路线向 C点运动. 设这两个动点运动的时间为 （秒) (0 4)，PQAtt的面积记为 S. 求 S与 的函数关系式；t 当 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时 PQA 的形状； 是否存在这样的 值，使得PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时 P、Q 两点的坐标；若不存在，t请说明理由.4、某公司推出了一种高效环保型除草剂，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程. 图 4的二次函数图象（部分）
4、刻车了该公司年初以来累积利润 S（万元）与时间 （月）之间的关系（即前 个月的利润总和 S与 之t tt间的关系）.根据图象提供信息，解答下列问题：（1）公司从第几个月末开始扭亏为盈；（2）累积利润 S与时间 之间的函数关系式；t（3）求截止到几月末公司累积利润可达 30万元；（4）求第 8个月公司所获利是多少元？-30-1-21234S(万元)图 41 2 3 4 5 6 t(月)35、如图 5，已知抛物线 的顶点坐标为 E（1,0） ，与 轴的交点坐标为（0,1）.cxbay2 y（1）求该抛物线的函数关系式.（2）A、B 是 轴上两个动点，且 A、B 间的距离为 AB=4，A 在 B的左
5、边，过 A作 AD 轴交抛物线于 D，过 B作x xBC 轴交抛物线于 C. 设 A点的坐标为（ ,0） ，四边形 ABCD的面积为 S.t 求 S与 之间的函数关系式 .t 求四边形 ABCD的最小面积，此时四边形 ABCD是什么四边形？ 当四边形 ABCD面积最小时，在对角线 BD上是否存在这样的点 P，使得PAE 的周长最小，若存在，请求出点 P的坐标及这时PAE 的周长；若不存在，说明理由.6)如图 6，抛物线 与 x 轴交 A、B 两点（A 点在 B 点左侧） ，直线 与抛物线交于 A、C 两点，其中23yx lC 点的横坐标为 2。（1）求 A、B 两点的坐标及直线 AC 的函数表
6、达式；（2）P 是线段 AC 上的一个动点，过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段 PE 长度的最大值；（3）点 G 抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F，使 A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 F 点坐标；如果不存在，请说明理由。xyD图 5E BACO1 xyEO1备用图图 647、如图 7，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，已知二次函数的图象经过点 、 和点43xyAyCAC.0,1B（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为 ，求四边形 的面积；MO（3）有两动点 、 同时从点 出发，其中点
7、以每秒 个单位长度的速度沿折线 按 的路线DEOD23OACC运动，点 以每秒 个单位长度的速度沿折线 按 的路线运动，当 、 两点相遇时，它们4CADE都停止运动.设 、 同时从点 出发 秒时， 的面积为 S .tE请问 、 两点在运动过程中，是否存在 ，若存在，请求出此时 的值；若不存在，请说明理由；t请求出 S关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；t t设 是中函数 S的最大值，那么 = . 0 0S8、如图 8，抛物线 与 轴交于 A(-1,0),B(3,0) 两点.cbxy2(1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线上有一个动点 P，当点 P在该抛物线上滑动到什么位置
