1、圆综合检测附解析（2019 年中考数学一轮复习） 单元综合检测六 圆(80 分钟 120 分)一、选择题(每小题 4 分,满分 32 分)1.如图,O 中,弦 AB,CD 相交于点 P,A=42,APD=77,则B 的大小是 (B)A.34 B.35 C.43 D.44【解析】D=A=42,B=APD-D=35.2.如图,已知在O 中,OABC,AOB=70,则ADC的度数为 (B)A.30 B.35C.45 D.70【解析】连接 OC,OABC, ,AOC=AOB.AOB=70,AOC=70,ADC= AOC=35.3.如图,若ABC 内接于半径为 R 的O,且A=60,连接 OB,OC,则
2、边 BC 的长为 (D)A. R B. RC. R D. R【解析】延长 BO 交O 于点 D,连接CD,BCD=90,D=A=60,CBD=30,BD=2R,DC=R,BC= R.4.小颖同学在手工制作时,把一个边长为 12 cm 的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上,若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上,则圆的半径为 (C)A.2 cm B.6 cmC.4 cm D.8 cm【解析】如图,O 是等边ABC 的外接圆,连接 OB,作 ODBC 于点 D,ABC 是等边三角形,ABC=60,O 是等边ABC 的外接圆,OBD= ABC=30.ODBC,BD= BC=6,OB=BDcos 30=6
3、 =4 (cm).5.如图,在半径为 5 的O 中,弦 AB=6,点 C 是优弧 上一点(不与点 A,B 重合),则 cos C 的值为 (B)A. B. C. D. 【解析】连接 OA,OB,过点 O 作 ODAB 于点 D,则 BD= AB=3,BOD= AOB=C,在 RtBOD 中,OB=5,BD=3,OD=4,cos BOD= ,即 cos C= .6.一个圆锥的高为 3 cm,侧面展开图是一个半圆,则圆锥的侧面积是 (A)A.6 cm2 B.9 cm2C.6 cm2 D.9 cm2【解析】设圆锥的底面圆的半径为 r,母线长为 l,由题意得 2r=l,即 l=2r,又r2+32=l2
4、,解得 r= ,l=2 ,圆锥的侧面积是 rl= 2 =6(cm2).7.如图,矩形 ABCD 中,G 是 BC 的中点,过 A,D,G 三点的圆 O 与边 AB,CD 分别交于点 E、点 F,则下列说法:AC 与 BD 的交点是圆 O 的圆心;AF 与 DE 的交点是圆 O 的圆心;BC 与圆 O 相切.其中正确说法的个数是 (C)A.0 B.1 C.2 D.3【解析】连接 DG,AG,作 GHAD 于点 H,连接 OD,如图,G 是 BC 的中点,AG=DG,GH 垂直平分 AD,点 O在 HG 上,ADBC,HGBC,BC 与圆 O 相切;OGOH,点 O 不是 HG 的中点,圆心 O
5、不是 AC与 BD 的交点;而四边形 AEFD 为O 的内接矩形,AF与 DE 的交点是圆 O 的圆心.错误,正确.8.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 AB 经过点A(6,0),B(0,6),O 的半径为 2(O 为坐标原点),P 是直线 AB 上的动点,过点 P 作O 的一条切线 PQ,Q 为切点,则切线长 PQ 的最小值为 (D)A. B.3C.3 D. 【解析】连接 OQ,OP,在 RtOPQ 中,PQ= ,OQ=2,当OP 取最小值时,PQ 最小.又OP3 ,PQ .二、填空题(每小题 5 分,满分 20 分)9.如图,四边形 ABCD 为O 的内接四边形,已知C=D,则 A
6、B 与 CD 的位置关系是 ABCD . 【解析】四边形 ABCD 为O 的内接四边形,A+C=180,又C=D,A+D=180,ABCD.10.如图,一个含有 30角的直角三角板 ABC 的直角边 AC 与O 相切于点 A,C=90,B=30,O 的直径为 4,AB 与O 相交于点 D,则 AD 的长为 2 . 【解析】连接 OA,过点 O 作 OEAD 于点 E,在 RtOEA 中,OA=2,OAE=30,则 AE= ,AD=2 .11.如图,AB 是圆 O 的直径,弦 CDAB,BCD=30,CD=4 ,则 S 阴影= . 【解析】如图,连接 OC,设 AB 与 CD 交于点 E,AB
7、是O 的直径,弦 CDAB,CE=DE= CD=2 .BCD=30,DOE=60.又DEO=90,ODE=30,CEBDEO(ASA),SCEB=SDEO,S 阴影=S 扇形 BOD.sin EOD= ,OD=4.S 阴影=S 扇形 BOD= .12.如图,O 的半径为 2,弦 BC=2 ,点 A 是优弧 上一动点(不包括端点),ABC 的高 BD,CE 相交于点 F,连接 ED.下列四个结论:A 始终为 60;当ABC=45时,AE=EF;当ABC 为锐角三角形时,ED= ;线段 ED 的垂直平分线必平分弦 BC.其中正确的是 .(把你认为正确结论的序号都填上) 【解析】连接 CO 并延长交
