大一上微积分知识点重点.doc

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1、大一(上) 微积分 知识点第 1 章 函数1、A B=,则 A、B 是分离的。二、设有集合 A、B,属于 A 而不属于 B 的所有元素构成的集合,称为 A 与 B 的差。A-B=x|xA 且 xB(属于前者,不属于后者)三、集合运算律:交换律、结合律、分配律与数的这三定律一致;摩根律:交的补等于补的并。四、笛卡尔乘积:设有集合 A 和 B,对 xA, y B,所有二元有序数组(x,y)构成的集合。五、相同函数的要求:定义域相同 对应法则相同六、求反函数:反解互换七、关于函数的奇偶性,要注意:1、函数的奇偶性是就函数的定义域关于原点对称时而言的,若函数的定义域关于原点不对称,则函数无奇偶性可言,

2、那么函数既不是奇函数也不是偶函数;2、判断函数的奇偶性一般是用函数奇偶性的定义:若对所有的 )(fDx, )(xf成立,则 )(xf为偶函数;若对所有的 )(fDx,成立,则 为奇函数;若 )(fxf或 f不能对所有的 f成立,则 f既不是奇函数也不是偶函数;3、奇偶函数的运算性质:两偶函数之和是偶函数;两奇函数之和是奇函数;一奇一偶函数之和是非奇非偶函数(两函数均不恒等于零) ;两奇(或两偶)函数之积是偶函数;一奇一偶函数之积是奇函数。第 2 章 极限与连续一、一个数列有极限,就称这个数列是收敛的,否则就称它是发散的。二、极限存在定理:左、右极限都存在,且相等。三、无穷小量的几个性质:1、

3、limf(x)=0,则2、若 = )(lixg=0,则 0)(limxgf3、若 limf(x)= )(lig=0,则 lim)(xfg04、若 g(x)有界( |g(x)|M) ,且 li=0,则 limf(x)g(x)=0四、无穷小量与无穷大量的关系:若 y 是无穷大量,则 y1是无穷小量;若 y(y 0)是无穷小量,则 是无穷大量。5、无穷小量的阶数比较(假设 0)(lim)(lixgf):若0)(limxgf称 f(x)是较 g(x)高阶的无穷小量;若)(lif称 f(x)是较 g(x)低阶的无穷小量;若)0g(x)fliC称 f(x)是较 g(x)同阶的无穷小量;若1)(limf称

4、f(x)是较 g(x)等价的无穷小量,记为 )(xgf。六、极限的运算法则:lim)(yx= yli xlimy= xli yli Cli = li nli= )(n xn1= )(1n yxli0七、求极限的几种技巧:当极限过程是 x时,除以最高次项;当带有根号时,进行有理化;当遇到分式的加、减运算时,进行通分;当极限过程是 时,分子最高次项的指数低于分母最高次项的指数时,结果为 0;分子最高次项的指数高于分母最高次项的指数时,结果为 ;分子、分母最高次项的指数相等时,结果为最高次项的系数比。八、两个重要极限: )0(1sinlmx)0(1tanlimx )()li(ex)()li(1ex九

5、、等价无穷小量(乘积的时候才可以换): )0(sinx)0(tanxarcrc)0(2os1x)0(1xnn)ln(ex十、证明在某一点 处连续:需证明 )()(limooxfox十一、出现函数的间断点的情况:在点 处 )( xf没有定义;o )(limof不存在;虽然 )(oxf有定义,且 )(limoxf存在,但 )()(limooxfxf十二、间断点分类:1、第一类间断点:如果函数 )( xf在点 ox处的左、右极限都存在,但不全等于 )oxf( ,就称点 o为 )( 的第一类间断点。可去间断点(属于第一类间断点):函数间断点的左、右极限存在并相等,只是不等于该点的函数值,那么我们可以重

6、新定义函数在间断点的值,使得所形成的函数,在该点连续。跳跃间断点(属于第一类间断点):函数间断点的左、右极限存在但不相等。2、第二类间断点:如果函数 )( xf在点 ox处的左、右极限至少有一个不存在,就称点 ox为 )( 的第二类间断点。无穷间断点(属于第二类间断点):只要左右极限有一个为 。振荡间断点13、介值定理:如果函数 )( xf在闭区间 上连续,m 和 M 分别为ba,)( xf在 上的最小值和最大值,则对介于 m 与 M 之间的任一实数ba,c(即 Mcm) ,至少存在一点 ,,使得 Cf。推论:如果函数 )( xf在闭区间 上连续,且 a与 bf异号,则ba,至少存在一点 ba

7、,,使得 0f。第 3 章 导数与微分1、 xy在 0处不可导( 1xy就在 处不可导)第 5 章 不定积分一、基本积分公式表:1、 为 常 数 )( Cdx02、 )1(1aa3、 Cxdln4、)1,0(l1aaxx5、 Cedxx6、 cossin7、 xi8、 Cdctcs29、 xane10、rcsi1211、 Cxdxartn212、 coslt13、 xdinco14、 Cxxdtanseclsec15、 o16、 )0(arctn12xx17、)(l2aCxd18、)0(arcsin2x19、)(l22aCxd20、 )0(arcsin22 xxa二、一般地,如被积函数含有 nbax,令 nbax=t,可以消去根号,如被积函数含有 nx, m,令 k=t,k 为 m 与 n 的最小公倍数,可同时消去两个根号。三、三角代换:被积函数含有 2xa,可作代换 taxsin或 txcos被积函数含有 ,可作代换 或被积函数含有 2a-,可作代换 txsec或 txsc化被积函数为新变量 t 的三角函数的积分,积分后将新变量 t 还原为原积分变量 x 时,可借助直角三角形的边角关系找出积分结果中新变量 t 的三角函数还原为原积分变量的关系式。

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