1、一、静力学1.静力学基本概念（1）刚体刚体：形状大小都要考虑的，在任何受力情况下体内任意两点之间的距离始终保持不变的物体。在静力学中，所研究的物体都是指刚体。所以，静力学也叫刚体静力学。（2）力力是物体之间的相互机械作用，这种作用使物体的运动状态改变（外效应）和形状发生改变（内效应） 。在理论力学中仅讨论力的外效应，不讨论力的内效应。力对物体的作用效果取决于力的大小、方向和作用点，因此力是定位矢量，它符合矢量运算法则。力系：作用在研究对象上的一群力。等效力系：两个力系作用于同一物体，若作用效应相同，则此两个力系互为等效力系。（3）平衡物体相对于惯性参考系保持静止或作匀速直线运动。 （4）静力学
2、公理公理 1（二力平衡公理）作用在同一刚体上的两个力成平衡的必要与充分条件为等大、反向、共线。公理 2（加减平衡力系公理）在任一力系中加上或减去一个或多个平衡力系，不改变原力系对刚体的外效应。推论（力的可传性原理）作用于刚体的力可沿其作用线移至杆体内任意点，而不改变它对刚体的效应。在理论力学中的力是滑移矢量，仍符合矢量运算法则。因此，力对刚体的作用效应取决于力的作用线、方向和大小。公理 3（力的平行四边形法则）作用于同一作用点的两个力，可以按平行四边形法则合成。推论（三力平衡汇交定理）当刚体受三个力作用而平衡时，若其中任何两个力的作用线相交于一点，则其余一个力的作用线必交于同一点，且三个力的作
3、用线在同一个平面内。公理 4（作用与反作用定律）两个物体间相互作用力同时存在，且等大、反向、共线，分别作用在这两个物体上。公理 5（刚化原理）如变形物体在已知力系作用下处于平衡状态，则将此物体转换成刚体，其平衡状态不变。可见，刚体静力学的平衡条件对变形体成平衡是必要的，但不一定是充分的。（5）约束和约束力1）约束：阻碍物体自由运动的限制条件。约束是以物体相互接触的方式构成的。2）约束力：约束对物体的作用。约束力的方向总与约束限制物体的运动方向相反。表 4.1-1 列出了工程中常见的几种约束类型、简图及其对应的约束力的表示法。其中前 7 种多见于平面问题中，后 4 种则多见于空间问题中。表 4.
4、1-1 工程中常见约束类型、简图及其对应约束力的表示约束类 约束简图 约束力矢量图 约束力描述型柔索类 ATBTAA作用点：物体接触点方位：沿柔索方向：背离被约束物体大小：待求这类约束为被约束物体提供拉力。A ANA单面约束：作用点：物体接触点方位：垂直支撑公切面方向：指向被约束物体大小：待求这类约束为物体提供压力。光滑面接触NANA双面约束：假设其中一个约束面与物体接触，绘制约束力，不能同时假设两个约束面与物体同时接触。作用点：物体接触点方位：垂直共切面方向：指向被约束物体大小：待求这类约束为物体提供压力。短链杆（链杆）作用点：物体接触点方位：沿链杆两铰点的连线方向：不定大小：待求中间铰（连
5、接铰）作用点：物体接触点，过铰中心方位：不定方向：不定大小：待求用两个方位互相垂直，方向任意假设的分力，表示该约束处的约束力固定铰作用点：物体接触点，过铰中心方位：不定方向：不定大小：待求用两个方位互相垂直，方向任意假设的分力，表示该约束处的约束力辊轴支座（活动铰）作用点：物体接触点，过铰中心方位：垂直支撑面方向：不定大小：待求固定端在约束面内既不能移动也不能转动，用两个方位互相垂直、方向任意假设的两个分力表示限制移动的力，用作用面与物体在同一平面内的、转向任意假设的集中力偶表示限制转动的力偶。向心轴承Y 向可微小移动，用方位互相垂直、方向任意假设的两个分力，表示限制径向的移动止推轴承三个方向
