1、高等数学（一）期末复习题一、选择题1、极限 的结果是 （ C ）2lim()xx（A） （B） （C） （D）不存在0122、方程 在区间 内 （ B ）31(0,)（A）无实根 （B）有唯一实根 （C）有两个实根 （D）有三个实根3、 是连续函数, 则 是 的 （ C ）)(xfdxf)()(f（A）一个原函数； (B) 一个导函数； (C) 全体原函数； (D) 全体导函数；4、由曲线 和直线 所围的面积是 （ C ）)0siny0y（A） (B) (C) (D) 2/1125、微分方程 满足初始条件 的特解是 ( D )x |0x（A） （B） （C） （D）333231x6、下列变量中
2、，是无穷小量的为（ A ）(A) (B) (C) (D) )1(lnx)0(1lnxcos (0)x)2(42x7、极限 的结果是（ C ）0imsi)x（A） （B） （C ） （D）不存在18、函数 在区间 上 （ A ）arctnxye,（A）单调增加 （B）单调减小 （C）无最大值 （D）无最小值9、不定积分 = （ D ）dx12(A) (B) (C) (D) arctnC2ln(1)arctn2xC21ln()xC10、由曲线 和直线 所围的面积是 （ A ）)0(xey0y（A） (B) (C) (D) 1e11、微分方程 的通解为 （ B ）dyx（A） （B） （C） （D）
3、2xCe21xyeCxye2xye12、下列函数中哪一个是微分方程 的解( D )03（A） （B） （C） （D）2xyxy2xy3xy13、 函数 是 （ C ）1cosin(A) 奇函数； (B) 偶函数； (C)非奇非偶函数； (D)既是奇函数又是偶函数.14、当 时， 下列是无穷小量的是 （ B ）0x（A） (B) (C) (D) 1e)1ln(x)1sin(x1x15、当 时，下列函数中有极限的是 （ A ）（A） (B) (C) (D) 21xcosxearctn16、方程 的实根个数是 （ B ）30()p（A）零个 （B）一个 （C）二个 （D）三个17、 （ B ）21(
4、)dx（A） （B） （C） （D） 21xarctnxarctnx18、定积分 是 （ C ）()bafx（A）一个函数族 （B） 的的一个原函数 （C）一个常数 （D）一个非负常数()f19、 函数 是（ A ）2ln1y（A）奇函数 （B）偶函数 （C） 非奇非偶函数 （D）既是奇函数又是偶函数20、设函数 fx在区间 0,上连续，在开区间 0,1内可导，且 0fx，则( B ) (A) 0f (B) 1f (C) f (D) 1f21、设曲线 则下列选项成立的是（ C ）21xye令(A) 没有渐近线 (B) 仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (D) 仅有水平渐近线
5、22、 ( D )(cosin)xd（A） （B） sxCsincosxC（C） （D） sinco23、数列 的极限为（ A）)1(（A） (B) (C) (D) 不存在024、下列命题中正确的是（ B ）（A）有界量和无穷大量的乘积仍为无穷大量（B）有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量（C）两无穷大量的和仍为无穷大量 （D）两无穷大量的差为零25、若 ，则下列式子一定成立的有（ C ）()fxg(A) (B) ()()dfxg(C) (D)()()dfxx 126、下列曲线有斜渐近线的是 ( C )(A) (B) siny 2sinyx(C) (D)1x 1二、填空题 1、 20coslim
6、x122、 若 ，则 2 )(xef )0(f3、 2 13cos51d4、 dxet texC5、微分方程 满足初始条件 的特解为 0y 0|xy 2xye6、 0 24 lim3x7、 极限 4li2xx 38、设 则 1 sin1,yx()2f9、 2 1(cod10、 23x3arctnxC11、微分方程 的通解为 yd2y12、 2 145x13、 1 sinlimx14、设 ，则 2coydy2sinxd15、设 则 -1 s3,x()f16、不定积分 xeCx2e117、微分方程 的通解为 2y21xye2 2222110, 0xxxxdeedyCyxee代 入 上 式 可 得
7、到所 求 的 特 解 为 或 者18、微分方程 的通解是 ylnyC19、 xx3)21(lim6e20、 ,xy设 函 数 则 (ln1)x21、 的值是 )21(li2nn 222、 3)(limxx123、 ,xyd设 函 数 则 (ln1)xd24、 2031lim4xx1425、若 ，则 2 2()sin6xfe)0(f26、 51i)ad ().a为 任 意 实 数27、设 ，则微分 _ _. ln(xyey1xed28、 2 322(cos)d 1x三、解答题1、 （本题满分 9分）求函数 的定义域。16yx解：由题意可得， 102x解得 所以函数的定义域为 1，2 2、 （本题
