1、第 5 章复习与思考题1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现 的情况，这时消去法无法进行；0ka即时主元素 ，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍0ka入误差的扩散，最后也使得计算不准确。因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行和计算的准确性。当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。计算时一般选择列主元消去法。2、高斯消去法与 LU 分解有什么关系？用它们解线性方程组 Ax = b 有何不同？A 要满足什么条件？答：高斯消去法实质上产生了一个将 分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，
2、其中一个A为上三角矩阵 U，一个为下三角矩阵 L。用 LU 分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。A 需要满足的条件是，顺序主子式（1,2，n-1 ）不为零。3、楚列斯基分解与 LU 分解相比，有什么优点？楚列斯基分解是 LU 分解的一种，当限定下三角矩阵 L 的对角元素为正时，楚列斯基分解具有唯一解。4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳定的算法。5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？对角占优的三对角方程组6
3、、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。向量范数定义见 p53，符合 3 个运算法则。正定性齐次性三角不等式设 为向量，则三种常用的向量范数为：（第 3 章 p53,第 5 章 p165）x1|nii122|()nix1|ma|iin7、何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵 A = (ai j )的三种范数| A|1，| A|2，| A| ，| A|1 与| A|2 哪个更容易计算？为什么？向量范数定义见 p162，需要满足四个条件。正定条件齐次条件三角不等式相容条件矩阵的算子范数有 1|A2|从定义可知， 更容易计算。1|A8、什么是矩阵的条件数？如何判断线性方程组是病态的？答：设 为
4、非奇异阵，称数 （ ）为矩阵 A 的条件数1()Avvcond1,2当 时，方程是病态的。()1cond?9、满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异？（1 ）矩阵行列式的值很小。（2 ）矩阵的范数小。（3 ）矩阵的范数大。（4 ）矩阵的条件数小。（5 ）矩阵的元素绝对值小。接近奇异阵的有（1 ） 、 （2 ）注：矩阵的条件数小说明 A 是良态矩阵。矩阵的元素绝对值小，不能说明行列式的值小等。10、判断下列命题是否正确：（1 ）只要矩阵 A 非奇异，则用顺序消去法或直接 LU 分解可求得线性方程组 Ax = b 的解。答：错误，主元位置可能为 0，导致无法计算结果。（2 ）对称正定的线性方程组总是良
5、态的。答：正确。（3 ）一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。答：正确。（4 ）如果 A 非奇异，则 Ax = b 的解的个数是由右端向量 b 的决定的。答：正确。解释：若 A|b 与 A 的秩相同，则 A 有唯一解。若不同，则 A 无解。（5 ）如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素，则矩阵必奇异。（6 ）范数为零的矩阵一定是零矩阵。答：正确。（7 ）奇异矩阵的范数一定是零。答：错误， 可以不为 0。（8 ）如果矩阵对称，则| A|1 = | A| 。答：根据范数的定义，正确。（9 ）如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。答：错误，不选主元时，可能除数为 0。（10 ）在求解非
6、奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很小。答：错误。对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。（11 ）| A |1 = | AT | 。答：根据范数的定义，正确。（12 ）若 A 是 n n 的非奇异矩阵，则。)(cond)(1A答：正确。A 是 n n 的非奇异矩阵，则 A 存在逆矩阵。根据条件数的定义有：11 11cod()()A习题1、设 A 是对称阵且 ，经过高斯消去法一步后， A 约化为 ，证明 是对01a 210aT2A称矩阵。证明：设对称矩阵 ，则经过 1 次高斯校区法后，有121212.nnnaaA1 11222() 11222111221122
