1、 3.52 轴对称全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用；2. 了解垂直平分线的概念，并掌握其性质；3. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法.【知识网络】【要点梳理】要点一、轴对称1.轴对称图形和轴对称 （1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这
2、条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形2.线段的垂直平分线线
3、段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.要点二、作轴对称图形 1.作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.2.用坐标表示轴对称点（ , ）关于 轴对称的点的坐标为（ , ）；点（ , ）关于 轴对称的点的坐标为（ ,xyxxyxyx）；点（ , ）关于原点对称的点的坐标
4、为（ , ）.y要点三、等腰三角形 1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角” ；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一” ）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于 45.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等 边” ）.2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于 60. （3）等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等
5、的三角形是等边三角形；有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.【典型例题】类型一、轴对称的性质与应用1、如图，由四个小正方形组成的田字格中，ABC 的顶点都是小正方形的顶点在田字格上画与ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含ABC 本身）共有（ ）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【思路点拨】分别以正方形的对角线和田字格的十字线为对称轴，来找三角形.【答案】C；【解析】先把田字格图标上字母如图，确定对称轴找出符合条件的三角形，再计算个数HEC 与A
6、BC 关于 CD 对称；FDB 与ABC 关于 BE 对称；GED 与ABC 关于 HF 对称；关于 AG 对称的是它本身所以共 3 个【总结升华】本题考查了轴对称的性质；确定对称轴然后找出成轴对称的三角形是解题的关键举一反三：【变式】如图，ABC 的内部有一点 P，且 D，E，F 是 P 分别以 AB，BC，AC 为对称轴的对称点若ABC 的内角A70，B60，C50，则ADBBECCFA（ ）A.180 B.270 C.360 D.480【答案】C；解：连接 AP，BP，CP，D，E，F 是 P 分别以 AB，BC，AC 为对称轴的对称点ADBAPB，BECBPC，CFAAPC，ADBBE
7、CCFAAPBBPCAPC3602、已知MON40，P 为MON 内一定点，OM 上有一点 A，ON 上有一点 B，当PAB 的周长取最小值时，求APB 的度数.【思路点拨】求周长最小，利用轴对称的性质，找到 P 的对称点来确定 A、B 的位置，角度的计算，可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算.【答案与解析】解：分别作 P 关于 OM、ON 的对称点 ， ，连接 交 OM 于 A，ON 于 B.则PAB 为符合条件的三角形.1P212MON40 140. 12 PAB, PBA.1PA22PB1 (PABPBA)APB140PABPBA2APB280 PAB , PBA 1 2PB
8、180 P22PAPB100【总结升华】将实际问题抽象或转化为几何模型，将周长的三条线段的和转化为一条线段，这样取得周长的最小值.举一反三：【变式】如图，在五边形 ABCDE 中，BAE120，BE90，ABBC，AEDE，在 BC，DE 上分别找一点 M，N，使得AMN 的周长最小时，则AMNANM 的度数为（ ） A1 00 B110 C 120 D 130【答案】C；提示：找 A 点关于 BC 的对称点 ，关于 ED 的对称点 ，连接 ，交 BC 于 M1A2A12点，ED 于 N 点，此时AMN 周长最小. AMNANM180MAN，而 2BAMAMN，2EANANM，BAMEANMA
