1、 集 合一 【课标要求】1集合的含义与表示（1 ）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“ 属于”关系；（2 ）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；2集合间的基本关系（1 ）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2 ）在具体情境中，了解全集与空集的含义；3集合的基本运算（1 ）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2 ）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3 ）能使用 Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用二 【命题走向】有关集合的高考
2、试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用 Venn 图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主。预测高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体三 【要点精讲】1集合：某些指定的对象集在一起成为集合（1 ）集合中的对象称元素，若 a 是集合 A 的元素，记作 Aa；若 b 不是集合 A 的元素，记作 Ab；（2 ）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：
3、设 A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是 A 的元素，或者不是 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象） ，因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3 ）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。注意：列
4、举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。（4 ）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集） ，记作 N；正整数集，记作 N*或 N+；整数集，记作 Z；有理数集，记作 Q；实数集，记作 R。2集合的包含关系：（1 ）集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集（或 B 包含 A） ，记作 AB（或 ） ；集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若 AB 且 B A，则称 A 等于 B，记作A=B；若 A B 且 AB，则称 A 是 B 的真子集，记作 A B；（2 ）简单性质：1）A A；2
5、） A；3）若 A B，B C，则 A C；4）若集合A 是 n 个元素的集合，则集合 A 有 2n 个子集（其中 2n1 个真子集） ；3全集与补集：（1 ）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作 U；（2 ）若 S 是一个集合， A S，则， SC= |x且 称 S 中子集 A 的补集；（3 ）简单性质：1） ( )=A；2） S=， S=S4交集与并集：（1 ）一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做集合 A 与 B 的交集。交集 |xBA且 。（2 ）一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，称为集合 A 与B 的并集。
6、 |或并 集注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或” ，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。5集合的简单性质：（1 ） ;, ABA（2 ） ;（3 ） );()(B（4 ） BAA；（5 ） SC（AB）= （ SA）（ SCB） ， S（AB）=（ SCA）（ SB） 。四 【典例解析】题型 1：集合的概念(2009 湖南卷理)某班共 30 人，其中 15 人喜爱篮球运动，10 人喜爱兵乓球运动，8 人对这两项运动都不喜爱，则
7、喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12_答案 ：12解析 设两者都喜欢的人数为 x人，则只喜爱篮球的有 (15)x人，只喜爱乒乓球的有(10)x人，由此可得 (15)(0)830，解得 3，所以 152x，即 所求人数为 12 人。 例 1已知全集 UR，集合 21Mx和21,Nxk的关系的韦恩（Venn）图如图 1 所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )A. 3 个 B. 2 个C. 1 个 D. 无穷多个答案 B 解析 由 21Mx得 3x，则 3,1NM，有 2 个，选 B.例 2集合 0,Aa, 2,B,若 0,246AB,则 a的值为 ( )A.0 B.1 C.2 D.4答
8、案 D解析 0,2Aa, 21,B, 0,1246AB214a ,故选 D.【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.题型 2：集合的性质例 3集合 0,Aa, 21,B,若 0,1246AB,则 a的值为 ( )A.0 B.1 C.2 D.4答案 D解析 0,2Aa, 21,B, 0,1246AB214a ,故选 D.【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.随堂练习1.设全集 U=R，A=xN1x10，B= xRx 2+ x6=0，则下图中阴影表示的集合为 （ ）A2 B3 C3
9、，2 D2，3 2. 已知集合 A=y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)0,B=y|y2-6y+80，若 AB，则实数 a 的取值范围为（ ） 分析：解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想本题若直接求解，情形较复杂，也不容易得到正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，就比较容易得到正确的解答解：由题知可解得 A=y|ya2+1 或 y0, Sn 0，这时集合 A 中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于
10、a1=10 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 如果A B ，那么据 (2)的结论， AB 中至多有一个元素(x 0,y0),而 x0= 5410, y0=43201xa0，这样的(x 0,y0)A,产生矛盾，故 a1=1,d=1 时 AB= ，所以 a10 时，一定有 AB 是不正确的。点评：该题融合了集合、数列、直线方程的知识，属于知识交汇题。变式题：解答下述问题：（）设集合 ,0|,042|2 xBmx， BA若 ,求实数m 的取值范围.分析：关键是准确理解 BA 的具体意义，首先要从数学意义上解释 的意义，然后才能提出解决问题的具体方法。解： 042,23)3( ,04|
11、 ,212mxmxxM则 两 根 均 为 非 负 实 数的 方 程关 于设 至 少 有 一 个 负 实 数 根方 程命 题23|0|23| mUmM设 全 集的取值范围是 UM=m|m-2. .21321323)( x方 程 的 小 根命 题解 法 二（解法三）设 ,4)(xf这是开口向上的抛物线， 01x其 对 称 轴，则二次函数性质知命题又等价于 ,0)(mf注意，在解法三中，f(x) 的对称轴的位置起了关键作用，否则解答没有这么简单。（）已知两个正整数集合 A=a1,a2,a3,a4,24321,aB其 中 ABA 求 集 合的 所 有 元 素 之 和 是且且若 ,124,041、B.分
12、析：命题中的集合是列举法给出的，只需要根据“交、并”的意义及元素的基本性质解决，注意“正整数”这个条件的运用， .81,259,531, ;,)2( ;4,81,93, ,910,333 2322 4244 1214324321BAaaaAaBaa综 上 不 合与 条 件 矛 盾同 样 可 得则若 则若而 只 可 能 有（） ,0524|),(,|)( 2yxyxBxy设 集 合 . ),|),(试 证 明 你 的 结 论 使问 是 否 存 在 自 然 数 CBAbkbkxyC分析：正确理解 .,)( 题并 转 化 为 具 体 的 数 学 问CBA要使 BA且必 须,)()( ,由 ,012122 bxkxbky当 k=0 时，方程有解 ,不合题意；当 kbkb410)1(4)12(0 2221 得时 由
