1、湖州市弘大培训学校1圆与方程 1. 圆的标准方程：以点 为圆心， 为半径的圆的标准方程是 .),(baCr 22)()(rbyax特例：圆心在坐标原点，半径为 的圆的方程是： .2ry2. 点与圆的位置关系：(1). 设点到圆心的距离为 d，圆半径为 r：a.点在圆内 dr； b.点在圆上 d=r； c.点在圆外 dr(2). 给定点 及圆 .),(0yxM22)()(:rbyaxC 在圆 内 C02 在圆 上 20)()rbyax（ 在圆 外M02（3）涉及最值：1 圆外一点 ，圆上一动点 ，讨论 的最值BPBminNCraxM2 圆内一点 ，圆上一动点 ，讨论 的最值APAminNrACa
2、xM思考：过此 点作最短的弦？（此弦垂直 ）AAC3. 圆的一般方程： .02FEyDx(1) 当 时，方程表示一个圆，其中圆心 ，半径4 2,EDC湖州市弘大培训学校2.24FEDr(2) 当 时，方程表示一个点 .02,ED(3) 当 时，方程不表示任何图形.2注：方程 表示圆的充要条件是： 且 且02FEyDxCyBxA 0B0CA.042FED4. 直线与圆的位置关系： 直线 与圆 CByAx 22)()(rbyax圆心到直线的距离 2BAd1） ；无 交 点直 线 与 圆 相 离 rd2） ；只 有 一 个 交 点直 线 与 圆 相 切3） ；弦长|AB| =2有 两 个 交 点直
3、线 与 圆 相 交rd 2drdrd=rr d还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组 求解，通过解02FEyDxCBA的个数来判断：（1）当 时，直线与圆有 2 个交点， ，直线与圆相交；0（2）当 时，直线与圆只有 1 个交点，直线与圆相切；（3）当 时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；5. 两圆的位置关系（1）设两圆 与圆 ，21211)()(:rbyaxC 22)()(: rbyaxC圆心距 22d1 ；条 公 切 线外 离 421r湖州市弘大培训学校32 ；交交321rd3 ；交24 ；交121r5 ；交0d外离 外切 相交 内切 （2）两圆公共弦所在直线方程圆 ： ， 1C2110x
4、yDEyF圆 ： ，222x则 为两相交圆公共弦方程.111y补充说明：1 若 与 相切，则表示其中一条公切线方程；1C22 若 与 相离，则表示连心线的中垂线方程 .（3）圆系问题过两圆 ： 和 ： 交点的圆系1C2110xyDEyF2C220xyDxEyF方程为 （ ）2x1补充：1 上述圆系不包括 ；22 2）当 时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）13 过直线 与圆 交点的圆系方程为0AxByC20xyDEF2 0xyDEF6. 过一点作圆的切线的方程：(1) 过圆外一点的切线：湖州市弘大培训学校4k 不存在，验证是否成立k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离 =半径，即1)(2
5、001Rxakyb求解 k，得到切线方程【一定两解】例 1. 经过点 P(1，2)点作圆( x+1)2+(y2)2=4 的切线，则切线方程为 。(2) 过圆上一点的切线方程：圆( xa)2+(yb)2=r2，圆上一点为( x0， y0)，则过此点的切线方程为( x0a)(xa)+(y0b)(yb)= r2 特别地，过圆 上一点 的切线方程为 .2ry,P20ryx例 2.经过点 P(4，8)点作圆( x+7)2+(y+8)2=9 的切线，则切线方程为 。7切点弦(1)过 C： 外一点 作 C 的两条切线，切点分别为22)()(rbyax),(0yxP，则切点弦 所在直线方程为：BA、 A 20
6、)(rbya8. 切线长：若圆的方程为( xa)2( yb)2=r2，则过圆外一点 P(x0,y0)的切线长为 d=020(+)x9. 圆心的三个重要几何性质：1 圆心在过切点且与切线垂直的直线上；2 圆心在某一条弦的中垂线上；3 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法例.已知圆 C1： x2 +y2 2x =0 和圆 C2： x2 +y2 +4 y=0，试判断圆和位置关系，湖州市弘大培训学校5若相交，则设其交点为 A、B，试求出它们的公共弦 AB 的方程及公共弦长。一、求圆的方程例 1 (06 重庆卷文) 以点 为圆心且与直线 相切