8、时，满足 SPAB =8,并求出此时 P点的坐标；(3)设(1)中抛物线交 y 轴于 C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得QAC 的周长最小？若存在，求出 Q点的坐标；若不存在，请说明理由.CAMyBO x图 7图 859、如图 9、已知抛物线 y=x2+(2n-1)x+n2-1 (n为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；(2)设 A是(1)所确定的抛物线上位于 x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过 A作 x轴的平行线，交抛物线于另一点 D，再作 ABx 轴于 B，DCx 轴于 C.当 BC=1时，求矩形 ABCD的周长；试问矩形
9、ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时 A点的坐标；如果不存在，请说明理由.10、如图 10，已知点 A(0,8)，在抛物线 上，以 A为顶点的四边形 ABCD是平行四边形，且项点 B，C，D 在21xy抛物线上，ADx 轴，点 D在第一象限.(1)求 BC的长；(2)若点 P是线段 CD上一动点，当点 P运动到何位置时，DAP 的面积是 7.(3)连结 AC，E 为 AC上一动点，当点 E运动到何位置时，直线 OE将 ABCD分成面积相等的两部分？并求此时 E点的坐标及直线 OE的函数关系式.x经y经0经1经2经3经4经-1经 -1经-2经-3经1经2经AB C
10、D图 9AB CDOyx图 10611、一座拱桥的截面轮廓为抛物线型(如图 11-1),拱高 6米,跨度 20米,相邻两支柱间的距离均为 5米.（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图 11-2所示)，其表达式是 的形式. 请根据所给的数据求出caxy2的值.ca,（2）求支柱 MN的长度.（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间 DE是一条宽 2米的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽 2米、高 3米的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.MN10米20米6米5米图 11-1图 11-2D EO xA BCy7二次函数综合题训练题型集合答案1、 (1) 点 A(3,4)在直线
11、 y=x+m上， 4=3+m. （1 分） m=1. （2 分）设所求二次函数的关系式为 y=a(x-1)2. （3 分） 点 A(3,4)在二次函数 y=a(x-1)2的图象上， 4=a(3-1) 2, a=1. （4 分） 所求二次函数的关系式为 y=(x-1)2. 即 y=x2-2x+1. （5 分）(2) 设 P、E 两点的纵坐标分别为 yP和 yE . PE=h=y P-yE （6 分）=(x+1)-(x2-2x+1) （7 分）=-x2+3x. （8 分）即 h=-x2+3x (0x3). （9 分）(3) 存在. （10 分）解法 1：要使四边形 DCEP是平行四边形，必需有 P
12、E=DC. （11 分） 点 D在直线 y=x+1上, 点 D的坐标为(1,2), -x 2+3x=2 .即 x2-3x+2=0 . （12 分）解之，得 x 1=2，x 2=1 (不合题意，舍去) （13 分） 当 P点的坐标为(2,3)时，四边形 DCEP是平行四边形. （14 分）解法 2：要使四边形 DCEP是平行四边形，必需有 BPCE. （11 分）设直线 CE的函数关系式为 y=x+b. 直线 CE 经过点 C(1,0), 0=1+b, b=-1 . 直线 CE的函数关系式为 y=x-1 . 得 x2-3x+2=0. （12 分）12xy解之，得 x 1=2，x 2=1 (不合题
13、意，舍去) （13 分） 当 P点的坐标为(2,3)时，四边形 DCEP是平行四边形. （14 分）2、解：（1）将 x=-1，y =-1；x=3，y=-9 分别代入 得cxay42解得 二次函数的表达式为 .349,)()(2ca.6,1ca 642xy（2）对称轴为 ；顶点坐标为（2，-10） x（3）将（m，m）代入 ，得 ，4xy 642m解得 m0， 不合题意，舍去12,61 m=6 点 P 与点 Q 关于对称轴 对称，点 Q 到 x 轴的距离为 68E FPBACO xyQ 图 133、 （1） 抛物线 经过 O(0,0)，A(4,0),B(3, )，cxbay2 3 .解得 .