9、N120,所以AMNANM120.3、如图，ABC 关于平行于 轴的一条直线对称，已知 A 点坐标是（1，2） ，C 点坐标是（1，4） ，则x这条平行于 轴的直线是（ ）xA.直线 1 B.直线 3 C.直线 1 D.直线 3yy【思路点拨】根据题意，可得 A、C 的连线与该条直线垂直，且两点到此直线的距离相等，从而可以解出该直线【答案】C；【解析】解：由题意可知，该条直线垂直平分线段 AC又 A 点坐标是（1，2） ，C 点坐标是（1，4）AC6点 A，C 到该直线的距离都为 3即可得直线为 1y【总结升华】本题考查了坐标与图形的变化一一对称的性质与运用，解决此类题应认真观察图形，由 A
10、与 C 的纵坐标求得对称轴举一反三：【变式 1】如图，若直线 经过第二、四象限，且平分坐标轴的夹角，RtAOB 与 Rt 关于直线 对m OBm称，已知 A（1，2） ，则点 的坐标为（ ）A.（1，2） B.（1，2） C.（1，2） D.（2，1）【答案】D； 提示：因为 RtAOB 与 Rt 关于直线 对称，所以通过作图可知， 的坐标是AOBmA（2，1） 【变式 2】如图，ABC 中，点 A 的坐标为（0，1） ，点 C 的坐标为（4，3） ，点 B 的坐标为（3，1） ，如果要使 ABD 与 ABC 全等，求点 D 的坐标 【答案】解：满足条件的点 D 的坐标有 3 个（4，1） ；
11、（1，1） ；（1，3）.类型二、等腰三角形的综合应用4、 （2012牡丹江）如图，ABC 中AB=AC，P 为底边 BC 上一点，PEAB，PFAC，CHAB，垂足分别为 E、F、H易证 PE+PF=CH证明过程如下：如图，连接 APPEAB，PFAC，CHAB， = ABPE， = ACPF， = ABCHABPS 12ACPS 12ABCS 12又 ，B ABPE+ ACPF= ABCHAB=AC，PE+PF=CH（1）如图，P 为 BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若A=30，ABC 的面积为 49，点 P
12、 在直线 BC 上，且 P 到直线 AC 的距离为 PF，当 PF=3 时，则 AB 边上的高 CH=_.点 P 到 AB 边的距离 PE=_.【答案】7；4 或 10；【解析】解：（1）如图，PE=PF+CH证明如下：PEAB，PFAC，CHAB， = ABPE， = ACPF， = ABCH，ABPS 12ACPS 12ABCS 12 = + ， B ABPE= ACPF+ ABCH，又AB=AC，PE=PF+CH；（2）在ACH 中，A=30，AC=2CH = ABCH，AB=AC，ABCS 12 2CHCH=49，CH=7分两种情况：P 为底边 BC 上一点，如图PE+PF=CH，PE
13、=CH-PF=7-3=4；P 为 BC 延长线上的点时，如图PE=PF+CH，PE=3+7=10故答案为 7；4 或 10【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键5、已知，如图，112，236，348，424. 求 的度数ADB【答案与解析】解：将 沿 AB 翻折，得到 ，连结 CE，ABD ABE则 ， 1512.,E 60125C 48 3ABABC又236， 72，34BCD ,BEBC 为等边三角形. E 又 垂直平分 BC,ABCAE 平分 3012EADB30【总结升华】直接求 很难，那就想想能不能通过
14、翻折或旋转构造一个与 全等的三角形，从而ADB ABD使其换个位置，看看会不会容易求举一反三：【变式】在ABC 中，ABAC，BAC80，D 为形内一点，且DABDBA10，求ACD 的度数.【答案】 解：作 D 关于 BC 中垂线的对称点 E，连结 AE，EC，DEABDACEADAE, DABEAC10BAC=80，DAE60，ADE 为等边三角形AED60DABDBA10ADBDDEECAEC160，DEC140DCE20ACD30类型三、等边三角形的综合应用6、如图所示，已知等边三角形 ABC 中，点 D，E，F 分别为边 AB，AC，BC 的中点，M 为直线 BC 上ACD12 3B
15、5E一动点，DMN 为等边三角形(1)如图(1)所示，当点 M 在点 B 左侧时，请你判断 EN 与 MF 有怎样的数量关系？点 F 是否在直线 NE上？(2)如图(2)所示，当点 M 在 BC 上时，其他条件不变， (1)的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图(2)证明；若不成立，请说明理由【答案与解析】解：(1)ENMF ，点 F 在直线 NE 上证明：连接 DF，DE， ABC 是等边三角形， ABAC BC又 D，E，F 是ABC 三边的中点， DE，DF，EF 为三角形的中位线 DEDFEF，FDE60又MDNNDF MDF，NDF FDENDE，DMN
