1、大学物理简明教程习题解答习题一1-1 r与 有无不同? tdr和 有无不同? tdv和 有无不同?其不同在哪里?试举例说明解：（1） 是位移的模， r是位矢的模的增量，即 r12， 12r；（2） tdr是速度的模，即 tdvts.只是速度在径向上的分量.有 r（式中 叫做单位矢） ，则 trtddr式中 td就是速度径向上的分量， tr与不同如题 1-1 图所示. 题 1-1 图(3) tdv表示加速度的模，即 tvad， 是加速度 a在切向上的分量.有 (表轨道节线方向单位矢） ，所以 tvtd式中 dtv就是加速度的切向分量.(r与的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论 )1-2 设质点
2、的运动方程为 x= (t)， y= (t)，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出 r2yx，然后根据 v= trd，及 a 2tr而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即v=22tytx及 =22dtytx你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有 jyixr，jtyitxrav22dd故它们的模即为 2222dtytxattvyxyx而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作 2dtrtrv其二，可能是将 2dtr与误作速度与加速度的模。在 1-1 题中已说明 t
3、rd不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样， 2dtr也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中的一部分 22dtrta径。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢 r在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢 r及速度 v的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。1-3 一质点在 xOy平面上运动，运动方程为 x=3t+5, y= 21t2+3 -4.式中 t以 s 计， , 以 m 计(1)以时间 为变量，写出质点位置矢量的表示式； (2)求出=1 s 时刻和 t2s 时刻的位置矢量，计算这 1 秒内质点的位移；(3)计算 t0 s 时刻到4s 时刻内的平均速度；(4)求出质点速
4、度矢量表示式，计算 t4 s 时质点的速度；(5)计算 t 0s 到 4s 内质点的平均加速度； (6)求出质点加速度矢量的表示式，计算 t4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)解：（1） jtitr)4321()53(m(2)将 t, 2代入上式即有 ji.081r25.43(3) jij167,50 14 sm0rtv (4) 1sm)3(djitrv则 jiv741s(5) jivjiv73,4024sm1ta(6) djta这说明该点只有 y方向的加速度，且为恒量。1-4 在离水面高 h 米的岸上，有人用绳子拉
5、船靠岸，船在离岸 S 处，如题 1-4 图所示当人以 0v(m 1s)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小图 1-4解： 设人到船之间绳的长度为 l，此时绳与水面成 角，由图可知22sh将上式对时间 t求导，得tstld2题 1-4 图根据速度的定义，并注意到 , 是随 减少的， tsvtlvd,0船绳即 cosd0ls船或 vhlv2/120)(船将 船v再对 t求导，即得船的加速度 32020 020)(ddsvhsl vsltsltva船船1-5 质点沿 x轴运动，其加速度和位置的关系为 a2+6 2x， 的单位为 2sm， x的单位为 m. 质点在 0 处，速度为 10 1m,
6、试求质点在任何坐标处的速度值解： vttvadd分离变量： xadxd)62(两边积分得 cv321由题知， 0x时， , 50 13sm2x1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a4+3 t2，开始运动时， x5 m， v=0，求该质点在 t10s 时的速度和位置解： ttv4d分离变量，得 )3(积分，得 12ctv由题知， 0t,v, 01c故 234t又因为 dtxv分离变量， tx)234(d积分得 2321ctx由题知 0t, 5x, 2c故 132t所以 st时 m705120s93410 12xv1-7 一质点沿半径为 1 m 的圆周运动，运动方程为 =2+3 3t， 式中
7、以弧度计， t以秒计，求：(1) t2 s 时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成 45角时，其角位移是多少?解： tt18d,9d2(1) s2t时， 2sm3618Ra229)(n(2)当加速度方向与半径成 45角时，有145tann即 R2 亦即 8)9(2则解得 923t于是角位移为rad67.2932t1-8 质点沿半径为 R的圆周按 s 01btv的规律运动，式中 s为质点离圆周上某点的弧长, 0v， b都是常量，求：(1) 时刻质点的加速度；(2) t为何值时，加速度在数值上等于 解：（1） btvts0dRtvan202)(则 2422bt加速度与半径的夹角为
8、 20)(arctnbtv(2)由题意应有 242Rb即 0)(,)(402402 btvtv当 bvt0时， a1-9 以初速度 20 1sm抛出一小球，抛出方向与水平面成幔 60的夹角，求：(1)球轨道最高点的曲率半径 R；(2)落地处的曲率半径 2R(提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)解：设小球所作抛物线轨道如题 1-10 图所示题 1-9 图(1)在最高点， o016csvx2mgan又 1 m10)60cos2(2nav(2)在落地点， 22v1s,而 o60cgan m8s1)(2n1-10 飞轮半径为 0.4 m，自静止启动，其角加速度为 =0.2 rad 2s，求 t2