6、都不允许移动，用三个互相垂直的力表示限制的移动。球形铰空间任意方向都不允许移动，用方位相互垂直，方向任意的三个分力来代替这个约束力空间固定端三个轴向都不允许移动和转动，用三个方位相互垂直的分力来代替限制空间移动的约束力，并用三个矢量方位相互垂直，转向任意的力偶代替限制转动的约束力偶（6）受力分析图受力分析图是分析研究对象全部受力情况的简图。其步骤是：1）明确研究对象，解除约束，取分离体；2）把作用在分离体上所有的主动力和约束力全部画在分离体上。（7）注意事项画约束力时，一定按约束性质和它们所提供的约束力的特点画，并在研究对象与施力物体的接触处画出约束力；会判断二力构件和三力构件，并根据二力平衡
7、条件和三力汇交定理确定约束力的方位；对于方向不能确定的约束力，有时可利用平衡条件来判定；若取整体为分离体时，只画外力，不画内力，当需拆开取分离体时，内力则成为外力，必须画上；一定注意作用力与反作用力的画法，这些力的箭头要符合作用与反作用定律；在画受力分析图时，不要多画或漏画力，要如实反映物体受力情况；画受力分析图时，应注意复铰（链接两个或两个以上物体的铰） 、作用于铰处的集中力和作用于相邻刚体上的线分布力等情况的处理方法。2. 力的分解、力的投影、力对点之矩与力对轴之矩（1）力沿直角坐标轴的分解和力在轴上的投影 XYZxyzFFijk式中： 、 、 分别是沿直角坐标轴 、 、 轴的基矢量； 、
8、 、 分ijkxyzXFYZ别为 沿直角坐标轴的分力； 、 、 分别为 在直角坐标轴 、 、 轴xyFzxyz上的投影，且分别为(如图 4.1-1)cossincosxxyFFiycsz图 4.1-1式中： 、 、 分别为 与各轴正向间的夹角； 则为 在 平面上的投FxyFOxy影，如图 4.1-1 所示。（2）力对点之矩（简称力矩）在平面问题中，力 对矩心 的矩是个代数量，即OOMFa式中 为矩心点至力 作用线的距离，称为力臂。通常规定力使物体绕矩心转F动为逆时针方向时，上式取正号，反之则取负号。在空间问题中，力对点之矩是个定位矢量，如图 4.1-2，其表达式为图 4.1-2OzyxzyxM
9、FrFiFjk力矩的单位为 或 。Nmk（3）力对轴之矩图 4.1-3力 对任一 轴之矩为力 在垂直 轴的平面上的投影对该平面与 轴交点 之FzFz zO矩，即 2zOxyxyMaOAB其大小等于二倍三角形 的面积，正负号依右手螺旋法则确定，即四指与力 的方向一致，掌心面向轴，拇指指向与 轴的指向一致，上式取正号，反F z之取负号。显然，当力 与矩轴共面（即平行或相交）时，力对轴之矩等于零。F其单位与力矩的单位相同。从图 4.1-3 中可见， 的面积等于 面积在 平面（即OABOAB面）上的投影。由此可见，力 对 轴之矩 等于力 对 轴上任一OxyzzMFz点 的矩 在 轴上的投影，或力 对点
10、 的矩 在经过 点的任OMFz O一轴上的投影等于力 对该轴之矩。这就是力对点之矩与对通过该点的轴之矩之间的关系。即 xOzyxy zyMFFzOxz（4）合力矩定理当任意力系合成为一个合力 时，则其合力对于任一点之矩（或矩矢）或RF任一轴之矩等于原力系中各力对同点之矩（或矩矢）或同轴之矩的代数和（或矢量和） 。力对点之矩矢OROimF力对点之矩i力对轴之矩xRximF3.汇交力系的合成与平衡（1）汇交力系:诸力作用线交于一点的力系。（2）汇交力系合成结果根据力的平行四边形法则，可知汇交力系合成结果有两种可能：其一，作用线通过汇交点的一个合力 ,为 ；其二，作用线通过汇交点的一个RFi合力 等
