1、37 （2014 年山东泰安，第 29 题）二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点（1，4） ，且与直线 y= x+1 相交于 A、 B 两点（如图） ， A 点在 y 轴上，过点 B 作 BC x 轴，垂足为点C（3，0） （1）求二次函数的表达式；（2）点 N 是二次函数图象上一点（点 N 在 AB 上方） ，过 N 作 NP x 轴，垂足为点 P，交 AB 于点 M，求 MN 的最大值；（3）在（2）的条件下，点 N 在何位置时， BM 与 NC 相互垂直平分？并求出所有满足条件的 N 点的坐标34.（2014德州，第 24 题 12 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐
2、标是（4，0） ，并且 OA=OC=4OB，动点 P 在过 A， B， C 三点的抛物线上（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点 P，使得 ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点 P 作 PE 垂直于 y 轴于点 E，交直线 AC 于点 D，过点 D 作 y 轴的垂线垂足为F，连接 EF，当线段 EF 的长度最短时，求出点 P 的坐标28. （2014株洲，第 24 题，10 分）已知抛物线 y=x2（ k+2） x+ 和直线 y=（ k+1）x+（ k+1） 2（1）求证：无论 k 取何实数值，抛物线总与 x 轴
3、有两个不同的交点；（2）抛物线于 x 轴交于点 A、 B，直线与 x 轴交于点 C，设 A、 B、 C 三点的横坐标分别是x1、 x2、 x3，求 x1x2x3的最大值；（3）如果抛物线与 x 轴的交点 A、 B 在原点的右边，直线与 x 轴的交点 C 在原点的左边，又抛物线、直线分别交 y 轴于点 D、 E，直线 AD 交直线 CE 于点 G（如图） ，且CAGE=CGAB，求抛物线的解析式（第 5 题图）24. （2014湘潭，第 25 题） ABC 为等边三角形，边长为 a， DF AB， EF AC，（1）求证： BDF CEF；（2）若 a=4，设 BF=m，四边形 ADFE 面积为
4、 S，求出 S 与 m 之间的函数关系，并探究当 m为何值时 S 取最大值；（3）已知 A、 D、 F、 E 四点共圆，已知 tan EDF= ，求此圆直径（第 1 题图）20.（2014邵阳，第 26 题 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2（ m+n）x+mn（ m n）与 x 轴相交于 A、 B 两点（点 A 位于点 B 的右侧），与 y 轴相交于点 C（1）若 m=2， n=1，求 A、 B 两点的坐标；（2）若 A、 B 两点分别位于 y 轴的两侧， C 点坐标是（0，1），求 ACB 的大小；（3）若 m=2， ABC 是等腰三角形，求 n 的值18.（10 分
5、） （2014孝感，第 22 题 10 分）已知关于 x 的方程 x2（2 k3） x+k2+1=0 有两个不相等的实数根 x1、 x2（1）求 k 的取值范围；（2）试说明 x10， x20；（3）若抛物线 y=x2（2 k3） x+k2+1 与 x 轴交于 A、 B 两点，点 A、点 B 到原点的距离分别为 OA、 OB，且 OA+OB=2OAOB3，求 k 的值解：（1）由题设可知 A（0，1） ， B（3， ） ，则二次函数的解析式是： y= x+1；（2）设 N（ x， x2 x+1） ，则 M、 P 点的坐标分别是（ x， x+1） ， （ x，0） MN=PN PM= x2 x+
6、1（ x+1）= x2 x= （ x+ ） 2+ ，则当 x= 时， MN 的最大值为 ；（3）连接 MN、 BN、 BM 与 NC 互相垂直平分，即四边形 BCMN 是菱形，由于 BC MN，即 MN=BC，且 BC=MC，即 x2 x= ，且（ x+1） 2+（ x+3） 2= ，解得： x=1，故当 N（1，4）时， MN 和 NC 互相垂直平分分析：（3）据垂线段最短，可得当 OD AC 时， OD 最短，即 EF 最短，根据等腰三角形的性质， D 是 AC 的中点，则 DF= OC，即可求得 P 的纵坐标，代入二次函数的解析式，即可求得横坐标，得到 P 的坐标解答： 则抛物线的解析式
7、是： y= x2+3x+4；（2）存在第一种情况，当以 C 为直角顶点时，过点 C 作 CP1 AC，交抛物线于点 P1过点 P1作 y 轴的垂线，垂足是 M ACP1=90， MCP1+ ACO=90 ACO+ OAC=90， MCP1= OAC OA=OC， MCP1= OAC=45 MCP1= MP1C， MC=MP1，设 P（ m， m2+3m+4） ，则 m= m2+3m+44，解得： m1=0（舍去） ， m2=2 m2+3m+4=6，即 P（2，6） 第二种情况，当点 A 为直角顶点时，过 A 作 AP2， AC 交抛物线于点 P2，过点 P2作 y轴的垂线，垂足是 N， AP
8、交 y 轴于点 F P2N x 轴，由 CAO=45， OAP=45， FP2N=45， AO=OF P2N=NF，设 P2（ n， n2+3n+4） ，则 n=（ n2+3n+4）1，解得： n1=2， n2=4（舍去） ， n2+3n+4=6，则 P2的坐标是（2，6） 综上所述， P 的坐标是（2，6）或（2，6） ；（3）连接 OD，由题意可知，四边形 OFDE 是矩形，则 OD=EF根据垂线段最短，可得当 OD AC 时， OD 最短，即 EF 最短由（1）可知，在直角 AOC 中， OC=OA=4，则 AC= =4 ，根据等腰三角形的性质， D 是 AC 的中点又 DF OC， D