9、s 时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度解：当 s2t时， 4.02.t1srad则 164.0Rv1s 064.).(2Ran 2s8 m222 1.04. n1-11 一船以速率 1v30kmh -1沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率 2v40kmh -1沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何?解：(1)大船看小艇，则有 121v，依题意作速度矢量图如题 1-13 图(a)题 1-11 图由图可知 1212 hkm50vv方向北偏西 87.364arctnrt2(2)小船看大船，则有 12，依题意作出速度矢量图如题 1-13 图(b)，同上法，
10、得5012v1hk方向南偏东 o87.36习题二2-1 一个质量为 P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为 ）上以初速度 0v运动， 0的方向与斜面底边的水平线 AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道解: 物体置于斜面上受到重力 mg，斜面支持力 N.建立坐标：取方向为 X轴，平行斜面与 X轴垂直方向为 Y轴.如图 2-2.题 2-1 图X方向： 0xF tvx0 Y方向： yymagsin 0t时 2i1t由、式消去 t，得 220sinxgvy2-2 质量为 16 kg 的质点在 xO平面内运动，受一恒力作用，力的分量为 xf6 N， yf-7 N，当 t0 时， 0， x-2 ms -1，
11、yv0求当 t2 s 时质点的 (1)位矢；(2)速度解： 2sm8316fax7y(1) 20 1sm87216453dtavyyxx于是质点在 s2时的速度 145ji(2) m874134)167(2)42(1220ji jijtattvryx2-3 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力 kv( 为常数)作用， t=0 时质点的速度为 0v，证明(1) t时刻的速度为 vtke)(0；(2) 由 0 到 t的时间内经过的距离为x( km)1-tmke)(；(3)停止运动前经过的距离为)(k；(4)证明当 kmt时速度减至 0v的1，式中 m 为质点的质量答: (1) tvmkad
12、分离变量，得 v即 vtmk0dktelnl tmkv0(2) t tt mkkeevx0 )1(d(3)质点停止运动时速度为零，即 t，故有 00kvtmk(4)当 t= km时，其速度为 evevkm0100即速度减至 0v的 e1.2-4 一质量为 m的质点以与地的仰角 =30的初速 0v从地面抛出，若忽略空气阻力，求质点落地时相对抛射时的动量的增量解: 依题意作出示意图如题 2-6 图题 2-4 图在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下,而抛物线具有对 y轴对称性，故末速度与 x轴夹角亦为 o30，则动量的增量为vmp由矢量图知，动量增量大小为
13、 0v，方向竖直向下2-5 作用在质量为 10 kg 的物体上的力为 itF)21(N，式中 t的单位是 s，(1)求 4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量(2)为了使这力的冲量为 200 Ns，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度 j6ms-1的物体,回答这两个问题解: (1)若物体原来静止，则 ititFp 10401 smkg56d)21(d,沿 x轴正向， ipIv11s6.若物体原来具有 61s初速，则 tt FvmFvmp0000 d)d(,于是tpFp012d,同理， 1v, 2I这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动
14、量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理(2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即 t ttI020d)(亦即 12解得 s10t，( s2t舍去)2-6 一颗子弹由枪口射出时速率为 0smv，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为 F =( bta)N( ,为常数)，其中 t以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量(3)求子弹的质量解: (1)由题意，子弹到枪口时，有 0)(btaF,得 bat(2)子弹所受的冲量 t ttI021d将 bat代入，得 baI2(3)由动量定理可求
15、得子弹的质量 00vm2-7 设 N67jiF合(1) 当一质点从原点运动到 m1643kjir时，求 F所作的功(2)如果质点到 r处时需 0.6s，试求平均功率(3)如果质点的质量为 1kg，试求动能的变化解: (1)由题知， 合 为恒力， )1643()67(kjijirFA合J4521(2) w.0tP(3)由动能定理， Ek2-8 如题 2-18 图所示，一物体质量为 2kg，以初速度 0v3ms -1从斜面 A点处下滑，它与斜面的摩擦力为 8N，到达 B点后压缩弹簧 20cm 后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零
16、点，弹簧原长处为弹性势能零点。则由功能原理，有 37sin21mgvkxsfr22137sinkxsfmgvkr式中 52.084s， .0x，再代入有关数据，解得-1mN39k题 2-8 图再次运用功能原理，求木块弹回的高度 h2o137sinkxmgfr代入有关数据，得 4.1s,则木块弹回高度 84.0sioh2-9 一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞，试证碰后两小球的运动方向互相垂直证: 两小球碰撞过程中，机械能守恒，有 221201mvv即 题 2-9 图(a) 题 2-9 图(b)又碰撞过程中，动量守恒，即有 210vmv亦即 210v由可作出矢量三角形如图(b)，又由式可知三矢量之间满足勾股定理，且以 0v为斜边，故知 1v与 2是互相垂直的2-10 一质量为 的质点位于( 1,yx)处，速度为 jviyx, 质点受到一个沿 x负方向的力 f的作用，求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩解: 由题知，质点的位矢为 jir1作用在质点上的力为 f所以，质点对原点的角动量为 vmrL0
