1、P49 天府前沿14、如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，以 BE 为折痕，将三角形 ABE 向上翻折，点 A 正好落在 CD 上的点 F 处，若三角形 FDE 的周长为 8，三角形 FCB 的周长为22，求 FC 的长。答：因为折叠，EF=AE,BF=AB，所以 DF+FC=DC=AB=FB(1), DE+EF=DE+EA=DA=CB(2)(1)+(2)得 DF+DE+EF=FB+CB-FCDF+DE+EF=8,FB+CB-FC=(FB+FC+CB)-2FC=22所以-2FC=8-22FC=7P49 页15、如图，已知在平行四边形 ABCD 中，AB=二分之一 BC,延长
2、 AB 至 F,使BF=AB，再延长 BA 至 E，使 AE=BA，请你判断 EC 与 FD 的位置关系，并说明理由。答：EC 交 AD 于 M,FD 交 BC 于 N,AE=AB=BF=CD,内错角相等，据角边角定理，三角形 AEM三角形 DMC三角形 BFN三角形 DCN AM=DM BN=NC M,N 分别为 AB,BC 的中点，连接 MNAB=1/2BC MD=DC=NC=MN四边形 MNCD 为棱形，MC,ND 为对角线，MC 垂直 ND所以 EC 垂直 FDP53 页13、如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC,AD=6,BC=16,E 是 BC 的中点，点 P 以每秒1 个单位长
3、度的速度从点 A 出发，沿 AD 向点 D 运动；点 Q 同时以每秒 2 个单位长度的速度从点 C 出发，沿 CB 向点 B 运动，点 P 停止运动时，点 Q 也随之停止运动，当运动时间为（ ）秒时，以点 P、Q、E、D 为顶点的四边形是平行四边形。答：AP=t，PD=6-tCQ=2t1.EQ=8-2tPD=EQ6-t=8-2tt=2s2.EQ=2t-86-t=2t-83t=14t=14/3 s(14/3 18/3=6 ，此时 P 未到 D 点，成立)当 t=2 秒时，PDQE 是平行四边形当 t=14/3 秒时，PDEQ 是平行四边形14、如图，已知三角形 ABC 是等边三角形，D、E 分别
4、在边 BC、AC 上，且CD=CE，连接 DE 并延长至点 F，使 EF=AE，连接 AF、BE 和 CF。（1）求证三角形 BDE 全等于三角形 FEC；(2)判断四边形 ABDF 是怎样的四边形，并说明理由（1）三角形 ABD三角形 ACD三角形 AFD（2）四边形 ABDF 是平行四边形因为 CD=CE，角 ACB=60，所以三角形 CDE 为全等三角形。因为 EF=AE，角 AEF 等于 60 度，所以三角形 AEF 为全等三角形，AE=AC-CE,BD=BC-DC,所以 BD=AF,在三角形 BDE 和三角形 FCE 中，角 BDE=180-60=120,角 CEF=180-60=1
5、20,DE=CE,BD=AF=EF,所以三角形 BDE 和三角形 FCE 全等。因三角形 ABC 是等边三角形 ,角 CBA 等于 60 度；又角 CDF 等于 60 度，所以DF/AB,又 DF=AE，三角形 DCE 是等边三角形，所以EF+DE=AE+EC=AC=AB，即 DF=AB,故四边形 ABDF 是平行四边形。15、请用两种方法解答：如图： CD 为直角三角形 ABC 斜边 AB 上的高，AE平分角 BAC，并交 CD 于点 E，过 E 点作 EF/AB,并交 BC 于 F 点，求证：CE=BF。方法一：证：过 E 作 EG 平行 BC 交 AB 于点 G又因为 EF 平行于 AB
6、，所以有 EFBG 为平行四边形，即有：FB=EG再因 AE 平分角 BAC，所以：角 CAE=角 BAE因为在直角三角形 ABC 中，角 BCA=90 度，CD 垂直于 AB易得：角 ACD=角 B=角 EGA因为 AE 是公共边所以有三角形 CAE 全等于三角形 GAE所以有：CE=EG=BF方法二：过 E 作 AC 的垂直线交 AC 于 M,过 F 作 AB 的垂线交 AB 于 G,DE=FG, 因为 AE 平分角 A,可证三角形 ADE 和三角形 AEM 全等，即ME=ED=FG在 Rt 三角形 BFG 和 Rt 三角形 CEM 中，角 B 加角 BCE=90,角 ACE 加角BCE=
7、90,所以，角 B 等于角 ACE, 在 Rt 三角形 BFG 和 Rt 三角形 CEM 中, ME=FG,所以Rt 三角形 BFG 和 Rt 三角形 CEM 全等。P5514、如图所示，在梯形 ABCD 中，AD/BC,AB=AD,角 BAD 的平分线 AE 交BC 于点 E，连结 DE，(1) 求证四边形 ABED 是菱形；(2)若角 ABC=60 度，CE=2BE,试判断三角形 CDE 的形状并说明理由。答：因为 AD/BC.AB=AD 角 BAD 的平分线 AE 交 BC 于点 E所以角 DAE=角 AEB=角 BAE，所以 BE=AB=AD，所以四边形 ABED 是菱形所以角 DEC