16、为等边三角形，DMDN，MDN60 MDF NDE 在DMF 和DNE 中， ，DFEMN DMF DNE ， MFNE ， DMFDNE.DMF 60DNE MFNMFN 60FNAB ，又EFAB ，E、F 、N 在同一直线上 .(2)成立证明：连结 DE，DF ，EF ， ABC 是等边三角形， ABAC BC又 D，E，F 是ABC 三边的中点， DE，DF，EF 为三角形的中位线 DEDFEF，FDE60又MDFFDN60，NDEFDN60， MDF NDE 在DMF 和DNE 中， ，DFEMN DMF DNE ， MFNE 【总结升华】此题综合应用了等边三角形的性质和判定，全等三
17、角形的性质和判定.全等是证明线段相等的重要方法.（2）题的证明可以沿用（1）题的思路. 【巩固练习】一.选择题1. 如图所示，将矩形纸片先沿虚线 AB 按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线 CD 向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（ ）2. 如图，将正方形纸片 ABCD 折叠，使边 AB、CB 均落在对角线 BD 上，得折痕 BE、BF，则EBF 的大小为( )A. 15 B. 30 C. 45 D. 603在下列说法中，正确的是（ ）A如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形；B如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形；C等腰三角
18、形是关于底边中线成轴对称的图形；D一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形 .4. 小明从镜中看到电子钟示数是 ，则此时时间是（ ）A.12：01 B.10：51 C.11：59 D.10：215. 已知 A（4，3）和 B 是坐标平面内的两个点，且它们关于直线 3 轴对称，则平面内点 B 的坐标是（ x）A.（1，3） B.（10，3） C.（4，3） D.（4，1）6如图，已知ABC 中，ACBC24，AO、BO 分别是角平分线，且 MNBA，分别交 AC 于 N、BC 于 M，则CMN 的周长为（ ）A12 B24 C36 D不确定7. 如图，将 沿 、 、 翻折，三个顶点均落在
19、点 处.若 ，则 的度数为（ ABCDEHGFO129）A. 49 B. 50 C. 51 D. 528. 如图, ABC 中, ACB90, ABC60, AB 的中垂线交 BC 的延长线于 D,交 AC 于 E, 已知 DE2.AC的长为（ ）A.2 B.3 C. 4 D.5二.填空题9. 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB2 ，点 E 在 BC 上，且 AECE若将纸片沿 AE 折叠，点 B 恰好与 AC 上cm的点 重合，则 AC 1B10. 在同一直角坐标系中，A（ 1，8）与 B（5， 3）关于 轴对称，则abx_， _.ab11如图所示，ABC 中，已知B 和C 的平分线相交于
20、点 F，过点 F 作 DEBC，交 AB 于点 D，交 AC 于点E，若 BDCE9，线段 DE_12. 如图所示，AOPBOP15， PCOA，PDOA，若 PC4，PD 的长为_13如图所示，在ABC 中，ABAC，点 O 在ABC 内，且OBCOCA，BOC110，求A 的度数为_14. 如图，在四边形 ABCD 中，A90，AD4，连接 BD，BDCD，ADBC.若 P 是 BC 边上一动点，则DP 长的最小值为 .15. 如图，在ABC 中，ABAC，D、E 是ABC 内两点，AD 平分BAC，EBCE60，若BE6 ，DE2 ，则 BC_cm16. 如图，六边形 ABCDEF 的六
21、个内角都相等若 AB1，BCCD3，DE2，则这个六边形的周长等于ANOB M C（22 题图）_。三.解答题17如图所示，ABC 中，D，E 在 BC 上，且 DEEC，过 D 作 DFBA，交 AE 于点 F，DFAC，求证 AE 平分BAC18. 如图所示，等边三角形 ABC 中，AB2，点 P 是 AB 边上的任意一点（点 P 可以与点 A 重合，但不与点 B 重合） ，过点 P 作 PEBC，垂足为 E，过 E 作 EFAC，垂足为 F，过 F作 FQAQ，垂足为 Q，设BP ，AQ xy（1）写出 与 之间的关系式；（2）当 BP 的长等于多少时，点 P 与点 Q 重合？19已知：
