1、上机习题1.先用你所熟悉的的计算机语言将不选主元和列主元 Gauss 消去法编写成通用的子程序；然后用你编写的程序求解 84 阶方程组；最后将你的计算结果与方程的精确解进行比较，并就此谈谈你对 Gauss 消去法的看法。Sol：（1 ）先用 matlab 将不选主元和列主元 Gauss 消去法编写成通用的子程序，得到 ：PUL,不选主元 Gauss 消去法： 得到 满足)(,AGausLUU,A列主元 Gauss 消去法： 得到 满足,ColPLP,L（2 ） 用前代法解 ，得bory y用回代法解 ，得Ux求解程序为 （ 可缺省，缺省时默认为单位矩阵）PLbAGaus,（3 ）计算脚本为 e
2、x1_1代码%算法 1.1.3（计算三角分解：Gauss 消去法）function L,U=GaussLA(A)n=length(A);for k=1:n-1A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k);A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n);endU=triu(A);L=tril(A);L=L-diag(diag(L)+diag(ones(1,n);end%算法 1.2.2(计算列主元三角分解：列主元 Gauss 消去法）function L,U,P=GaussCol(A)n=length(A);for k=1:n-
3、1s,t=max(abs(A(k:n,k);p=t+k-1;temp=A(k,1:n);A(k,1:n)=A(p,1:n);A(p,1:n)=temp;u(k)=p;if A(k,k)=0A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k);A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n);else break;endendL=tril(A);U=triu(A);L=L-diag(diag(L)+diag(ones(1,n);P=eye(n);for i=1:n-1temp=P(i,:);P(i,:)=P(u(i),:);P(u(i),
4、:)=temp;endend%高斯消去法解线性方程组function x=Gauss(A,b,L,U,P)if nargin5P=eye(length(A);endn=length(A);b=P*b;for j=1:n-1b(j)=b(j)/L(j,j);b(j+1:n)=b(j+1:n)-b(j)*L(j+1:n,j);endb(n)=b(n)/L(n,n);y=b;for j=n:-1:2y(j)=y(j)/U(j,j);y(1:j-1)=y(1:j-1)-y(j)*U(1:j-1,j);endy(1)=y(1)/U(1,1);x=y;endex1_1clc;clear;%第一题A=6*e
5、ye(84)+diag(8*ones(1,83),-1)+diag(ones(1,83),1);b=7;15*ones(82,1);14;%不选主元 Gauss 消去法L,U=GaussLA(A);x1_1=Gauss(A,b,L,U);%列主元 Gauss 消去法L,U,P=GaussCol(A);x1_2=Gauss(A,b,L,U,P);%解的比较subplot(1,3,1);plot(1:84,x1_1,o-);title(Gauss);subplot(1,3,2);plot(1:84,x1_2,.-);title(PGauss);subplot(1,3,3);plot(1:84,on
6、es(1,84),*-);title(精确解);结果为（其中 Gauss 表示不选主元的 Gauss 消去法， PGauss 表示列主元 Gauss消去法，精确解为 ）：841,0 50 100-6-4-20246x 108 Gauss0 50 10011111111 PGauss0 50 10000.20.40.60.811.21.41.61.82 平 平 平由图，显然列主元消去法与精确解更为接近，不选主元的 Gauss 消去法误差比列主元消去法大，且不如列主元消去法稳定。Gauss 消去法重点在于 A 的分解过程，无论 A 如何分解，后面两步的运算过程不变。2.先用你所熟悉的的计算机语言将
7、平方根法和改进的平方根法编写成通用的子程序；然后用你编写的程序求解对称正定方程组 Ax=b。Sol：（1 ）先用 matlab 将平方根法和改进的平方根法编写成通用的子程序，得到 L，(D)：平方根法：L=Cholesky(A)改进的平方根法：L,D=LDLt(A)（2 ） 求解得 bLy求解得 yxDorxTT 求解程序为 x=Gauss(A,b,L,U,P)（ ， 此时缺省，缺省时默认为TTDLUor P单位矩阵）（3 ） 计算脚本为 ex1_2代码%算法 1.3.1（计算 Cholesky 分解：平方根法）function L=Cholesky(A)n=length(A);for k=1
8、:nA(k,k)=sqrt(A(k,k);A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k);for j=k+1:nA(j:n,j)=A(j:n,j)-A(j:n,k)*A(j,k);endendL=tril(A);end%计算 LDL分解：改进的平方根法function L,D=LDLt(A)n=length(A);for j=1:nfor i=1:nv(i,1)=A(j,i)*A(i,i);endA(j,j)=A(j,j)-A(j,1:j-1)*v(1:j-1,1);A(j+1:n,j)=(A(j+1:n,j)-A(j+1:n,1:j-1)*v(1:j-1,1)/A(j,j);end
9、L=tril(A);D=diag(diag(A);L=L-diag(diag(L)+diag(ones(1,n);end%高斯消去法解线性方程组function x=Gauss(A,b,L,U,P)if nargin5P=eye(length(A);endn=length(A);b=P*b;for j=1:n-1b(j)=b(j)/L(j,j);b(j+1:n)=b(j+1:n)-b(j)*L(j+1:n,j);endb(n)=b(n)/L(n,n);y=b;for j=n:-1:2y(j)=y(j)/U(j,j);y(1:j-1)=y(1:j-1)-y(j)*U(1:j-1,j);endy(
10、1)=y(1)/U(1,1);x=y;endex1_2%第二题%第一问A=10*eye(100)+diag(ones(1,99),-1)+diag(ones(1,99),1);b=round(100*rand(100,1);%平方根法L=Cholesky(A);x1_2_1_1=Gauss(A,b,L,L);%改进的平方根法L,D=LDLt(A);x1_2_1_2=Gauss(A,b,L,D*L);%第二问A=hilb(40);b=sum(A);b=b;%平方根法L=Cholesky(A);x1_2_2_1=Gauss(A,b,L,L);%改进的平方根法L,D=LDLt(A);x1_2_2_2
11、=Gauss(A,b,L,D*L);结果分别为x1_2_1_1 =7.25868.4143-0.40138.59845.41770.22492.33364.43898.27728.7890-0.16678.87848.38243.29787.64010.30143.34578.24186.23688.39065.8575-0.96567.79817.98425.36016.41436.49662.62016.30240.35637.1342-0.69852.85060.19270.22277.58015.97621.65839.4409-1.06774.23622.70606.70377.25700.72654.47783.49595.56375.86756.76141.51806.05825.90020.93970.7031