8、=角 B=60 度， 又因为 CE=2BE=2DE，取 CE 重点 F，连结 DF，则 EF=ED所以CDF 是等边三角形，所以 DF=CF，一个外角等于两个内角之和，所以角 C=角 DFE 的一半=30 度所以角 CDE=90 度，所以 CDE是直角三角形15、如图，AD 是 Rt 三角形 ABC 斜边 BC 上的高，角 B 的平分线交 AD 于点E，交 AC 于点 G,(1)比较 AE、AG 的大小，并说明理由；(2) 作 GF 垂直 BC 于点 F，连结 EF，判断四边形 AEFG 的形状，并说明理由。（3）若AD=4,BD=3,求 AE 的长。1.C+DAC=90， BAD+DAC=9
9、0 ，C=BAD ，BE平分ABC ，ABE=CBE ，AGE=BAD+ABE，AEG=C+ CBE ，AGE=AEG ，AG=AE 。（2）AG=GF (角平分线上的点到两边的距离相等）BG=BG, 所以 ABGFBG, 故, AGB=FGB又 EG=EG AG=GF 所以 AEGFEG ,故 AE=EF,即 AG=GF= AE=EF 所以四边形 AEFG 的形状是菱形四边形 AEFG 是菱形 （3）3）AD=4，BD=3 则 AB=5，根据角平分线定理：AE/ED=AB/BD 即 AE/(AD-AE)=AB/BDAE/(3-AE)=5/4解得：AE=5/3P57 页：第十二题：如图 8，在
10、长方形 ABCD 中，AB=3CM,AD=4CM,过对角线 BD 的中点 0 作 BD 的垂直平分线 EF，分别交 AD、BC 于点E、F，则 AE 的长为：解：设 AE=x，连接 BE，OE 垂直平分BD，EB=ED=4-x,在直角三角形 ABE 中，BE-AE=AB，即（4-x）-x=3，解得：x=7/8，答：AE=7/8P57 页第 13 题：如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为一，则第 n 个矩形的面积为：第n 个矩形的面积为 sn 。sn = 1/2(2n-2)易得第二个矩形的周长为 1/2，
11、第三个矩形的周长为 1/22，依此类推，第 n 个矩形的周长为 1/2n-1，面积为=（1/2n-1*1/2n-1）=1/2(2n-2)P57 页 14 题： 如图，在三角形 ABC 中，点 O 是 AC 边上（端点除外）的一个动点，过点 O 作直线 MV/BC，设 MN 交角 BCA 的平分线于点E，交角 BCA 的外角平分线于点 F，连结 AE、AF,那么当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？并证明你的结论。当点 O 运动到 AC 的中点（或 OA=OC）时，四边形 AECF 是矩形由于 CE 平分BCA，那么有1= 2 ，而 MNBC，利用平行线的性质有1= 3，等量代换有2
12、= 3，于 OE=OC，同理OC=OF，于是 OE=OF，而 OA=OC，那么可证四边形 AECF 是平行四边形，又 CE、CF 分别是BCA 及其外角的角平分线，易证ECF 是 90，从而可证四边形 AECF 是矩形解答： 解：当点 O 运动到 AC 的中点（或 OA=OC）时，四边形 AECF 是矩形证明：CE 平分BCA，1=2，又MNBC ，1=3，3=2，EO=CO，同理，FO=CO，EO=OF，而 OA=OCAECF 是平行四边形，又 CE、CF 分别是BCA 及其外角的角平分线，ECF是 90，P57 页：15 题。在平分四边 ABCD 中，角 BAD 的平分线交直线 BC 于点
13、 E，交直线 DC 于点 F。（1）在图 1 中证明 CE=CF；（2）若角 ABC=90 度，G 是 EF 的中点(如图 2)，直接写出角 BDG 的度数；（3）若角 ABC=120 度， FG/CE，FG=CE，分别连接 DB、DG（如图 3） ，求角 BDG 的度数。解：（1）证明：AF 平分BAD，BAF=DAF.四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC,ABCD.DAF=CEF,BAF=F.CEF=F.CE=Cf(2) 连 BG、CG，BE=AB=DC，EG=CG ，BEG=135=DCG，BEG DCG，BG=DG，BGE= DGC，BGD=EGC=90BDG 是等腰直角三角形，B