22、如图，在ABC 中，ABAC，BAC30点 D 为ABC 内一点，且 DBDC，DCB30点 E为 BD 延长线上一点，且 AEAB（1）求ADE 的度数；（2）若点 M 在 DE 上，且 DMDA，求证：MEDC20已知，BAC90，ABAC，D 为 AC 边上的中点，ANBD 于 M，交 BC 于 N.求证：ADBCDNMNDCBA【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D；【解析】作出对称轴，将图形还原即可.2. 【答案】C；【解析】由题意，ABEDBEDBFFBC，所以EBF ABC45，故选 C123. 【答案】B；【解析】全等的三角形不一定是成轴对称，而成轴对称的两个三角形一定是全等
23、的C 选项应为轴对称图形而不是成轴对称的图形.4. 【答案】B；5. 【答案】B；【解析】点 B 的纵坐标和点 A 一样，（横坐标4）23，解得横坐标为10.6. 【答案】B；【解析】易证 ANON，BMOM，CMN 的周长等于 ACBC24.7. 【答案】C；【解析】ADOE,BHOG,CEOF,所以236018012951.8. 【答案】B；【解析】连接 AD，易证三角形 ABD 为等边三角形，CE DE1，AEDE2，所以 ACAECE213.二.填空题9. 【答案】4；【解析】因为 AECE， 90，所以 为 AC 的中点.AC2AB4.1ABE1B10.【答案】 ；5,6ba【解析】
24、由题意 15，3 8，解得 .b5,6ba11 【答案】9；【解析】因为 DEBC， 所以DFBFBC，EFCFCB， 因为FBCFBD，FCBFCE， 所以FBDDFB，FCEEFC， 所以 BDDF，CEEF， 所以 BDCEDFFEDE，所以DEBDCE912.【答案】2；【解析】过 P 作 PEOB 于 E，所以 PDPE，因为 PCOA，所以BCPBOA30，在 RtPCE 中，PE PC，所以 PE 42，因为 PEPD，所以 PD212113 【答案】40；【解析】ABAC，所以ABCACB， 又OBCOCA， ABCACB2（OBCOCB） ， BOC110，OBCOCB70，
25、 ABCACB140，A180（ABCACB）4014.【答案】4；【解析】过 D 作 DPBC，此时 DP 长的最小值是.因为ABDCBD，所以 ADDP4.15.【答案】8 ；cm【解析】延长 ED 到 BC 于 M，延长 AD 到 BC 与 N，ABAC，AD 平分BAC，ANBC，BNCN，EBCE60，BEM 为等边三角形，BE6 ，DE2cm，DM4，NDM30，NM2，BN4，BC8 cm16.【答案】15；【解析】因为六边形 ABCDEF 的六个内角都相等为 120，每个外角都为 60，向外作三个三角形，进而得到四个等边三角形，如图，设 AF ，EF ，则有 13 23328
26、所以xyxy4， 2，六边形 ABCDEF 的周长13322415.xy三.解答题17 【解析】证明：延长 FE 到 G，使 EGEF，连接 CG，在DEF 和CEG 中，EDEC，DEFCEG，FEEG，DEFCEG，DFGC，DFEG，DFAB，DFEBAE，DFAC，GCAC，GCAE，BAECAE，即 AE 平分BAC18 【解析】解：（1）ABC 为等边三角形，ABC60，ABBCCA2在BEP 中，PEBE，B60，BPE30，而 BP ，BE ，EC2 ，x1x1x在CFE 中，C60，EFCF，FEC30，所以 FC1 x，4同理在FAQ 中，可得 AQ ，28而 AQ ，所以
27、 （0 2） yx（2）当点 P 与点 Q 重合时，有 AQBPAB2， 2，所以x,18yx解得 43当 BP 的长为 时，点 P 与点 Q 重合19 【解析】解：（1）如图ABC 中，ABAC，BAC30，ABCACB 75(1803)2DBDC，DCB30，DBCDCB301ABCDBC753045 ABAC，DBDC，AD 所在直线垂直平分 BCAD 平分BAC2 BAC 15 2130ADE12 451560 证明：（2）连接 AM，取 BE 的中点 N，连接 ANADM 中，DMDA，ADE60，ADM 为等边三角形 ABE 中，ABAE，N 为 BE 的中点，BNNE，且 ANBEDNNM BNDN NENM，即 BDMEDBDC，MEDC 20.【解析】证明：作BAC 的角平分线交 BD 于 HBAHCAH45ABAC,ABCC45 BAHCANBD 于 M，AMD90NADADB90BAC90ABDADB90ABDNAC在ABH 与CAN 中CBAHNDABHCANAHCND 为 AC 边上的中点ADCD在AHD 与CND 中CDAHNAHDCNDADBCDNMNHDCBA
