1、1二次函数1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.cbaxy,(2)0ayx2.二次函数 用配方法可化成： 的形式，其中cbax2 khxy2.kh4，3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下；a0a0a相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于 轴（或重合）的直线记作 .特别地， 轴记作直线 .yhxyx4.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的开口方向、a开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.5.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法： ，顶点是 ，对称轴abcxa
2、cbaxy4222 ），（ abc422是直线 .（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形式，得到顶点为khxay2( , )，对称轴是直线 .hkhx（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.6.抛物线 中， 的作用cbxay2a,（1） 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.2axy（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线ba cbxay22，故： 时，对称轴为 轴； （即 、 同
3、号）时，对称轴在 轴左abx20y0abby侧； （即 、 异号）时，对称轴在 轴右侧.b（3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.ccxay2y当 时， ，抛物线 与 轴有且只有一个交点（0， ）：0xcb2 c ，抛物线经过原点; ,与 轴交于正半轴； ,与 轴交于负半轴.c0cycy以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .0ab7.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.cbxay2 xy（2）顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.kh（3）交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通
4、常选用交点式： .x1x2 21xay12.直线与抛物线的交点（1） 轴与抛物线 得交点为(0, ).ycbay2c（2）与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( , ).hxbxay2 hcba2（3）抛物线与 轴的交点二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元二次方程cbay2 1x2的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判02cbxax定：有两个交点 抛物线与 轴相交；有一个交点（顶点在 轴上） 抛物线与 轴相切；0x没有交点 抛物线与 轴相离.0x（4）平行于 轴的直线与抛物线的交点x同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2
5、 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是 的两个实数根.kkcba23（5）一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点，0knxyl 02acbxyG由方程组 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时 与 有两个交点; cbak2 l方程组只有一组解时 与 只有一个交点；方程组无解时 与 没有交点.lGl（6）抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与 轴两交点为x cbxay2，由于 、 是方程 的两个根，故021， BxA1202cbxaacxb1, acbacbxx 4422212121211二次函数 y=x 26x5，当 时， ，且 随 的增大而减小
6、。x0yx2.抛物线 的顶点坐标在第三象限，则 的值为（ ）)(my mA B C D 21m或 10或 013抛物线 y=x22x3 的对称轴是直线（ ）Ax =2 Bx =2 Cx =1 D x =1 4 二次函数 y=x2+2x7 的函数值是 8，那么对应的 x 的值是（ ）A3 B5 C3 和 5 D3 和5 5抛物线 y=x2x 的顶点坐标是（ ）11.(,) .(,).(,) .(,)426二次函数 的图象，如图 1240 所cbxay2示，根据图象可得 a、b、c 与 0 的大小关系是（ ）Aa0，b0，c0 Ba 0，b0，c04Ca 0，b 0，c0 Da 0，b0，c0 7
7、小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数 h=35 t49 t2(t 的单位 s；h 中的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化如图，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ）A071s B0.70s C0.63s D036s8已知抛物线的解析式为 y=（x2） 2l，则抛物线的顶点坐标是（ ）A （2，1）B （2，l） C （2，1）D （1，2）9若二次函数 y=x2x 与 y=x 2+k 的图象的顶点重合，则下列结论不正确的是（ ）A这两个函数图象有相同的对称轴B这两个函数图象的开口方向相反C方程x 2+k=0 没有实数根D二次函数 y=x 2k 的最大值为1210抛物线 y
8、=x2 +2x3 与 x 轴的交点的个数有（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个11抛物线 y=（xl） 2 +2 的对称轴是（ ）A直线 x=1 B直线 x=1 C直线 x=2 D直线 x=212已知二次函数 的图象如图所示，则在“ a0，b cbay20，c 0，b 24ac0”中，正确的判断是（ ）A、 B、 C、 D、13已知二次函数 (a0）的图象如图所示，则下列结论：a 、b 同号；cxy2当 x=1 和 x=3 时，函数值相等；4a+b=0 ；当 y= 2 时，x 的值只能取 0其中正确的个数是（ ）Al 个 B2 个 C3 个 D4 个14如图，抛物线的顶点 P 的坐标是
9、（1，3） ，则此抛物线对应的二次函数有（）A最大值 1 B最小值3 C最大值3 D最小值 115用列表法画二次函数 的图象时先列一个表，当表中对自变量cbxay2x 的值以相等间隔的值增加时，函数 y 所对应的值依次为：20，56，110，182，274，380，506，650其中有一个值不正确，这个不正确的值是（ ）A506 B380 C 274 D182516将二次函数 y=x24x+ 6 化为 y=(xh)2+k 的形式：y=_17把二次函数 y=x24x+5 化成 y=(xh)2+k 的形式：y=_18若二次函数 y=x24x+c 的图象与 x 轴没有交点，其中 c 为整数，则 c=
10、_（只要求写一个） 19抛物线 y=(x1) 2+3 的顶点坐标是 _20二次函数 y=x22x3 与 x 轴两交点之间的距离为_.21. 已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（1,0） 、B （3,0） 、C（0,3）三点，(1)求抛物线的解析式和顶点 M 的坐标(2)若点（x 0,y0）在抛物线上，且 0x04,试写出 y0 的取值范围。22华联商场以每件 30 元购进一种商品，试销中发现每天的销售量 （件）与每件的销售价 （元）yx满足一次函数 y=1623x；（1）写出商场每天的销售利润 （元）与每件的销售价 （元）的函数关系式；wx（2）如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售
11、价定为多少为最合适？最大销售利润为多少？25.已知直线 y2xb(b0)与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B;一抛物线的解析式为 yx 2(b10)xc.若该抛物线过点 B，且它的顶点 P 在直线 y2xb 上，试确定这条抛物线的解析式；过点 B 作直线 BCAB 交 x 轴于点 C，若抛物线的对称轴恰好过 C 点，试确定直线 y2xb的解析式.26已知抛物线 y=(1-m)x2+4x-3 开口向下，与 x 轴交于 A(x1,0)和 B(x2,0)两点，其中 xl5 2. D 21. (1) (1,4) (2) 5y 04 22. (1) W= 3x2+252x4860 (2) W 最大
12、 =432（元） 23. (1) S= t22t (t 0) (2) 当 S=30 时，t=10 (3) 当 T=8 时，S=16 12yxCDABOxx724. (1) y= x2 125(2) 水位约 4 小时上涨到 0,按原速不能安全通过此桥.若要通过需超过 60 千米/小时25. (1) y=x24x6 或 y=x210(2) y= 2x2 (提示，Rt ABC 中，OB 2=OAOC26. (1) 1m (2) y= x2+4x37327 (1) B(2, 0) (2) y= x2+2x+6 12(3) 由抛物线的对称性可知抛物线必过点 C，因此，P 点必定在直线 BD 下方，P1 (1+ ， 3) P2（1 ， 3）21 21 21 2128以围墙的一部分为一边，往外围成一个正多边形（五、六、）R 的一半，如图 S= 10 （20+10220）=300 520 米 212 3 3围成半圆面积最大，最大的面积为：573 米 260 6010 3 202020
