1、2015 清华大学自主招生第 1 页 共 9 页一、选择题1.设复数 z=cos +isin ，则 =（ ）2321-z(A)0 (B)1 (C) (D) 32.设数列 为等差数列，p,q,k,l 为正整数，则“p+qk+l ”是“ ”的( )条件na pqklaa(A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要3.设 A、B 是抛物线 y= 上两点，O 是坐标原点，若 OAOB,则( )2x(A)|OA|OB|2 (B)|OA|+|OB|2 2(C)直线 AB 过抛物线 y= 的焦点 (D)O 到直线 AB 的距离小于等于 12x4.设函数 的定义域为(-1,1)，且满
2、足： 0,x(-1,0)；()f ()fx + = ，x、y(-1,1)，则 为fxy)1ff(A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数5.如图，已知直线 y=kx+m 与曲线 y=f(x)相切于两点，则 F(x)=f(x)kx 有（ ）(A)2 个极大值点 (B)3 个极大值点 (C)2 个极小值点 (D)3 个极小值点6.ABC 的三边分别为 、b、c若 c=2，C= ，且 sinC+sin(BA)2sin2A=0,则有（ ）a3(A)b=2 (B)ABC 的周长为 2+2 (C)ABC 的面积为 (D)ABC 的外接圆半径为a 23237.设函数 ，则（ ）2()3)xfx
3、e(A) 有极小值，但无最小值 (B) 有极大值，但无最大值()fx(C)若方程 =b 恰有一个实根，则 b (D)若方程 =b 恰有三个不同实根，则 04314.ABC 的三边长是 2,3,4，其外心为 O，则 =（ ）ABCOA(A)0 (B)15 (C) (D)21915.设随机事件 A 与 B 互相独立，且 P(B)=0.5，P(AB)=0.2 ，则（ ）(A)P(A)=0.4 (B)P(BA)=0.3 (C)P(AB)=0.2 (D)P(A+B)=0.916.过ABC 的重心作直线将ABC 分成两部分，则这两部分的面积之比的（ ）(A)最小值为 (B)最小值为 (C)最大值为 (D
4、最大值为3445435417.从正 15 边形的顶点中选出 3 个构成钝角三角形，则不同的选法有（ ）(A)105 种 (B)225 种 (C)315 种 (D)420 种18.已知存在实数 r，使得圆周 上恰好有 n 个整点，则 n 可以等于（ ）2xyr2015 清华大学自主招生第 3 页 共 9 页(A)4 (B)6 (C)8 (D)1219.设复数 z 满足 2|z|z1|，则（ ）(A)|z|的最大值为 1 (B)|z|的最小值为 (C)z 的虚部的最大值为 (D)z 的实部的最大值为13231320.设 m,n 是大于零的实数， =(mcos,msin)， =(ncos,nsin)
5、，其中 ,0,2)ab,0,2)定义向量 =( , ), =( , )，记 =，12cosmin21cos2nin则（ ）(A) = (B) = (C) (D)12a12abcs2n122|4siabm122|4cosabm21.设数列 满足： =6， ，则（ ）n113nn(A)nN, cosB (B)tanAcotB (C) (D)22bc33abc25.设函数 的定义域是(1,1)，若 = =1，则存在实数 (0,1)，使得（ ）)fx(0)f(A) 0，x(,) (B) 在(,)上单调递增( x(C) 1，x(0,) (D) 1，x(,0)fx)f26.在直角坐标系中，已知 A(1,0
6、)，B(1,0)若对于 y 轴上的任意 n 个不同的点 (k=1,2,n)，总存kP在两个不同的点 , ，使得|sinA BsinA B| ，则 n 的最小值为（ ）iPj iPj13(A)3 (B)4 (C)5 (D)627.设非负实数 x,y 满足 2x+y=1，则 x+ 的（ ）2xy(A)最小值为 (B)最小值为 (C)最大值为 1 (D)最大值为4551232015 清华大学自主招生第 4 页 共 9 页28.对于 50 个黑球和 49 个白球的任意排列（从左到右排成一行），则（ ）(A)存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多 (B)存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多(C)存在一