14、（2 分）03946cba 0,34,c 所求抛物线的函数关系式为 . （3 分）xy32(注：用其它方法求抛物线的函数关系式参照以上标准给分.)（2） 过点 B作 BE 轴于 E，则 BE= ，AE=1，AB=2. x3由 tanBAE= ，得BAE =60. （4 分）A（）当点 Q在线段 AB上运动，即 0 2 时， QA=t，PA=4- .tt过点 Q作 QF 轴于 F，则 QF= ，xt23 S= PAQF1t)4(. （6 分）32（）当点 Q在线段 BC上运动，即 2 4 时， Q点的纵坐标为 ，PA=4- .t 3t这时，S= . （8 分）)4(21t32（）当 0 2 时，
15、 .t )(43tS ， 当 =2时，S 有最大值，最大值 S= . （9 分）04t 3（）当 2 4 时，t 32 ， S 随着 的增大而减小. 23t 当 =2时，S 有最大值，最大值 .t 32综合（） （） ，当 =2时，S 有最大值，最大值为 . tPQA 是等边三角形. 存在. 当点 Q在线段 AB上运动时，要使得PQA 是直角三角形，必须使得PQA =90，这时 PA=2QA，即 4-=2 ， . t34t P、Q 两点的坐标分别为 P1( ,0)，Q 1( , ). （13 分）34032当点 Q在线段 BC上运动时，Q、P 两点的横坐标分别为 5- 和 ，要使得PQA 是直
16、角三角形，则必须t95- = ， t25t P、Q 两点的坐标分别为 P2( ,0)，Q 2( , ). （14 分）53(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)4、 （1）由图象可知公司从第 4个月末以后开始扭亏为盈. （1 分）（2）由图象可知其顶点坐标为(2,-2)，故可设其函数关系式为：y=a(t-2) 2-2. （2 分 所求函数关系式的图象过(0,0)，于是得a(t-2)2-2=0，解得 a= . （4 分）1 所求函数关系式为：S= t-2)2-2或 S= t2-2t. （6 分）1（3）把 S=30代入 S= t-2)2-2，得 t-2)2-2=30. （7 分）解得 t1=1
17、0，t 2=-6（舍去）. （8 分）答：截止到 10月末公司累积利润可达 30万元. （9 分）（4）把 t=7代入关系式，得 S= 72-27=10.5 （10 分）1把 t=8代入关系式，得 S= 82-28=1616-10.5=5.5 （11 答：第 8个月公司所获利是 5.5万元. （12 分）5、 （1） 抛物线 顶点为 F（1,0）cxbay2 （1 分）)1( 该抛线经过点 E（0,1） 2)0(a 1 ， 2)(xy即所求抛物线的函数关系式为 . （3 分）12xy（2） A 点的坐标为（ ,0）, AB=4，且点 C、D 在抛物线上，t B、C、D 点的坐标分别为( +4,
18、0)，( +4, ( +3)2)，( ,( -1)2). （5 分）ttt .（7 分）0843)12)21 ABS . （8 分）6(4084tt 当 =-1时，四边形 ABCD 的最小面积为 16， （9 分）此时 AD=BC=AB=DC=4，四边形 ABCD是正方形. （10 分） 当四边形 ABCD的面积最小时，四边形 ABCD是正方形，其对角线 BD上存在点 P, 使得 PAE 的周长最小. （11 分）AE=4（定值） ，要使 PAE 的周长最小，只需 PA+PE最小.xyEO1D BA CP10此时四边形 ABCD是正方形，点 A与点 C关于 BD所在直线对称,由几何知识可知，P
19、 是直线 CE与正方形 ABCD对角线 BD的交点.点 E、B、C、D 的坐标分别为（1,0） （3,0） （3,4） （-1,4）直线 BD，EC 的函数关系式分别为：y=-x+3, y=2x-2. P( , ) （13 分） 354在 RtCEB 中，CE= ,524 PAE 的最小周长=AE+AP+PE=AE+CP+PE=AE+CE=2+ . （14 分）526、解：（1）令 y=0，解得 或 （1 分）1x23A（1，0）B（3，0） ；（1 分）将 C 点的横坐标 x=2 代入 得 y=3，C（2，3） （1 分）2yx直线 AC 的函数解析式是 y=x1（2）设 P 点的横坐标为 x（1x2） （注：x 的范围不写不扣分）则 P、E 的坐标分别为：P （x，x1） ， （1 分）E（ （1 分）2(,3)xP 点在 E 点的上方，PE= （2 分）22()(3)xxx当 时， PE 的最大值= （1 分）12x94（3）存在 4 个这样的点 F，分别是 234(,0),)(7),()FF7、解：（1）令 ，则 ；0xy令 则 . 、y3,A4,C二次函数的图象过点 ，可设二次函数的关系式为1 分42bxay又该函数图象过点 、0,3A,1B 2 分.409ba解之，得 ，38