7、.0.0.nnnnnnaaaAaaaa 所以1.Tnaa21212112.nnnaAa所以 A2 为对称矩阵。2、设 A 是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A 约化为 ，其中 ，()ijnAa()ijnAa；(2)1ijna证明：（1）A 的对角元素 ；（2） 是对称正定矩阵；0(1,)iain 2（1）依次取 ，则因为 A 是对称正定矩阵，ixTii ,),( 所以有 。aTi（2） 中的元素满足 ，又因为 A 是对称正定2A ),32,(1)2( njiajiijij 矩阵，满足 ，所以 ，njiajij , )2(11)2( jijijijiijij aaa即 是对称矩阵。2A3、设
8、 为指标为 的初等下三角矩阵（除第 列对角元以下元素外， 和单位阵 相同）kLkkLI，即1,.kknkLm求证当 时， 也是一个指标为 k 的初等下三角矩阵，其中 为初等置换,ij?kijkijLI ijI矩阵。4、试推导矩阵 的 Crout 分解 A=LU 的计算公式，其中 L 为下三角矩阵，U 为单位上三角A矩阵。本题不推导。参见书上例题。P147 页。5、设 ，其中 为三角矩阵。Uxd（1 ）就 U 为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，并写出算法（2 ）计算解三角方程组 的乘除法次数xd（3 ）设 为非奇异矩阵，试推导求 的计算公式1U本题考查求解公式的一般方法，可从第 n 个元素开始
9、，逐步计算 n-1,1 时对应的求解公式。解法，略。6、证明：（1 ）如果 是对称正定矩阵，则 也是对称正定矩阵A1A（2 ）如果 是对称正定矩阵，则 可以唯一地写成 ，其中 是具有正对角元的TAL下三角矩阵均是对称正定矩阵的性质。应予以记住。7、用列主元消去法解线性方程组1231586x并求出系数矩阵 A 的行列式的值123815|136Ab使用列主元消去法，有 215|1836b25183170561835706183181570621A 的行列式为-66方程组的解为X1=1,x2=2,x3=38、用直接三角分解（Doolittle 分解）求线性方程组的解12312394568xxx本题考
10、查 LU 分解。解： 1456312A0132L1456309754U9、用追赶法解三对角方程组 ，其中bAx， 。210012A01解：追赶法实际为 LU 分解的特殊形式。设 U 为、单位上三角矩阵。有（1 ）计算 的递推公式i1/20.5cb21()/(1)(0.5)2/3a332/()1/()(2/3)/4cba443 5（2 ）解 Ly=f11/2yfb221()/()(0)(1/2(1)0.5)/3ay33233214yf444()/()()(/4()/)/yb555015156yfa（3 ）解 UX=y51/6x445(4/5)16/3y33/32x221(2/)/y1 56x10
11、、用改进的平方根法解方程组。6413232x本题明确要求使用平方根法进行求解。实际考查的 LDU 分解。见 P157。9,7,90321x11、下列矩阵能否分解为 （其中 L 为单位下三角阵， U 为上三角阵）？若能分解，那U么分解是否唯一。， ， 。76412A132B46152CLU 分解存在的条件一个可逆矩阵可以进行 LU 分解当且仅当它的所有子式都非零。如果要求其中的 L 矩阵（或U 矩阵）为单位三角矩阵，那么分解是唯一的。同理可知，矩阵的 LDU 可分解条件也相同，并且总是唯一的。即使矩阵不可逆，LU 仍然可能存在。实际上，如果一个秩为 k 的矩阵的前 k 个顺序主子式不为零，那么它
12、就可以进行 LU 分解，但反之则不然。解：因为 A 的一、二、三阶顺序主子式分别为 1，0，-10，所以 A 不能直接分解为三角阵的乘积，但换行后可以。因为 B 的一、二、三阶顺序主子式分别为 1，0，0，所以 B 不能分解为三角阵的乘积。因为 C 的一、二、三阶顺序主子式分别为 1，5，1，所以 C 能够分解为三角阵的乘积，并且分解是唯一的。12、设，3.0156A计算 A 的行范数，列范数，2-范数及 F-范数。本题考查的是矩阵范数的定义及求法行范数 0.6+0.5=1.1列范数 0.5+0.3=0.82-范数的计算需要用到特征值，特征值的计算可以使用幂法进行计算，也可以直接求。的最大特征
13、值为 0.3690TA所以 2-范数为 0.6074F-范数 0.842613、求证：（a） ；xnx1（b） 。FFA2根据定义求证。 xnxxiniin111 mama22,1ijFiA2max()T14、设 且非奇异，又设 为 上一向量范数，定义 。试证明nRPxnRPxp是 上向量的一种范数。px根据向量范数的定义来证明：要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。显然 ， 、0Pxp ppxcPcx，从而 是pp xPxxPxx 2121212121)( px上向量的一种范数。nR15、设 为对称正定，定义nA，21),(x试证明 是 上向量的一种范数。An根据向量范数的定义来证明：要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。显然 ，12(,)0TAxxA12c()(,)Accx1212122121(), ()TATTAxx xx16、设 A 为非奇异矩阵，求证 。10miny因为 ，yAxAxxAyx 0010101 in1aama1所以得证 10inyA17、矩阵第一行乘以一数，成为 ，证明当 时， 有最小值。21A23()condA本题考查条件数的计算 1()condA首先计算 A 的逆阵12