14、DG=45(3)分别连接 GB,GE,GC（如图 4）ABDC,ABC=120，ECF=ABC=120，FGCE 且 FG=CE,四边形 CEGF 是平行四边形.由（1）得 CE=CF,平行四边形 CEGF 是菱形.EG=EC,GCF=GCE=1/2ECF=60ECG 是等边三角形.EG=CG,GEC=GCF=60.GEC=GCF.BEG=DCG.由 ADBC 及AF 平分BAD 可得BAE=AEB.AB=BE.在平行四边形 ABCD 中，AB=DC.BE=DC.由得BEGDCG.BG=DG,1=2.BGD=1+3=2+3=EGC=60.BDG=(180-BGD)/2=60P59 页：13 题
15、。长为 1，宽为 a 的矩形纸片（a 大于二分之一小于 1），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时的矩形宽幅的正方形（称第二次操作）；如此反复操作下去，若在第 n 次操作后，剩余的矩形为正方形，则操作终止，当 n=3 时，a 的值为？ 一 1/2a1 时，第一次操作后剩下的矩形的长为 a，宽为 1-a，所以第二次操作时正方形的边长为 1-a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为 1-a，2a-1此时，分两种情况：如果 1-a2a-1，即 a 2/3，那么第三次操作时正方形的边长为 2a-1则 2a-1=（1-a）-
16、 （2a-1 ），解得 a=3/5;如果 1-a2a-1，即 a 2/3,那么第三次操作时正方形的边长为 1-a则 1-a=（2a-1）- （1-a），解得 a=3/4故答案为 3/5；或 3/4.P59 页第 14 题：如图，点 G 是正方形 ABCD 对角线 CA 的延长线上任意一点，以线段 AG 为边作一个正方形 AEFG，线段 EB 和 GD 相交点 H.(1)求证：EB=GD;(2)判断 EB 与 GD 的位置关系，并说明理由；(3)若 AB=2,AG=2,求 EB的长。1) 因为正方形 AEFG 中， AE 垂直于 AG，那么EAF=90 -45= 45 在三角形 AEB 和三角形
17、 AGD 中，AB=AD ，EAG=GAD=45 ，AE=AG所以三角形 AEB 和三角形 AGD 全等，所以 BE=DG。2）EBGD，连接 BD，由（ 1）得ADG=ABE 则在BDH 中 ，角 ABH+角 HBD+角 BDH=90 度，角 GDA=角 ABH，所以，角 HBD+角 BDH=90 度，所以，DHB=90 所以 EBGD；3）AB=2,AG=2 设 BD 与 C 交 O 点，在 RT 三角形 ABD 中，BD2=AB2+AD2=(4+4)=22 ，在 Rt 三角形 GOD 中，GD2=(AG+AO)2-DO2=( 22)2-22=6GD=6,GD=BE 所以 BE=6。页，第
18、题：如图，在等腰梯形中，/BC,AD=AB=CD=2,角 C=60 度，M 是 BC 的中点，（1）求证三角形 MDC 是等边三角形；将MDC 绕点 M 旋转，当 MD（即 MD）与 AB 交于一点 E，MC（即 MC）同时与 AD 交于一点 F 时，点 E，F 和点 A 构成AEF试探究AEF 的周长是否存在最小值？如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出AEF 周长的最小值（1）过点 D 作 DPBC 于点 P，过点 A 作 AQBC 于点 Q，得到 CP=BQ= 1/2AB，CP+BQ=AB=1 ，得出 BC=2CD，由点 M 是 BC 的中点，推出CM=CD，由C=60，根据等边三角
19、形的判定即可得到答案；（2）AEF 的周长存在最小值，理由是连接 AM，由 ABMD 是菱形，得出MAB， MAD 和MCD是等边三角形，推出BME=AMF，证出BME AMF（ASA），得出 BE=AF，ME=MF，推出EMF 是等边三角形，根据 MF 的最小值为点 M 到 AD 的距离3，即 EF 的最小值是3，即可求出AEF 的周长解答：（1）证明：过点 D 作 DPBC 于点 P，过点 A 作 AQBC 于点 Q，即AQDP，ADBC，ADPQ 是平行四边形，AD=QP=AB=CD，C=B=60，BAQ=CDP=30，CP=BQ=1/2AB=1，即BC=1+1+2=4，CD=2，BC=
20、2CD，点 M 是 BC 的中点，BC=2CM，CD=CM，C=60，MDC 是等边三角形（2）解：AEF 的周长存在最小值，理由如下：连接 AM，由（1）平行四边形ABMD 是菱形，MAB，MAD 和MCD是等边三角形，BMA=BME+AME=60，EMF=AMF+AME=60，BME=AMF，在BME 与AMF 中，BM=AM，EBM=FAM=60，BMEAMF（ASA），BE=AF，ME=MF，AE+AF=AE+BE=AB，EMF=DMC=60，故EMF 是等边三角形，EF=MF，MF 的最小值为点 M 到 AD 的距离3，即 EF 的最小值是3，AEF 的周长=AE+AF+EF=AB+EF，AEF 的周长的最小值为 2+3，答：存在，AEF 的周长的最小值为 2+3