8、O 于点 G,连接 BG,如图 1.则有BGC=BAC.CG 为O 的直径,CBG=90.sin BGC= ,BGC=60,BAC=60,正确.如图 2,ABC=45,CEAB,即BEC=90,ECB=45=EBC,EB=EC.CEAB,BDAC,BEC=BDC=90.EBF+EFB=90,DFC+DCF=90.EFB=DFC,EBF=DCF.在BEF 和CEA 中, BEFCEA,AE=EF,正确.如图2,AEC=ADB=90,A=A,AECADB. .A=A,AEDACB, .cos A= =cos 60= , ,ED= BC= ,正确.取 BC 中点 H,连接 EH,DH,如图 3 和图
9、 4.BEC=CDB=90,点 H为 BC 的中点,EH=DH= BC.点 H 在线段 DE 的垂直平分线上,即线段 ED 的垂直平分线平分弦 BC,正确.三、解答题(满分 68 分)13.(13 分)如图,AB 是O 的直径,过点 B 作O 的切线 BM,弦 CDBM,交 AB 于点 F,且 ,连接 AC,AD,延长AD 交 BM 于点 E.(1)求证:ACD 是等边三角形;(2)连接 OE,若 DE=2,求 OE 的长.解:(1)BM 是O 的切线,AB 为O 直径,ABBM,BMCD,AB 垂直平分 CD,AD=AC. ,AD=DC,AD=CD=AC,ACD 是等边三角形.(2)ACD
10、是等边三角形,ABDC,DAB=30,连接 BD,则 BDAD,易证EBD=DAB=30,DE=2,BE=4,BD=2 ,AB=4 ,OB=2 ,在 RtOBE 中,OE= =2 .14.(15 分)如图,在ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的圆交 AC 于点 D,交 BC 于点 E,延长 AE 至点 F,使 EF=AE,连接 FB,FC.(1)求证:四边形 ABFC 是菱形;(2)若 AD=7,BE=2,求半圆和菱形 ABFC 的面积.解:(1)AB 是直径,AEB=90,AEBC,AB=AC,BE=CE,AE=EF,四边形 ABFC 是平行四边形,AC=AB,平行四边形 ABFC 是
11、菱形.(2)设 CD=x.连接 BD.AB 是直径,ADB=BDC=90,AB2-AD2=CB2-CD2,(7+x)2-72=42-x2,解得 x=1 或 x=-8(舍),AC=8,BD= ,S 菱形 ABFC=ACBD=8 .S 半圆= r2= 42=8.15.(20 分)如图,在ABC 中,O 为 AC 上一点,以点 O为圆心,OC 为半径作圆,与 BC 相切于点 C,过点 A 作ADBO 交 BO 的延长线于点 D,且AOD=BAD.(1)求证:AB 为O 的切线;(2)若 BC=6,tan ABC= ,求 AD 的长.解:(1)过点 O 作 OEAB 于点 E,ADBO 于点 D,D=
12、90,BAD+ABD=90,AOD+OAD=90,AOD=BAD,ABD=OAD,又BC 为O 的切线,ACBC,BCO=D=90,BOC=AOD,OBC=OAD=ABD,在BOC 和BOE 中, BOCBOE(AAS),OE=OC,OEAB,AB 是O 的切线.(2)ABC+BAC=90,EOA+BAC=90,EOA=ABC,tan ABC= ,BC=6,AC=BCtan ABC=8,则 AB=10,由(1)知 BE=BC=6,AE=4,tan EOA=tan ABC= , ,OE=3,OB= =3 ,ABD=OBC,D=ACB=90,ABDOBC, ,即 ,AD=2 .16.(20 分)如
13、图,已知O 的半径为 2,AB 为直径,CD为弦,AB 与 CD 交于点 M,将 沿 CD 翻折后,点 A 与圆心O 重合,延长 OA 到点 P,使 AP=OA,连接 PC.(1)求 CD 的长.(2)求证:PC 是O 的切线.(3)点 G 为 的中点,在 PC 延长线上有一动点 Q,连接QG 交 AB 于点 E,交 于点 F(F 与 B,C 不重合).问GEGF 是否为定值?如果是,求出该定值;如果不是,请说明理由.解:(1)连接 OC,将 沿 CD 翻折后,点 A 与圆心 O 重合,OM= OA=1,CDOA,OC=2,CD=2CM=2 =2 .(2)AP=OA=2,AM=OM=1,CM= ,又CMP=OMC=90,PC= =2 ,OC=2,PO=4,PC2+OC2=PO2,PCO=90,PC 是O 的切线.(3)GEGF 是定值.理由:连接 GA,AF,GB,点 G 为 的中点, ,BAG=AFG,AGE=FGA,AGEFGA, ,GEGF=AG2,AB 为直径,AB=4,BAG=ABG=45,AG=2 ,GEGF=AG2=8.
