1、1.3 空间几何体的表面积和体积【知识总结】1多面体的面积和体积公式名称 侧面积(S 侧 ) 全面积(S 全 ) 体 积(V)棱柱 直截面周长l S 底 h=S 直截面 h棱柱 直棱柱 ch S 侧 +2S 底 S 底 h棱锥 各侧面积之和棱锥 正棱锥 ch21S 侧 +S 底 S 底 h31棱台 各侧面面积之和棱台 正棱台 (c+c)h S 侧 +S 上底 +S 下底h(S 上底 +S 下底 +)下 底下 底 表中 S 表示面积，c、c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高，h表示斜高，l 表示侧棱长。2旋转体的面积和体积公式名称 圆柱 圆锥 圆台 球S 侧 2rl rl (r 1+r2)lS
2、 全 2r(l+r) r(l+r) (r 1+r2)l+(r21+r22) 4R2V r2h(即r 2l)r 2h31h(r 21+r1r2+r22)3R 34表中 l、h 分别表示母线、高， r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r 1、r 2 分别表示圆台 上、下底面半径，R 表示半径。【知能训练】A：多面体的表面积和体积一选择题1如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，A1A=AB=2，BC=1，ABC=90，若规定主（正）视方向垂直平面ACC1A1，则此三棱柱的左视图的面积为（ ）A B 2 C 4 D 2455 52某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为
3、 8、高为 4 的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形，则该几何体的表面积为（ ）A 80 B 24 +88 C 24 +40 D 1182 23一个棱锥被平行于底面的平面所截，如果截面面积与底面面积之比为 1：2，则截面把棱锥的一条侧棱分成的两段之比是（ ）A 1： 4 B 1： 2 C 1： （ 1）2 D 1： （ +1）24正六棱台的两底边长分别为 1cm，2cm，高是 1cm，它的侧面积为（ ）A cm2972 B 9 cm27C cm2233 D 3 cm225要制作一个容积为 4m3，高为 1m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方
4、米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是（ ）A 80 元 B 120 元 C 160 元 D 240 元6（文） 四棱锥 S-ABCD 的底面是矩形，锥顶点在底面的射影是矩形对角线的交点，四棱锥及其三视图如图（AB 平行于主视图投影平面）则四棱锥 S-ABCD 的体积= （ ）A 24 B 18 C D 88357某空间组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（ ）A 48 B 56 C 64 D 728各棱长均为 a 的三棱锥的表面积为（ ）A 4 a2 B 3 a2 C 2 a2 D3 3 3a239已知一个四棱锥的高为 3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置
5、的直观图是一个边长为 1 的正方形，则此四棱锥的体积为（ ）A 2 B 6 2 C 13 D 2 210如图，在三棱柱 A1B1C1-ABC 中，D，E，F 分别是 AB，AC，AA 1 的中点，设三棱锥F-ADE 的体积为 V1，三棱柱 A1B1C1-ABC 的体积为 V2，则 V1：V 2= 11将边长为 2 的正方形沿对角线 AC 折起，以 A，B ，C，D 为顶点的三棱锥的体积最大值等于 12如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱 AA1=8若 AA1B1B 水平放置时，液面恰好过 AC，BC ，A 1C1，B 1C1 的中点，则当底面 ABC 水平放置时，液面的高为 13四棱锥 P-
6、ABCD 的底面 ABCD 为正方形，且 PD 垂直于底面 ABCD，N 为 PB 中点，则三棱锥 P-ANC 与四棱锥 P-ABCD 的体积比为 14已知某四棱锥，底面是边长为 2 的正方形，且俯视图如图所示若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为 15如图所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB=AC=AA 1=2，BC=2 ，且2A 1AB=A 1AC=60，则该三棱柱的体积是 B：旋转体的表面积和体积1如果圆锥的底面半径为 ，高为 2，那么它的侧面积是（ ）2A 4 B 2 C 2 D 4 3 2 3 22一圆锥的侧面展开图是半径为 2 的半圆，则该圆锥的全面积是（ ）A 5
7、 B 4 C 3 D 23如果圆锥的轴截面是正三角形（此圆锥也称等边圆锥），则此圆锥的侧面积与全面积的比是 （ ）A 1： 2 B 2： 3 C 1： D 2：3 34圆锥侧面积为全面积的 ，则圆锥的侧面展开图圆心角等于（ ）23A 23 B C 2 D 以 上 都 不 对5圆台的上、下底面半径和高的比为 1：4 ：4，母线长为 10，则圆台的侧面积为（ ）A 81 B 100 C 14 D 1696已知球的直径 SC=8，A，B 是该球球面上的两点，AB=2 ，SCA=SCB=60，则3三棱锥 S-ABC 的体积为（ ）7若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为 S1、