8、满分 10分）设 ，求 。()1)(2(014)fxx (0)f解： )0(f0xlim0li12)(4)x !3、 （本题满分 10分）设曲线方程为 ,求曲线在点 处的切线方16231xxy )1,0(程。解：方程两端对 x 求导，得 2将 代入上式，得 0(0,1)6y从而可得：切线方程为 即 )x61yx4、 （本题满分 10分）求由直线 及抛物线 所围成的平面区域的面积。y2解：作平面区域，如图示 11 y =x2y =x0yx解方程组 得交点坐标：（0，0） ， （1，1） 2xy所求阴影部分的面积为： = =dxS)(102103265、 （本题满分 10分）讨论函数 在 处的连续
9、性。 ()31fx解： 11 lim()li2()xxff11li()li3(1)xxff 在 处是连续的()f6、 （本题满分 10分）求微分方程 的特解。321xyd|解：将原方程化为 dy)(2两边求不定积分，得 ，于是 d23yxC将 代入上式，有 ，所以 ， 31xy| 31C1故原方程的特解为 。2xy7、 （本题满分 9分）求函数 的定义域。4cos5x解：由题意可得， 405x解得 所以函数的定义域为 4，5 8、 （本题满分 10分）设 ，求 。()1)(2()(2)fxxn (0)f解： )0(f0xlim0li12)()x n !9、 （本题满分 10分）设平面曲线方程为
10、 ，求曲线在点（2，1）处的32yx切线方程。解：方程两端对 x 求导，得 062y)(将点（2，1）代入上式，得 1),(y从而可得：切线方程为 即x3y10、 （本题满分 10分）求由曲线 及直线 和 所围成的平面图形的面积（如ye1x下图） 解：所求阴影部分的面积为 10()xSed2e11、 （本题满分 10分）讨论函数 在 处的连续性。 0()1xfex解： 00 lim()li(0)xxfef00li()li()xxff 在 处是连续的。()f12、 （本题满分 10分）求方程 的通解。0)1()(22dyxy解：由方程 ，得0)1()(22dyxy221xyd两边积分： 221x
11、dy得 Cxyarctnt所以原方程的通解为： 或Carctn)tan(rcCxy13、 （本题满分 10分）证明方程 在区间 内至少有一个实根。475x)2,1解：令 ， 在 上连续 5()74Fx()F,， 102由零点定理可得，在区间 内至少有一个 ，使得函数 )2,1(， ()F0475即方程 在区间 内至少有一个实根。x),(14、 （本题满分 10分）设 ，求 。1(2)(015)fxx (0)f解： )0(f0x)(lim0lix 2!15、 （本题满分 10分）求曲线 在点（0，1）处的法线方程。ey解：方程两端对 求导，得 xxy将点（0，1）代入上式，得 e1),0(从而可
12、得： 法线方程为 xy16、 （本题满分 10分）求曲线 与直线 及 轴所围成平面图形的面积。cos2,yxy解：作平面图形，如图示2x2y=2y=cosx0y=220(cos)Sxd(2sin)0x(in)0117、 （本题满分 10分）讨论函数 在 处的连续性。cos 0()1xfx解： 00 lim()licos0xxf00li()li(1)()xxff 在 处是连续的。()f18、 （本题满分 10分）求微分方程 的特解。1|02xyxyd解：将原方程化为 或 )(12dxydx)(2两边求不定积分，得 Cxarctn由 得到 1|0xy4C故原方程的特解为 或 421arctnxy
13、).421tan(xy19、 （本题满分 20分）2(01)1AB(), ,.A BAByx AxVBy VaV曲 线 将 边 长 为 的 正 方 形 分 成 、 两 部 分 如 图 所 示 ， 其 中 绕 轴旋 转 一 周 得 到 一 旋 转 体 记 其 体 积 为 ， 绕 轴 旋 转 一 周 得 到 另 一 旋 转 体 记 其 体 积 为问 当 取 何 值 时 的 值 最 小解： 的 曲 边 梯 形 和为 底 、 高 为由 以 2ax,0.1为 高 的 矩 形 两 部 分 构 成为 底 、，以由切片法可得： )(202AdxyVa14a，542x2y=2y=cosx0y=2Axyo2xya
14、11Ba102dyxVB，2102ayda，令 BA)54()(F)1,0(54:54 驻 点 为，由 令又根据问题的实际意义 的最小值存在, 驻 点 唯 一 ，)(a)(aF.)(54的 最 小 值 点就 是 aF或者, 点 ，为 极 小 值 点 ， 亦 最 小 值又 .540,)(54Fa20、 （本题满分 20分） 假定足球门的宽度为 4 米，在距离右门柱 6 米处一球员沿垂直于底线的方向带球前进，问：该球员应在离底线多少米处射门才能获得最大的射门张角 ？若球员以 5.2 米每秒的速度沿垂直于底线的方向向球门前进，求在距离底线 2 米处，射门张角的变化率。解：由题意可得张角 与球员距底线的距离 满足 x106arctnrtax222d1031xxx 2240(36)1)x令 ，得到驻点 (不合题意，舍去) 及 . 由实际意义可知 , 所求0d6最值存在, 驻点只一个 , 故所求结果就是最好的选择. 即该球员应在离底线 米处射门60才能获得最大的射门张角。若球员以 5.2 米每秒的速度跑向球门，则 . 在距离d52tx球门两米处射门张角的变化率为：(弧度/ 秒)。222dd xxxtt4016(.)0.8(3)21、 （本题满分 10 分）设 ，求1ln()()(0)xtfd 1()fx.BA达 到 最 小时 ，可 见 ： 当 V
