1、习题 1.21 =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1 的特解。dxy解： =2xdx 两边积分有：ln|y|=x +c2y=e +e =cex 另外 y=0 也是原方程的解，c=0 时，y=02xc2原方程的通解为 y= cex ,x=0 y=1 时 c=12特解为 y= e .2x2. y dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解。2解：y dx=-(x+1)dy dy=- dx2yd1x两边积分: - =-ln|x+1|+ln|c| y=1|)(|lnc另外 y=0,x=-1 也是原方程的解 x=0,y=1 时 c=e特解：y= |)1(|lnxc3 =dxy
2、32解：原方程为： =dxy213xdy= dx y213两边积分：x(1+x )(1+y )=cx224. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为： dy=- dxy1x1两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0 也是原方程的解。5 （y+x）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：=-dxy令 =u 则 =u+x 代入有：dxu- du= dx12uln(u +1)x =c-2arctgu即 ln(y +x )=c-2arctg .22xy6. x -y+ =0dy解：原方程为： = + -dxy|2)(1xy则令 =u =u+ x udu=sgnx dx21u1a
3、rcsin =sgnx ln|x|+cxy7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程为： =tgydcx两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|siny= = 另外 y=0 也是原方程的解，而 c=0 时，y=0.os1所以原方程的通解为 sinycosx=c.8 + =0dxyex32解：原方程为： = edxy2x32 e -3e =c.x32y9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为： = lndxy令 =u ,则 =u+ xyuu+ x =ulnuduln(lnu-1)=-ln|cx|1+ln =cy.y10. =edxy解：原方程为： =e edxye
4、 =cey11 =(x+y)dx2解：令 x+y=u,则 = -1dxyu-1=uu2du=dx21arctgu=x+carctg(x+y)=x+c12. =dxy2)(解：令 x+y=u,则 = -1dxyu-1=u21u-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c.13. =dxy12解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y -y)-dx +x=c2xy-y +y-x -x=c14: =dxy5解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dx
5、y-d( y +2y)-d( x +5x)=0212y +4y+x +10x-2xy=c.15: =(x+1) +(4y+1) +8xydxy221解：原方程为： =（x+4y） +3dxy2令 x+4y=u 则 = -4u- =u +341xu2=4 u +13du= tg(6x+c)-123tg(6x+c)= (x+4y+1).16:证明方程 =f(xy),经变换 xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程：yxd1） y(1+x y )dx=xdy22） =x2- 证明： 令 xy=u,则 x +y=dyu则 = - ，有：12=f(u)+1uxdu= dx)1(fx所以原方程可化为
6、变量分离方程。1） 令 xy=u 则 = - (1)dyu2原方程可化为： = 1+（xy） (2)x将 1 代入 2 式有： - = (1+u )12x2u= +cxu17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。解：设（x +y ）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y(x- x )+ y 则与 x 轴，y 轴交点分别为：x= x - y= y - x y00则 x=2 x = x - 所以 xy=c00y18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为 0 的曲线方程，其中 = 。4解：由题意得：y= dy= dxxy1xln|y|=ln|xc| y=cx.= 则 y=tg x 所以 c=1 y=x.419.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则 y=kx则：y=kx +c 即为所求。2