8、S 2，则S1：S 2=（ ）A 1： 1 B 2： 1 C 3： 2 D 4： 18若两个球的表面积之比为 1：4 ，则这两个球的体积之比为（ ）A 1： 2 B 1： 4 C 1： 8 D 1： 169体积相等的正方体、球、等边圆柱（即底面直径与母线相等的圆柱）的全面积分别为S1，S 2，S 3，那么它们的大小关系为（ ）A S1 S2 S3 B S1 S3 S2 C S2 S3 S1 D S2 S1 S3二填空题（共 5 小题）A 2 3 B 4 3 C 6 3 D 8 310圆锥和圆柱的底面半径和高都是 R，则圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为 11已知一个圆柱的侧面展开图是一个长和宽分
9、别为 3 和 的矩形，则该圆柱的体积是 12在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为 40cm，母线长最短 50cm，最长 80cm，则斜截圆柱的侧面面积 S= cm213球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于 14已知一圆柱内接于球 O，且圆柱的底面直径与母线长均为 2，则球为 O 的表面积为 15已知 A，B，C 是球面上三点，且 AB=AC=4cm，BAC=90，若球心 O 到平面 ABC的距离为 2 ，则该球的表面积为 cm3211正三角形 ABC 的边长为 2，将它沿高 AD 翻折，使点 B 与点 C 间的距离为 1，此时四面体 ABCD 外接球表面积为 三解答题（共 3
10、小题）16如图，某种水箱用的“浮球” ，是由两个半球和一个圆柱筒组成已知球的直径是 6cm，圆柱筒长 2cm（1）这种“浮球 ”的体积是多少 cm3（结果精确到 0.1）？（2）要在这样 2500 个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100 克，共需胶多少？17（文）如图，球 O 的半径长为 10 3（1）求球 O 的表面积；（2）求球 O 的体积；（3）若球 O 的小圆直径 AB=30，求 A、B 两点的球面距离18设底面直径和高都是 4 厘米的圆柱的内切球为 O（1）求球 O 的体积和表面积；（2）与底面距离为 1 的平面和球的截面圆为 M，AB 是圆 M 内的一条弦，其长为 2
11、 ，3求 AB 两点间的球面距离参考答案：A：1、A 2、B 3、C 4、A 5、C 6、D 7、C 8、D 9、D10、11、12、 解 ： 不 妨 令 此 三 棱 柱 为 直 三 棱 柱 ， 如 图当 侧 面 AA1B1B 水 平 放 置 时 ， 水 的 形 状 为 四 棱 柱 形 ， 底 面 是 梯 形 设 ABC 的 面 积 为 S， 则 S 梯 形 ABFE= S， V 水 = SAA1=6S34 34当 底 面 ABC 水 平 放 置 时 ， 水 的 形 状 为 三 棱 柱 形 ， 设 水 面 高 为 h， 则 有 V 水 =Sh， 6S=Sh， h=6故 当 底 面 ABC 水
12、平 放 置 时 ， 液 面 高 为 6故 答 案 为 ： 613、 1:4 14、 15、 243 2B：1、 C 2、 C 3、 B 4、 B 5、 B 6、 D 7、 C 8、 C 9、 C10、 (1+ )： 4 211、12、解 ： 将 相 同 的 两 个 几 何 体 ， 对 接 为 圆 柱 ， 则 圆 柱 的 侧 面 展 开 ，侧 面 展 开 图 的 面 积 S=（ 50+80） 20 2/2=2600 cm2故 答 案 为 ： 260013、 3 14、 8 15、 6416、 解 ： （ 1） 该 “浮 球 ”的 圆 柱 筒 直 径 d=6cm， 半 球 的 直 径 也 是 6c
13、m， 可 得 半 径 R=3cm， 两 个 半 球 的 体 积 之 和 为 V 球 R3 27 36cm3（ 2 分 ）43 43而 V 圆 柱 R2h 92 18cm3（ 2 分 ） 该 “浮 球 ”的 体 积 是 ： V=V 球 +V 圆 柱 =36 +18 =54 169.6cm3（ 4 分 ）（ 2） 根 据 题 意 ， 上 下 两 个 半 球 的 表 面 积 是S 球 表 4R2 49 36cm2（ 6 分 ）而 “浮 球 ”的 圆 柱 筒 侧 面 积 为 ： S 圆 柱 侧 =2 Rh=2 32=12 cm2（ 8 分 ） 1 个 “浮 球 ”的 表 面 积 为 S m236+12
14、104810因 此 ， 2500 个 “浮 球 ”的 表 面 积 的 和 为 2500S 2500 12m2（ 10 分 ）4810 每 平 方 米 需 要 涂 胶 100 克 ， 总 共 需 要 胶 的 质 量 为 ： 10012 =1200 （ 克 ） （ 12 分 ）答 ： 这 种 浮 球 的 体 积 约 为 169.6cm3； 供 需 胶 1200 克 （ 13 分 ）17、 解 ： （ 1） 球 的 表 面 积 为 4 r2=1200 ； （ 4 分 ）（ 2） 球 的 体 积 V r3 4000 ； （ 8 分 ）43 3（ 3） 设 球 心 为 O， 在 AOB 中 ， 球 O 的 小 圆 直 径 AB=30， 球 O 的 半 径 长 为 10 3解 得 AOB ， 所 以 A、 B 两 点 的 球 面 距 离 为 （ 15 分 ）23 20318、 解 ： （ 1） 底 面 直 径 和 高 都 是 4 厘 米 的 圆 柱 的 内 切 球 为 O， 球 O 的 半 径 为 2cm， 球 O 的 体 积 为 23= ， 表 面 积 4 22=16 ；43 323（ 2） AB 是 圆 M 内 的 一 条 弦 ， 其 长 为 2 ，3 AOB= ， AB 两 点 间 的 球 面 距 离 为 23 43