11、于零，即 ，这是汇交力系平衡的充要条件。RF0i（3）汇交力系的求解求解汇交力系的合成与平衡问题各有两种方法，即几何法与解析法，如表4.1-2 所示。对于空间汇交力系，由于作图不方便一般采用解析法。表 4.1-2 求解汇交力系的两种方法合力 RF 平衡条件 0RF几何法 按力的多边形法则，得汇交力系的力的多边形示意图，其开口边决定了合力的大小和方位及指向，指向是首力的始端至末力的终端力的多边形自行封闭平面汇交力系 Rxiyij22xiyiFFcos,iRRcos,yiRRj0xiyiF、 轴不相互平行；有两个独立方程，可解两个未知量解析法空间汇交力系 xiyizijk222RxiyiziFFc
12、os,iRcos,yiRRj,ziRRFk0xiFyizi、 、 轴不共面；有三个x独立方程，可解三个未知量4.力偶理论（1）力偶与力偶矩1）力偶 ：等量、反向、不共线的两平行力组成的力系。,2）力偶的性质：力偶没有合力，即不能用一个力等效，也不能与一个力平衡。力偶对物体只有旋转效应，没有移动效应。力偶在任一轴上的投影为零。力偶只能与力偶等效或平衡。3）力偶矩：力偶的旋转效应决定于力偶矩，其计算如表 4.1-3 所述。表 4.1-3 力偶矩的计算平面力偶矩 空间力偶矩矢mFd逆时针转向取正号；反之取负号大小： Fd方位：依右手螺旋法则，即四指与力的方向一致，掌心面向矩心，拇指指向为力偶矩矢的矢
13、量方向。代数量 自由矢量力偶矩的单位： 或Nmk力偶的等效条件：等效的力偶矩矢相等推论 1：只要力偶矩矢不变，力偶可在其作用面内任意转动或移动，或从刚体的一个平面移到另一个相互平行的平面上，而不改变其对刚体的旋转效应。推论 2：在力偶矩大小和转向不变的条件下，可任意改变力偶的力的大小和力偶臂的长短，而不改变其对刚体的旋转效应。力偶矩与力对点之矩的区别：力偶矩与矩心位置无关，而力对点之矩与矩心位置有关表中， 为组成力偶的力的大小， 为力偶中两个力作用线间的垂直距离，称Fd为力偶臂。（2）力偶系的合成与平衡力偶系合成结果有两种可能，即一个合力偶或平衡。具体计算时，通常采用解析法，如表 4.1-4
14、所述。表 4.1-4 力偶的合成与平衡的解析法平面力偶系 空间力偶系合力偶 iMmiixiyizMmjmk合成平衡 0i 0iiiiz平衡方程 i可求解一个未知量0ixiyiz、 、 轴不共面；可求解三个未知量z表中， 、 、 分别为力偶矩矢 在相应坐标轴上的投影。ixmiyiz im注意，力偶中两个力 和 ，对任一 轴之矩的和等于该力偶矩矢 在同一轴Fxm上的投影，即 cosxxxF式中， 为 矢量与 轴的夹角。m（3）汇交力系和力偶系的平衡问题首先选取分离体；然后画分离体受力分析图，在分析约束力方向时，注意利用力偶只能与力偶相平衡的概念来确定约束力的方向；接下来，列写平衡方程，对于力的投影
15、方程，尽量选取与未知力垂直的坐标轴，使参与计算的未知量的个数越少越好，尽量使一个方程求解一个未知量，而力偶系的平衡方程与矩心的选取没有关系，注意区分力偶的矢量方向或是转向，确定好投影的正方向；最后求出结果，结果的绝对值表示大小，正负号表示假设方向是否与实际的指向一致，正号代表一致，负号则表示相反。5.一般力系的简化与平衡（ 1）力线平移定理作用在刚体上的力，若其向刚体上某点平移时，不改变原力对刚体的外效应，必须对平移点附加一个力偶，该附加力偶矩等于原力对平移点之矩。同理，根据力的平移定理可得：共面的一个力 和一个力偶 可合成为一Fm个合力 ，合力 的大小、方向与原力相等，其作用线离原力作用线的
