1、1高等代数习题解答第一章 多项式补充题 1当 取何值时，多项式 与,abc()5fx2()(1)gxabx相等？ 2()cx提示：比较系数得 .6136,5c补充题 2设 ， ，证明：(),()fxghxA2232()()()fxgxh()0fxgh证明 假设 不成立若 ，则 为偶数，又()()0f()0f2()f等于 0 或次数为偶数，由于 ，首项系数（如果22(), 22,gxhxA有的话）为正数，从而 等于 0 或次数为奇数，矛盾若 或232()()xgh ()0gx则 为奇数，而 或 为偶数，矛盾综上()0hx23()2(f2()f所证， (0fh1用 g (x) 除 f (x)，求商
2、 q (x)与余式 r (x)： 1）f (x) = x 3- 3x2 -x-1，g (x) =3x 2 -2x+1； 2）f (x) = x 4 -2x+5，g ( x) = x2 -x+2 1）解法一 待定系数法由于 f (x)是首项系数为 1 的 3 次多项式，而 g (x)是首项系数为 3 的 2 次多项式，所以商 q(x)必是首项系数为 的 1 次多项式，而余式的次数小于 2于是可设 q(x) = x+a , r(x) =bx+c 3根据 f (x) = q(x) g(x) + r(x)，即 x3-3x2 -x-1 = ( x+a)( 3x2 -2x+1)+bx+c 1右边展开，合并
3、同类项，再比较两边同次幂的系数，得 , , 3123bac解得 , , ，故得 79a26b9c7(),3qx26().9rx2解法二 带余除法3 -2 1 1 -3 -1 -1 13791 23-174319726得 17(),39qx().9rx2） 2,5.26().rx2 适合什么条件时，有,mpq1） 31;xxq2） 42.1）解 除 得余式为：2x3xp，2()1)()rmq令 ，即 ()0r0;.q故 的充要条件是231xmpx2;10.m2）解 除 得余式为：2x4xpq，22()(1)rxpm令 ，即 ()0r20;1.qp解得 的充要条件是241xmx3或 0;1mpq2
4、;.pm3求 除 的商 与余式 ： ()gxf()x()rx1） 5328,3;f g2） ()()12.i1）解法一 用带余除法（略） 解法二 用综合除法写出按降幂排列的系数，缺项的系数为 0： -3 2 0 -5 0 -8 0+ -6 18 -39 117 -3272 -6 13 -39 109 -327所以432()6190,()327.qxxrx2）解法一 用带余除法（略） 解法二 用综合除法写出按降幂排列的系数，缺项的系数为 0：()fx1-2i 1 -1 -1 0 + 1-2i -4-2i -9+8i1 -2i -5-2i -9+8i所以2()(5),(98.qxiirxi4把 表
5、成 的方幂和，即表成f020120()()cc的形式：1） 50(),;fx2） 4203,;x3） 20()(1)7,.fiiixi注 设 表成 的形式，则 就是 被 除x200()cc 0c()fx0所得的余数， 就是 被 除所得的商式 再被1()fx 2123()cx除所得的余数，逐次进行综合除法即可得到0x 0,.n1）解 用综合除法进行计算41 1 0 0 0 0 0+ 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1+ 1 2 3 41 2 3 4 51 + 1 3 6 1 3 6 101 + 1 4 1 4 10 1 + 11 5所以 2345()0(1)()5(1)().xxx2）
6、3）略5求 与 的最大公因式：()fg1） 4323241,()1;xxgxx2） 32(),();f3） 424321064.1）解 用辗转相除法()gx()fx1 1 -1 -1 1 1 -3 -4 -1 1 02()qx4 ()qx1 1 1 -1 -132-1 -2 -3 -1 1()rx3()qx84-2 -21234-1 -1()rx-1 -103()rx所以(),1.fxg52） (),1.fxg3） 2.x6求 使(),uv()()(),:ufvgxfgx1） ；4324324,fx2） ；()1659()54x3） 4322,1f gx1）解 用辗转相除法()()fx1 1
7、1 1 -1 -2 -2 1 2 -1 -4 -2 1 2()qx ()qx1 0 -2 0 1 1 -1 -2 -21 1 -2 -2 1 0 -2 0 1 0()rx3()1 0 -2 0 1 0 -21 0 -2 02()rx3()rx由以上计算得11()(),fqgxr22x13()(),rr因此，22(),()fxgx且2,fr1()()gxqx21()fqgx2()所以2 12()()1,()()uxqxvqx2） ， ,fg, 133ux3） ， (),x 2(),()xvx67设 的最大公因式是一个二次多323()(1),()fxtxugxtu项式，求 的值,tu解 略8证明：