7、的圆的方程为( )1,2(0543yx(A) (B)32(yx )1()2(2(C) (D)9)()2 9yx二、位置关系问题例 2 (06 安徽卷文 ) 直线 与圆 没有公共点，则 的取值范1yx022a)(a围是( )(A) (B)1,0),(C) (D)2(120三、切线问题例 3 (06 重庆卷理) 过坐标原点且与圆 相切的直线方程为( )02542yx(A) 或 (B) 或xy31y31(C) 或 (D) 或x四、弦长问题例 4 (06 天津卷理 ) 设直线 与圆 相交于 两点，03ya4)2()1(2yBA、且弦 的长为 ，则 .AB32五、夹角问题例 5 (06 全国卷一文) 从
8、圆 外一点 向这个圆作两条切线，则0122yx)2,3(P两切线夹角的余弦值为( )(A) (B) (C) (D) 021532六、圆心角问题湖州市弘大培训学校6例 6 (06 全国卷二) 过点 的直线 将圆 分成两段弧，当劣弧所对的圆心)2,1(l4)2(yx角最小时，直线 的斜率 .lk七、最值问题例 7 (06 湖南卷文) 圆 上的点到直线 的最大距离0142yx14yx0与最小距离的差是( )(A) 30 (B) 18 (C) (D)65八、综合问题例 8 (06 湖南卷理) 若圆 上至少有三个不同的点到直线0142yx的距离为 ，则直线 的斜率 k 取值范围_0:byaxl l圆的方
9、程1.方 程 x2+y2 2（ t+3） x+2（ 1 4t2） y+16t4+9=0（ t R） 表 示 圆 方 程 ， 则 t 的 取 值 范 围 是A.1t B.1 t C. t1 D.1t2772. 一圆与 y 轴相切，圆心在直线 x3y=0 上，且直线 y=x 截圆所得弦长为 2 ，求此圆的方程.73.方 程 x2 y2 Dx Ey F 0（ D2 E2 4F 0） 表 示 的 曲 线 关 于 x+y=0 成 轴 对 称 图 形 ， 则 （ ）A.D+E=0B. B.D+F=0 C.E+F=0 D. D+E+F=04.（2004 年全国，8）在坐标平面内，与点 A（1，2）距离为 1
10、，且与点 B（3，1）距离为 2 的直线共有（ ）A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条5. （2005 年黄冈市调研题）圆 x2+y2+x6y +3=0 上两点 P、Q 关于直线 kxy +4=0 对称，则k=_.6.（2004 年全国卷，16）设 P 为圆 x2+y2=1 上的动点，则点 P 到直线 3x4y10=0 的 距离的最小值为_.湖州市弘大培训学校77.已知实数 x、y 满足方程 x2+y24x+1=0.求（1） 的最大值和最小值；（2）yx 的最小值；（3）x 2+y2 的最大值和最小值.经过两已知圆的交点的圆系例 1 求经过两已知圆： 和 的交点且圆心的横坐标为064
11、2xy0642y3 的圆的方程。例 2 设圆方程为：其中 401648)4012()()4()(22 yxyx 求证： 不论 为何值，所给圆必经过两个定点。直线与圆的位置关系例1：求由下列条件所决定圆 的圆的切线方程；42yx(1) 经过点 ，(2)经过点 ，(3)斜率为),3(P)0,3(Q1湖州市弘大培训学校8直线和圆1自点（3，3）发出的光线 L 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射线所在直线与圆相切，求光线 L 所在直线方程0742yx2. 求圆心在直线 上，且过两圆 ，0xy21024xyy2xy交点的圆的方程28x3. （2002 北京文，16）圆 x2y 22x 2y10 上的动点 Q 到直线 3x4y80 距离的最小值为 弦长【例题】 已知直线 lx+2y-2=0 与圆 Cx 2+y2=2 相交于 A、B 两点，求弦长 AB.