16、距离为F。md（2）任意力系的简化1）简化的一般结果根据力线平移定理，可将作用在刚体上的任意力系向任一点（称为简化中心）简化，得到一个作用在简化中心的共点力系和一个附加力偶系，进而可以合成为一个力和一个力偶。该力等于原力系向简化中心简化的主矢，该力偶的力偶矩等于原力系对简化中心的主矩。主矢 作用线通过简化中心iRF O主矩 OiiMmF空 间 ：平 面 ：注：主矢的方向和大小与简化中心无关，只与原力系中各个分力相关，其作用线仍通过简化中心；主矩一般与简化中心的位置有关。2）简化的最后结果任意力系向一点简化后的最后结果，见表 4.1-5。表 4.1-5 任意力系向一点的简化的最后结果主矢 主矩
17、最后结果说明或0OM平衡 任意力系的平衡条件=iRF或合力偶 此主矩与简化中心无关或O 合力的作用线过简化中心0ROF合力合力的作用线离简化中心的距离为 ORMdF/RM力螺旋中心轴（力的作用线）过简化中心iRO与 成FO角力螺旋力螺旋中心轴（力的作用线）离简化中心的距离为 sinORMdF3）平行分布的线载荷的合成平行分布线载荷和线载荷集度平行分布线载荷：沿物体中心线分布的平行力，简称线载荷。线载荷集度：沿单位长度分布的线载荷，以 表示，其单位为 或 。qNmk同向线荷载合成结果同向线荷载合成结果为一个合力 ，该合力的大小和作用线位置依据合力RF投影定理和合力矩定理求得。均匀分布和线性分布的
18、线载荷合成结果如表 4.1-6 所述。表 4.1-6 线载荷合成结果均匀分布的线载荷 线性分布的线载荷力学简图合成结果作用在分布线长度中点的一个合力，其作用线的方向与线载荷的方向一致作用在距离线载荷集度为零的分布长度的处，也就是距离线载荷集度最大的分布长23度的 处，其作用线的方向与线载荷的方向1一致大小 Rql 2Rql（3）力系的平衡条件与平衡方程任意力系平衡条件：力系向任一点简化的主矢和主矩都等于零，即 =0iRFOiM表 4.1-7 列出了各力系的平衡方程。但应当指出，在空间力系和空间平行力系的平衡方程组中，其投影方程亦可用对轴的力矩方程来替代。当然，该力矩方程必须是独立的平衡方程，即
19、可用它来求解未知量的平衡方程。表 4.1-7 力系的平衡方程力系名称 平衡方程的表示形式独立方程的数目标准式 一力矩式 二力矩式汇交力系=0ixFiy =0ixFAiM=0AiFBi平面力系说 （ 、 轴不平行，不重合）x( 点和汇交点 的O( 、 连线不能通过汇交点 )O2明 连线不能垂直 轴)x力偶系=0im 1标准式 二力矩式平行力系ixF=0AiM=0AiMFBi说明（ 轴不能垂直各力）z( 、 连线不能和各力平行)2标准式 二力矩式 三力矩式任意力系=0ixFiyAiM=0AiMFBiix=0AiFBiCi说明（ 、 轴不平行，不重xy合）( 、 连线A不能垂直 轴)( 、 、 三点
20、不共线)A3标准式 一力矩式 二力矩式 三力矩式汇交力系=0ixFiyiz =0ixFiyziM=0yiFziix=0xiMFyizi说明(任意两根轴不能平行、重合)( 轴不能通过汇交点； 轴不能z垂直 轴和 轴xy所组成的平面；轴和汇交点所组成的平面不能垂直 轴和 轴xy组成的平面)( 、 轴不能通过z汇交点；不能在 、y轴上找到两点 、 ,AB使 、 和汇交点共线；如 、Oy轴有交点,则 轴zx不能垂直此交点和汇交点的连线)( 、 、 三轴没有共同交点；如有一直线经过x汇交点且和 、 两轴有交点,则此直线不能为y轴； 轴也不能和经过汇交点且和 、 两轴zxy有交点的直线平行或相交；从汇交点不能引一直线和 、 、 三轴相交)3标准式空间力系力偶系 =0xiMF 3