8、如果 且 为 与 的一个组合，那么(),()dxfgx()dfx()g是 与 的一个最大公因式()dxfg证明 由于 ，所以 为 与 的一个公因式任(),()f ()f()取 与 的一个公因式 ，由已知 为 与 的一个组合，所以()f hxdxgx因此， 是 与 的一个最大公因式hxd()df()g9证明： ， （ 的首项系数为 1） ,)(fxfh()证明 因为存在多项式 和 使 ()uxv，(), ()fgfxg所以 ，,()()fxhfhvhx这表明 是 与 的一个组合，又因为 ()fx(x，(,),)(fgfg从而 ，(),()(),()()fxhfxfxhgx故由第 8 题结论， 是
9、 与 的一个最大公因式注意到g的首项系数为 1，于是(),()fxgh(),()(),()fxhxfgxh10如果 不全为零，证明： (),g (),1,fgxf证明 存在多项式 和 使 ()uxv，,()()ffxg因为 不全为零，所以 ，故由消去律得 (),fxg,0，()()1()(),fxuxvgxf所以()(),1,fxxfg11证明：如果 不全为零，且fg，()()(),uvfx7那么(),1uxv证明 因为 不全为零，故 ，从而由消去律得),fg(),0fxg，()(1(,)fvxgf所以(),1uv12证明：如果 ， ，那么 fx(),1fxh(),()1fxgh证法一 用反证
10、法假设 ，则 ，从而()dg0d有不可约因式 ，于是 ，但因为 ，所()dx()p(),fp(),f以 不整除 ，所以 ，这与 矛盾因此pgxxh(),1fxh(),()1fh证法二 由题设知，存在多项式 ，使得12(),(),uvuvx， ，11()()uxfvxg2()1xfh两式相乘得 12121212() ()()()1xf uvhfvxghx，所以 (),()fghx13设 都是多项式，而且 11,(),()mnfgx ()2,;1,2).ijimjn 求证： 121(,)().mnfxf x 证法一 反复应用第 12 题的结果证法二 反证法14证明：如果 ，那么 (),1fxg()
11、,()1fxgfx证明 由于 ，所以存在多项式 和 使 uv，()()1ufv由此可得 () (),uxfvfxfxg()()gv即8()()()1,uxvfxvfxggu于是，(),()1fxx，g应用第 12 题的结论可得(),()ffg注 也可以用反证法15求下列多项式的公共根： 32432()1;()1.fxxgxx提示 用辗转相除法求出 于是得两多项式的公共根为,f13.2i16判别下列多项式有无重因式： 1） ； 5432()748fxx2） 21）解 由于 ，用辗转相除法可求得432()01fx，2(),()f故 有重因式，且 是它的一个 3 重因式 ()fx2x2）解 由于 ，
12、用辗转相除法可求得3()48f，,()1f故 无重因式()fx17求 值使 有重根t32()fxtx解 2()6ft先用 除 得余式 x()f163()ttrx当 时， 此时 ，所以 ，3t10rf 21(),()1)3fxfx所以 1 是 的 3 重根()fx当 时， 再用 除 得余式 故当 时，t10r1()rxf215()4rxt54t9此时， ，所以 是 的 2 重2()0rx12(),()92fxrx1()fx根当 且 时， ，则 ，此时 无重根3t154t20r,()ff综上，当 时， 有 3 重根 1；当 时， 有 2 重根 t()fx54t()fx118求多项式 有重根的条件
13、3pq解 略19如果 ，求 242(1)1xABx,AB解法一 设 ，则 f3()42fxx因为 ，所以 1 是 的重根，从而 1 也是 的根于是242() ()fx且 ，()0f()f即 10;42.AB解得 1,2AB解法二 用 除 得余式为 ，因为2(1)x421x(42)(31)ABx，所以 ，故242()x)(3)0AB;1.解得 1,2AB20证明： 没有重根 !nx证法一 设 ，则 2()1nxf 21()1!()!nxf 因为 ，所以()!nxfx,()(),1!nxff于是 没有重根21!nx10证法二 设 ，则 2()1!nxf 21()1!()!nxf 假设 有重根 ，则
14、 且 ，从而 ，得 ，但()fx()0f()f0!n不是 的根，矛盾所以 没有重根0f 21!nx21略22证明： 是 的 重根的充分必要条件是 0x()fk，而 10()kfxf ()0kfx证明 （必要性）设 是 的 重根，从而 是 的 重根，是0x()f1k的 重根，是 的单根，不是 的根，于是()f2k(1)kf()kf，而 (1)000kxffx ()0kfx（充分性）设 ，而 ，则 是1 ()0kfx0x的单根，是 的 2 重根，是 的 重根(1)kf(2)kf ()f23举例说明断语“如果 是 的 m 重根，那么 是 的 m+1 重根”是()fx()f不对的解 取 ，则 是 的 m 重根，但1()mfx()1()mfx()fx不是 的 m+1 重根注：也可以取具体的，如 0,24证明：如果 ，那么 (1)(nxf(1)(nnxf证明 略25证明：如果 ，那么23312()()ff,)xx证明 ，其中 212()1213,ii由于 ，故存在多项式 使得33()(xfxf()hx，212)(x因此 112(0;).ff解得 ，从而12()0ff 12)(,)(xfxf