7、个黑球，它右侧的白球比黑球少一个 (D)存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个29.从 1,2,3,4,5 中挑出三个不同数字组成五位数，其中有两个数字各用两次，例如 12231，则能得到的不同的五位数有（ ）(A)300 个 (B)450 个 (C)900 个 (D)1800 个30.设曲线 L 的方程为 =0，则（ ）4242()()yxyx(A)L 是轴对称图形 (B)L 是中心对称图形 (C)L(x,y) 1 (D)L(x,y) y 2 1#Answer#1.【解析】 = = =21-z2-z1-z2cosin32-cosin3= -2sinsico33s()sin()co2= -0n
8、i()i()617s()si()6= =1，选 B13cosi23i2.【简解】 =(p+q)-(k+l)d，与公差 d 的符号有关，选 D()pqklaa3.【解析】设 A( ),B( ), = =021,x2,xOA1212()x21x答案(A), = = =2，正确；答案|OAB2121()()xx21x1|x(B),|OA|+|OB|2 2 ,正确；答案(C),直线 AB 的斜率为 = = 方| 21211x程为 y- =( )(x- ),焦点(0, )不满足方程，错误；答案(D)，原点到直线 AB：( )x-21x1x14 1y+1=0 的距离 d= 1，正确。选 ABD21()x2
9、015 清华大学自主招生第 5 页 共 9 页4.【解析】x=y=0 =0,y=-x , 为奇函数，(A)正确； 0，(B)错误；(0)f()(fxf)x()fx， - = + = 0 ,(C)正确；12x1()fx21fx212f1(f2)xf=-tan 满足已知条件，但无界，(D)错误。选 A,C()f5.【简解】将直线平移知：斜率为 k 的直线，与曲线 y= 至多有五个公共点，其中在此直线先下方后()fx上方的两个区间，先上方后下方的三个区间，故 有三个极大值点，两个极小值点。选 BCF6.【解析】2R= = R= ,D 正确；sincC432又 sinC+sin(B-A)=sin(B+
10、A)+sin(B-A)=2sinBcosA=2sin2A=4sinAcosA cosA=0 或 sinB=2sinA A=或 b=2 ; A= 时，b= , = ,周长为 2+ ，面积为 ；b=2 时， =2a23a43323a2c= ,B= ,同样有周长为 2+ ，面积为 。选 BCDcosbCa7.【简解】 =(x+3)(x-1) , , ，作出其大致图象，如()fxxe36)(ffe极 大（ )(1-2fxfe极 小（图选 BD2015 清华大学自主招生第 6 页 共 9 页8.【解析】已知即半径相等的两圆O: 与C: 交于相异的两点22xyr22()()xaybr、 。00 时，S 单
11、调增，梯形 ABC 面积为 4，故 S=4 只有一解，(A)正确； AB、 D 的面积分别2851P34为 、1,都比 大，故再两个三角形内各存在一个围成面积为 的直线，(B)正确；k A -B sinAsin( -B)=cosB,tanAtan( -B)=cotB,(A)(B)正确；锐角三角222形，一定有 ，(C)正确；三角形三边长为 0.5,0.9,1 时，满足锐角三角形条件，但bc0,存在 0,当|x|0，知在 0 附近存在区间， 0,(B)正确；()fx (0)f ()fx对于函数 y=x+1，(D)不正确。总之，选 ABC26.【解析】将所有的|sinA BsinA B|，按从小到
12、大排序，共有 个，其中最小者不大于 ，iPj 2nC13最大为 2，于是 2,n 的最小值为 4.选 B213nC27.【解析】设 x=rcos,y=rsin,0, .2x+y=1 r= ,x+ =rcos+r=212cosin2xy,记作 T；去分母得到 Tsin+(2T-1)cos=1, sin(+arctan )cos2in 2()T1T=1 ，解得 T ,等号成立当且仅当 +arctan =+arctan = ，(A)正确；2(1)45 34当 =0 时 T=2，= 时 T=1，最大值为 2，(C)正确。选 AC28.【简解】黑球先放好，放白球，选 A29.【解析】先从五个数字中，将这三个数字中选出来，有 种方法，如选了 123；在确定不重复用的数35C字，有 种方法，如选 3；对数字 3 安排有 种方法，余下的对数字 1 安排有 种方法，剩下的两位13C15 24C安排 2；有 =900.选 C51A2430.【简解】解方程得到 ，易知它关于两坐标轴及原点都对称，(A)(B)正确；2214yx= 1 有- x 条件，但已知中无此条件，故(C)错误；设 2x=tan,(-2xy2413, ), =- +sec- ,当 sec=2 时， = ，- y ,(D)正确。选 ABD22sec42maxy1412
