1、 线性代数考试复习提纲、知识点、例题一、行列式的计算（重点考四阶行列式） 1、利用行列式的性质化成三角行列式行列式的性质可概括为五条性质、四条推论，即七种变形手段（转置、交换、倍乘、提取、拆分、合并、倍加） ；三个为 0【两行（列）相同、成比例、一行（列）全为 0】2、行列式按行（列）展开定理降阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 12.iiinDaAaA1,2.iniii例 1、计算行列式401352二、解矩阵方程矩阵方程的标准形式： AXBAXBC若系数矩阵可逆，则 111切记不能写成 或1C求逆矩阵的方法：1、待定系数法 ()ABE或2、伴随矩阵法 1其中
2、 叫做 的伴随矩阵，它是 的每一行的元素的代数余 A子式排在相同序数的列上的矩阵。121212.nnnA3、初等变换法 1AEEA 初 等 行 变 换例 2、解矩阵方程 356427890X例 3、解矩阵方程 ，其中 AB01A12053B三、解齐次或非齐次线性方程组设 ， 元齐次线性方程组 有非零解ijmnAa0AX()rAn元齐次线性方程组 只有零解 。当 时， 元齐次线性方程组 只有零解 。0当 时， 元齐次线性方程组 有非零解 。n0AXA当 时，齐次线性方程组一定有非零解。m定义：设齐次线性方程组 的解 满足：01,.t（1） 线性无关，1,.t（2） 的每一个解都可以由 线性表示。
3、0AX1,.t则 叫做 的基础解系。1,.t定理 1、设 ，齐次线性方程组 ，若 ，则该方程组mn 0AX()rn的基础解系一定存在，且每一个基础解系中所含解向量的个数都等于 。r齐次线性方程组的通解 1.nrxk1,.nrkR设 ， 元非齐次线性方程组 有解 。ijmnAaAXB()rA唯一解 。()rn无数解 。()rA无解 。()r非齐次线性方程组的通解 ， 1.nrxk1,.nrkR例 4、求齐次线性方程组 的通解23410x例 5、求非齐次线性方程组 的通解。123415980xx四、含参数的齐次或非齐次线性方程组的解的讨论例 6、当 为何值时，齐次线性方程组 有非零解，并求 02x
4、yz解。例 7、已知线性方程组 ，问当 为何值时，它有唯1232x一解，无解，无穷多解，并在有无穷多解时求解。五、向量组的线性相关性线性相关 中至少存在一个向量能由其余12,.s12,.()s向量线性表示。存在不全为 0 的数 使得 。12,.sk12.0skk有非零解 有非零解1212,.sk列 212,.s行有非零解12/12,.0.sk12,.sr/12,.sr线性无关 中任意一个向量都不能由其余,.s12,.()s向量线性表示。若 ，则 。12.0skk12.0skk只有零解 只有零解212,.0.sk列 212,.s行12,.sr12/12,.0.sk/12,.sr特殊的， 个 维向
5、量 线性相关 或 。n12,.n12,.0n12.n个 维向量 线性无关 或 。n12,.n12,.0n12.n例 8、已知向量组 ， ， ，1,2t2,0t31,讨论 使该向量组 （1）线性相关 （2）线性无关t六、求向量组的秩，极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示设向量组 ，若从 中选出 个向量构成向量组12:,.sAAr满足：120:,.riiA（1） 线性无关（2） 中的每一个向量都能由 线性表示，0A条件（2）换一句话说 的任意 个向量（若有的话）都线性1r相关，或者说从 中向 任意添加一个向量（若有的话） ，所得的向A0量组都线性相关。则 叫做 的极大线性无关向量组，简称极
6、大无关组。0A向量组的极大无关组所含向量的个数叫做向量组的秩，记作 12,.srr求向量组的秩的方法：（1） 扩充法（2） 子式法 12.mn12,.mn最高阶非 0 子式的阶数就是矩阵的秩，也就是这个向量组的秩，并且这个子式的行（列）对应的原向量组的向量就是这个向量组的一个极大无关组。（3） 初等变换法 同法二构成矩阵，对矩阵进行初等变换。例 9、设向量组 1234(,),(4,15,6)(1,7)(2,13) 求（1）向量组的秩； （2）向量组的一个极大线性无关组，并把其余向量用这个极大线性无关组线性表示。七、相似矩阵的性质与矩阵可相似对角化问题 1PAB相似矩阵的性质:1、相似矩阵有相同
7、的特征多项式，从而有相同的特征值，行列式，迹。特征值相同是两个矩阵相似的必要而非充分条件。2、 相似矩阵有相同的秩。秩相等是方阵相似的必要而非充分条件。3、 相似矩阵有相同的可逆性，当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。4、若 与 相似，则 与 相似， ，则 与 相似。ABkABkN()AB1111().k kPPP与 相似nA2n有 个线性无关的特征向量 ，且以它们为列向量n 12,.np组的矩阵 使 ， 分别为与 对应的P1A12,.np的特征值。nA若 有 个互不相等的特征值 ，则 一定与nA12,.nnA相似。12n与 相似 对应于 的每个特征值的线性无关的特征向量的个数nAA等于该特征值
8、的重数。其中 为 的重数()nrEkk例 10、设矩阵 与 相似124Ax504By（1） 求 x 与 y；（2）求可逆矩阵 ，使 。P1AB例 11、设 ，问 为何值时，矩阵 能相似对角化。01aAA例 12、设三阶矩阵 的特征值为 ， ， ，对应的特征123向量依次为 ， ， ，求矩阵 。/1,/2,4/3,9A例 13、设三阶实对称矩阵 的特征向值 ，与特征值 对应A1的特征向量为 ，求 。1,八、化二次型为标准型，并求所用线性变换的矩阵例 14、化二次型 为标准22123131323(,)5640fxxxx型，并求所用可逆线性变换的矩阵。例 15、化二次型 为标准形，并求所用1231232(,)fxxx可逆线性变换的矩阵。
