1、- 1 -24.1.2 垂直于弦的直径一、课前预习 (5 分钟训练)1.如图 24-1-2-1，AB 是O 的弦，CD 是O 的直径，CDAB，垂足为 E，则可推出的相等关系是_.图 24-1-2-1 图 24-1-2-2 图 24 -1-2-32.圆中一条弦把和它垂直的直径分 成 3 cm 和 4 cm 两部分，则这条弦弦长为_.3.判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦.4.圆 O 的半径 OA=6,OA 的垂直平分线交圆 O 于 B、C,那么弦 BC 的长等于_.二、课中强化(10 分钟训练)1.圆是轴对称图形，它的对称轴是_.2.如图 24-1-2-2，在O 中
2、，直径 MN 垂直于弦 AB，垂足为 C，图中相等的线段有_，相等的劣弧有_.3.在图 24-1-2-3 中，弦 AB 的长为 24 cm，弦心距 OC=5 cm，则O 的半径 R=_ cm.4.如图 24-1-2-4 所示，直径为 10 cm 的圆中，圆心到弦 AB 的距离为 4 cm.求弦 AB 的长.图 24-1-2-4三、课后巩固(30 分钟训练)1.如图 24-1-2-5,O 的半径 OA=3,以点 A 为圆心,OA 的长为半径画弧交O 于 B、C,则 BC 等于( )A.3 B.3 C. D.232323- 2 -图 24-1-2-5 图 24-1-2-62.如图 24-1-2-6
3、，AB 是O 的弦，半径 OCAB 于点 D，且 AB=8 cm，OC=5 cm，则 OD 的长是( )A.3 cm B.2.5 cm C.2 cm D.1 cm3.O 半径为 10，弦 AB=12，CD=16，且 ABCD.求 AB 与 CD 之间的距离.4.如图 24-1-2-7 所示，秋千链子的长度为 3 m，静止时的秋千踏板( 大小忽略不计)距地面 0.5 m.秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角) 约为 60，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？图 24-1-2-75 . “五段彩虹展翅飞” ，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图 24-1-2-8(
4、1)已于今年 5 月12 日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图 24-1-2-8(1).最高 的圆拱的跨度为 110 米，拱高为 22 米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为_ 米.图 24-1-2-8- 3 -6.如图 24-1-2-9，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点 A、B、C.(1)用尺规作图法，找出弧 BAC 所在圆的圆心 O；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设ABC 为等腰三角形，底边 BC=10 cm，腰 AB=6 cm，求圆片的半径 R；(结果保留根号)(3)若在(2)题中的 R 满足 nRm(m、n 为正整数) ，试估算 m 和 n的值.图 24-1-2-9
5、7.O 的直径为 10，弦 AB 的长为 8，P 是弦 AB 上的一个动点，求 OP 长的取值范围.4 （开放题）AB 是O 的直径，AC、AD 是O 的两弦，已知 AB=16，AC=8，AD=8，求DAC 的度数4.如图,圆 O 与矩形 ABCD 交于 E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求 BE 的长.- 4 -参考答案一、课前预习 (5 分钟训练)1.如图 24-1-2-1，AB 是O 的弦，CD 是O 的直径，CDAB，垂足为 E，则可推出的相等关系是_.图 24-1-2-1思路解析：根据垂径定理可得.答案：OC=OD 、AE=BE 、弧 AC=弧 BC、弧 AD=弧 BD
6、2.圆中一条弦把和它垂直的直径分 成 3 cm 和 4 cm 两部分，则这条弦弦长为_.思路解析：根据垂径定理和勾股定理计算.答案：4 cm33.判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦.思路解析：（1）圆的对称轴是直线，而不是线段；（2）这里的弦是直径，结论就不成立.由于对概念或定理理解不透，造成判断错误.答案：两个命题都错误.4.圆 O 的半径 OA=6,OA 的垂直平分线交圆 O 于 B、C,那么弦 BC 的长等于_ _.思路解析：由垂径定理及勾股定理可得或可证BCO 是等边三角形.答案:6二、课中强化(10 分钟训练)1.圆是轴对称图形，它的对称轴是_.思路解析：
7、根据圆的轴对称性回答.答案：直径所在的直线2.如图 24-1-2-2，在O 中，直径 MN 垂直于弦 AB，垂足为 C，图中相等的线段有_，相等的劣弧有_.- 5 -图 24-1-2-2 图 24 -1-2-3思路解析：由垂径定理回答.答案：OM=ON，AC=BC 弧 AM=弧 BM3.在图 24-1-2-3 中，弦 AB 的长为 24 cm，弦心距 OC=5 cm，则O 的半径 R=_ cm.思路解析：连结 AO， 得 RtAOC，然后由勾股定理得出.答案：134.如图 24-1-2-4 所示，直径为 10 cm 的圆中，圆心到弦 AB 的距离为 4 cm.求弦 AB 的长.图 24-1-2