9、F= OC=2，点 P 的纵坐标是 2则 x2+3x+1=2，解得： x= ，当 EF 最短时，点 P 的坐标是：（ ，0）或（ ，0） 考点： 二次函数综合题分析： （1）由判别式=（ k+2） 241 =k2 k+2=（ k） 2+0，即可证得无论 k取何实数值，抛物线总与 x 轴有两个不同的交点；（2）由抛物线于 x 轴交于点 A、 B，直线与 x 轴交于点 C，设 A、 B、 C 三点的横坐标分别是 x1、 x2、 x3，可得 x1x2= ， x3=（ k+1） ，继而可求得答案；（3）由 CAGE=CGAB，易得 CAG CBE，继而可证得 OAD OBE，则可得，又由抛物线与 x
10、轴的交点 A、 B 在原点的右边，直线与 x 轴的交点 C 在原点的左边，又抛物线、直线分别交 y 轴于点 D、 E，可得OAOB= ， OD= ， OE=（ k+1） 2，继而求得点 B 的坐标为（0， k+1） ，代入解析式即可求得答案解答： （1）证明：=（ k+2） 241 =k2 k+2=（ k） 2+，（ k） 20，0，无论 k 取何实数值，抛物线总与 x 轴有两个不同的交点；（2）解：抛物线于 x 轴交于点 A、 B，直线与 x 轴交于点 C，设 A、 B、 C 三点的横坐标分别是 x1、 x2、 x3， x1x2= ，令 0=（ k+1） x+（ k+1） 2，解得： x=（
11、 k+1） ，即 x3=（ k+1） ， x1x2x3=（ k+1） =（ k+ ） 2+ ， x1x2x3的最大值为： ；（3）解： CAGE=CGAB， ， ACG= BCE， CAG CBE， CAG= CBE， AOD= BOE， OAD OBE， ，抛物线与 x 轴的交点 A、 B 在原点的右边，直线与 x 轴的交点 C 在原点的左边，又抛物线、直线分别交 y 轴于点 D、 E， OAOB= ， OD= ， OE=（ k+1） 2， OAOB=OD， ， OB2=OE， OB=k+1，点 B（ k+1，0） ，将点 B 代入抛物线 y=x2（ k+2） x+ 得：（ k+1） 2（
12、k+2） （ k+1） =0，解得： k=2，抛物线的解析式为： y=x24 x+3考点： 相似形综合题；二次函数的最值；等边三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形分析： （1）只需找到两组对应角相等即可（2）四边形 ADFE 面积 S 可以看成 ADF 与 AEF 的面积之和，借助三角函数用 m 表示出 AD、 DF、 AE、 EF 的长，进而可以用含 m 的代数式表示 S，然后通过配方，转化为二次函数的最值问题，就可以解决问题（3）易知 AF 就是圆的直径，利用圆周角定理将 EDF 转化为 EAF在 AFC 中，知道tan EAF、 C、 AC，通过解直角三角形就可求出 AF 长解答： 解
13、：（1） DF AB， EF AC， BDF= CEF=90 ABC 为等边三角形， B= C=60 BDF= CEF， B= C， BDF CEF（2） BDF=90， B=60， sin60= = ， cos60= = BF=m， DF= m， BD= AB=4， AD=4 S ADF=ADDF=（4） m= m2+ m同理： S AEF=AEEF=（4 ） （4 m）= m2+2 S=S ADF+S AEF= m2+ m+2= （ m24 m8）= （ m2） 2+3 其中 0 m4 0，0 24，当 m=2 时， S 取最大值，最大值为 3 S 与 m 之间的函数关系为：S （ m2
14、） 2+3 （其中 0 m4） 当 m=2 时， S 取到最大值，最大值为 3 （3）如图 2， A、 D、 F、 E 四点共圆， EDF= EAF ADF= AEF=90， AF 是此圆的直径 tan EDF= ， tan EAF= = C=60， =tan60= 设 EC=x，则 EF= x， EA=2x AC=a，2 x+x=a x= EF= ， AE= AEF=90， AF= = 此圆直径长为 （2）抛物线 y=x2（ m+n） x+mn（ m n）过 C（0，1），1= mn， n= ， B（ n，0）， B（ ，0） AO=m， BO= ， CO=1 AC= = ， BC= = ，
15、AB=AO+BO=m ，（ m ） 2=（ ） 2+（ ） 2， AB2=AC2+BC2， ACB=90（3） A（ m，0）， B（ n，0）， C（0， mn），且 m=2， A（2，0）， B（ n，0）， C（0，2 n） AO=2， BO=|n|， CO=|2n|， AC= = ， BC= = |n|， AB=xA xB=2 n当 AC=BC 时， = |n|，解得 n=2（ A、 B 两点重合，舍去）或 n=2；当 AC=AB 时， =2 n，解得 n=0（ B、 C 两点重合，舍去）或 n= ；当 BC=AB 时， |n|=2 n，当 n0 时， n=2 n，解得 n= ，当 n0 时， n=2 n，解得 n= 综上所述， n=2， ， ， 时， ABC 是等腰三角形解答： 解：（1）由题意可知：=【（2 k3） 】 24（ k2+1）0，即12 k+50 （2） ， x10， x20 （3）依题意，不妨设 A（ x1，0） ， B（ x2，0） OA+OB=|x1|+|x2|=（ x1+x2）=（2 k3） ，OAOB=| x1|x2|=x1x2=k2+1， OA+OB=2OAOB3，