8、-4思路分析：利用“圆的对称性”：垂直于弦的直径平分这条弦.由 OMAB 可得 OM 平分 AB，即 AM= AB.连结半径 OA 后可构造 Rt，利用勾股定理求解.21解：连结 OA.OMAB ，AM= AB.21OA= 10=5，OM =4，AM= =3.AB=2AM=6(cm).22OMA三、课后巩固(30 分钟训练)1.如图 24-1-2-5,O 的半径 OA=3,以点 A 为圆心,OA 的长为半径画弧交O 于 B、C,则 BC 等于( )A.3 B.3 C. D.232323图 24-1-2-5 图 24-1-2-6- 6 -思路解析：连结 AB、BO，由题意知：AB=AO=OB，所
9、以AOB 为等边三角形.AO 垂直平分 BC,所以 BC=2 =3 .23答案：B2.如图 24-1-2-6，AB 是O 的弦，半径 OCAB 于点 D，且 AB=8 cm，OC=5 cm，则 OD 的长是( )A.3 cm B.2.5 cm C.2 cm D.1 cm思路解析：因为 AB 是O 的弦，半径 OCAB 于点 D，且 AB=8 cm，OC=5 cm，连结 OA，在 RtODA 中，由勾股定理得 OD=3 cm.答案：A3.O 半径为 10，弦 AB=12，CD=16，且 ABCD.求 AB 与 CD 之间的距离.思路分析：本题目属于“图形不明确型”题目，应分类求解.解：(1)当弦
10、 AB 与 CD 在圆心 O 的两侧时，如图(1)所示.作 OGAB，垂足为 G，延长 GO 交 CD 于 H，连结 OA、OC.ABCD ，GHAB ，GHCD.OGAB，AB=12 ，AG= AB=6.21同理,CH= CD=8.RtAOG 中，OG= =8.2AGORtCOH 中，OH= =6.2CHGH=OGOH=14.(2)当弦 AB 与 CD 位于圆心 O 的同侧时，如图(2)所示.GH=OG-OH=8-6=2.4.如图 24-1-2-7 所示，秋千链子的长度为 3 m，静止时的秋千踏板( 大小忽略不计)距地面 0.5 m.秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角
11、) 约为 60，则秋千踏板与地面的最大距离约为- 7 -多少？图 24-1-2-7思路分析：设秋千链子的上端固定于 A 处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于 B 处.过点 A、B 的铅垂线分别为 AD、BE，点 D、E 在地面上，过 B 作 B CAD 于点 C.解直角三角形即可.解：设秋千链子的上端固定于 A 处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于 B 处.过点 A、B 的铅垂线分别为 AD、BE，点 D、E 在地面上，过 B 作 BCAD 于点 C.如图.在 Rt ABC 中，AB=3，CAB=60，AC=3 =1.5（m）.21CD=3+0.5-1.5=2（m）.BE=CD=2（m）.答：
12、秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为 2 m.5 . “五段彩虹展翅飞” ，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图 24-1-2-8(1)已于今年 5 月12 日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图 24-1-2-8(1).最高 的圆拱的跨度为 110 米，拱高为 22 米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为_ 米.图 24-1-2-8思路解析：本题考查垂径定理的应用，用列方程的方法解决几何问题，会带来许多方便.- 8 -连结 OC.设圆拱的半径为 R 米，则 OF=（R22） （米）.OECD，CF= CD= 110=55（米）.21根据勾股定理，得 OC2=CF2OF
13、2，即 R2=552（R22） 2.解这个方程，得 R=79.75（米）.所以这个圆拱所在圆的直径是 79.752=159.5（米）.答案:159.56.如图 24-1-2-9，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点 A、B、C.图 24-1-2-9(1)用尺规作图法，找出弧 BAC 所在圆的圆心 O；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设ABC 为等腰三角形，底边 BC=10 cm，腰 AB=6 cm，求圆片的半径 R；(结果保留根号)(3)若在(2)题中的 R 满足 nRm(m、n 为正整数) ，试估算 m 和 n的值.思路分析：（1）作 AB、AC 的中垂线即得圆片圆心 O；（2）已知 BC
14、和 AB 的长度，所以可以构造直角三角形利用勾股定理可求得半径 R；（3）根据半径的值确定 m、n 的值.（1）作法：作 AB、AC 的垂直平分线，标出圆心 O.（2）解:连结 AO 交 BC 于 E，再连结 BO.AB=AC ， AB=AC.AE BC. BE= BC=5 .21在 Rt ABE 中， AE= = = .2BA5361在 Rt OBE 中， R2=52（R- ） 2，解得 R= （cm）.18（3）解:5 = =6，39895R6.nRm，m=6，n=5.7.O 的直径为 10，弦 AB 的长为 8，P 是弦 AB 上的一个动点，求 OP 长的取值范围.- 9 -思路分析：求出 OP 长的最小值和最大值即得范围，本题考查垂径定理及勾股定理.该题创新点在于把线段 OP 看作是一个变量，在动态中确定 OP 的最大值和最小值.事实上只需作 OMAB，求得 OM 即可.解：如图，作 OMAB 于 M，连结 OB，则 BM= AB= 8=4.21在 Rt OMB 中，OM = =3.2BO45当 P 与 M 重合时， OP 为最短；当 P 与 A（或 B）重合时，OP 为最长.所以 OP 的取值范围是 3OP5.
